..

6×824∴AH＝＝.

105

∵点E是BC的中点,BC＝10,四边形AECD是菱形,∴CD＝CE＝5. ∵S?AECD＝CE·AH＝CD·EF, 24

∴EF＝AH＝.

5

2.(2018·青岛中考)已知：如图,?ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.

(1)求证：AB＝AF；

(2)若AG＝AB,∠BCD＝120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB＝CD,∴∠AFG＝∠DCG. 又∵GA＝GD,∠AGF＝∠CGD, ∴△AGF≌△DGC,∴AF＝CD. ∴AB＝AF；

(2)解：四边形ACDF是矩形. 证明：∵AF＝CD,AF∥CD, ∴四边形ACDF是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∴∠FAG＝60°. ∵AB＝AG＝AF,∴△AFG是等边三角形, ∴AG＝GF.

∵四边形ACDF是平行四边形, ∴FG＝CG,AG＝DG.∴AD＝CF. ∴四边形ACDF是矩形.

精品

..

3.已知：如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝CD,E是对角线BD上一点,且EA＝EC.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)如果BE＝BC,且∠CBE∶∠BCE＝2∶3,求证：四边形ABCD是正方形. 证明：(1)在△ADE与△CDE中, AD＝CD，??

?DE＝DE， ??EA＝EC，

∴△ADE≌△CDE,∴∠ADE＝∠CDE. ∵AD∥BC,∴∠ADE＝∠CBD, ∴∠CDE＝∠CBD,∴BC＝CD. ∵AD＝CD,∴BC＝AD, ∴四边形ABCD为平行四边形. ∵AD＝CD,

∴四边形ABCD是菱形； (2)∵BE＝BC,∴∠BCE＝∠BEC. ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3, 2∴∠CBE＝180×＝45°.

2＋3＋3∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABE＝∠CBE＝45°, ∴∠ABC＝90°, ∴四边形ABCD是正方形.

4.(2018·眉山中考)如图①,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点E,AB＝AC＝BD,点M为BC的中点,N为线段AM上的点,且MB＝MN.

(1)求证：BN平分∠ABE；

(2)若BD＝1,连接DN,当四边形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长；

精品

..

(3)如图②,若点F为AB的中点,连接FN,FM,求证：△MFN∽△BDC.

(1)证明：∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB. ∵M为BC的中点,∴AM⊥BC. 在Rt△ABM中,∠MAB＋∠ABC＝90°. 在Rt△CBE中,∠EBC＋∠ACB＝90°, ∴∠MAB＝∠EBC.

又∵MB＝MN,∴△MBN为等腰直角三角形, ∴∠MNB＝∠MBN＝45°,

∴∠EBC＋∠NBE＝45°,∠MAB＋∠ABN＝∠MNB＝45°, ∴∠NBE＝∠ABN,即BN平分∠ABE； (2)解：设BM＝CM＝MN＝a. 当四边形DNBC是平行四边形时, DN＝BC＝2a. 在△ABN和△DBN中, AB＝DB，??

?∠NBD＝∠NBA， ??BN＝BN，

∴△ABN≌△DBN(SAS),∴AN＝DN＝2a.

在Rt△ABM中,由AM＋BM＝AB,得(2a＋a)＋a＝1,解得a＝±∴BC＝2a＝

10

； 5

2

2

2

2

2

10

(负值舍去), 10

(3)证明：在Rt△MAB中,F是AB的中点, ∴MF＝AF＝BF, ∴∠MAB＝∠FMN.

又∵∠MAB＝∠CBD,∴∠FMN＝∠DBC. MFMN1MFMN1∵＝＝,∴＝＝, ABBC2BDBC2

精品

..

∴△MFN∽△BDC.

5.(2018·枣庄中考)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由； (3)若AG＝6,EG＝25,求BE的长. (1)证明：∵GE∥DF,∴∠EGF＝∠DFG. 由翻折的性质可知DG＝EG,DF＝EF, ∠DGF＝∠EGF,

∴∠DGF＝∠DFG,∴DG＝DF, ∴DG＝EG＝DF＝EF, ∴四边形EFDG是菱形； 12

(2)解：EG＝GF·AF.

2理由：连接DE,交AF于点O.

精品