②当0?a?11?1??1，由(Ⅰ)知f'?x?在?0,?内单调递增， 时，

22a?2a?

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想. (21) (本小题满分14分) 已知椭圆C:

（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2

.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值. (ii)求直线AB的斜率的最小值.

x2y26??1.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为【答案】(Ⅰ) . 422

应用一元二次方程根与系数的关系得到

x2?x1?y2?y1?18k?1??2k?1?x?6k?m?2?2?m?2??8k?6k?1??m?2???m??m? ， 18k?1x2k?1x18k?12k?1x????????2222022222222000?18k2?m2?2??1?x0??2k2?m2?2??1?x0??32k2?m2?2?，

得到kABy2?y16k2?11?1?????6k??. x2?x14k4?k?应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c， 由题意知2a?4,2c?22， 所以a?2,b?a2?c2?2，

x2y2??1. 所以椭圆C的方程为42(Ⅱ)(i)设P?x0,y0??x0?0,y0?0?， 由M(0,m)，可得P?x0,2m?,Q?x0,?2m?. 所以 直线PM的斜率k?2m?mm? ， x0x0直线QM的斜率k'??2m?m3m. ??x0x0k'??3， kk'所以为定值-3.

k此时

所以x2?x1?y2?y1?18k?1?x?2k?1?x?18k?1??2k?1?x?6k?m?2?2?m?2??8k?6k?1??m?2? ， ??m??m??18k?1?x?2k?1?x?18k?1??2k?1?x2222000222222220002?m2?2??2?m2?2???32k2?m2?2?，

所以kABy2?y16k2?11?1?????6k??. x2?x14k4?k?

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.

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