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2S1MEME5

S2－S△MCB－S1＝S1,由于＝,从而可知＝,设ME＝5x,EB＝2x,从而用x表示出AB,BC,最后根据锐角三角

5S△EBDEBBE2函数的定义即可求出答案.

【答案】(1)证明：∵MD∥BC,∴∠DME＝∠CBA. ∵∠ACB＝∠DEM＝90°,∴△MED∽△BCA； (2)证明：∵∠ACB＝90°,点M是斜边AB的中点, ∴BM＝CM＝AM,∴∠MCB＝∠MBC. ∵∠DMB＝∠MBC, ∴∠MCB＝∠DMB＝∠MBC. ∵MD∥BC,

∴∠CMD＝180°－∠MCB. 又∵∠AMD＝180°－∠DMB, ∴∠AMD＝∠CMD. 在△AMD与△CMD中, MD＝MD，??

?∠AMD＝∠CMD， ??AM＝CM，

∴△AMD≌△CMD(SAS)；

(3)解：∵DM＝CM,∴AM＝CM＝DM＝BM, 1∴DM＝AB.

2

由(1)可知△MED∽△BCA,

?DM?1

∴＝??＝,∴S△ACB＝4S1. S△ACB?AB?4

S1

1

∵CM是△ACB的中线,∴S△MCB＝S△ACB＝2S1,

22

∴S△EBD＝S2－S△MCB－S1＝S1,

5∴

MES1MEME5＝,∴＝,∴＝. S△EBDEB2EBEB2

S15S1

2

设ME＝5x,EB＝2x,则BM＝7x, ∴AB＝2BM＝14x. MDME1

∵＝＝,∴BC＝10x, ABBC2BC10x5

∴cos ∠ABC＝＝＝.

AB14x7

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1.(2018·贺州中考)如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,O,D分别是边AC,AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

3

(2)若四边形AECD的面积为24,tan ∠BAC＝,求BC的长.(1)证明：∵点O是AC的中点,

4∴OA＝OC.

∵CE∥AB,∴∠DAO＝∠ECO. 又∵∠AOD＝∠COE,

∴△AOD≌△COE(ASA),∴AD＝CE, ∴四边形AECD是平行四边形. 又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, 1

∴CD＝AD＝AB, 2∴四边形AECD是菱形；

(2)由(1)知,四边形AECD是菱形,∴AC⊥ED.

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OD3

在Rt△AOD中,tan ∠DAO＝＝tan ∠BAC＝,

OA4可设OD＝3x,OA＝4x, 则ED＝2OD＝6x,AC＝2OA＝8x.

1

由题意可得·6x·8x＝24,∴x＝1,∴OD＝3.

2∵O,D分别是AC,AB的中点, ∴OD是△ABC的中位线, ∴BC＝2OD＝6.

2.(2018·盐城中考)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F满足BE＝DF,连接AE,AF,CE,CF,如图.

(1)求证：△ABE≌△ADF；

(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD, ∴∠ABD＝∠ADB,∴∠ABE＝∠ADF. 在△ABE与△ADF中,

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AB＝AD，??

?∠ABE＝∠ADF， ??BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF(SAS)； (2)解：四边形AECF是菱形. 理由：连接AC,交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形, ∴OA＝OC,OB＝OD,AC⊥EF, ∴OB＋BE＝OD＋DF,即OE＝OF. ∵OA＝OC,OE＝OF,

∴四边形AECF是平行四边形, 又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.

3.(2018·湖州中考) 已知在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),DCAC

且＝＝m,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F. BEBC

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