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专题六 四边形与三角形的综合

毕节中考备考攻略

纵观近4年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形；2016年第25题综合考查菱形和三角形全等；2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形.

熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.

中考重难点突破

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四边形与特殊三角形

例1 如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝5,BD＝2,求OE的长.

【解析】(1)先判断出∠OAB＝∠DCA,进而判断出∠DAC＝∠DCA,得出CD＝AD＝AB,即可得出结论； (2)先判断出OE＝OA＝OC,再求出OB＝1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果. 【答案】(1)证明：∵AB∥CD,∴∠CAB＝∠ACD. ∵AC平分∠BAD,∴∠CAB＝∠CAD, ∴∠CAD＝∠ACD,∴AD＝CD. 又∵AD＝AB,∴AB＝CD.

又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝AD,∴四边形ABCD是菱形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形,

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∴AC⊥BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD＝1.

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在Rt△AOB中,∠AOB＝90°, ∴OA＝AB－OB＝2. ∵CE⊥AB,∴∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中,O为AC中点, 1

∴OE＝AC＝OA＝2.

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2

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四边形与三角形全等

例2 (2018·张家界中考)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为点F. (1)求证：DF＝AB；

(2)若∠FDC＝30°,且AB＝4,求AD.

【解析】(1)利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得证；

(2)由∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF＋∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°,据此知AD＝2DF,根据DF＝AB可得答案.

【答案】(1)证明：在矩形ABCD中,AD∥BC, ∴∠AEB＝∠DAF.

又∵DF⊥AE,∴∠DFA＝90°,∴∠DFA＝∠B.

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又∵AD＝EA,∴△ADF≌△EAB,∴DF＝AB；

(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF＋∠ADF＝90°,∴∠FDC＝∠DAF＝30°,∴AD＝2DF. ∵DF＝AB＝4,∴AD＝2AB＝8.

四边形与三角形相似

例3 (2018·资阳中考)已知：如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD＝CM,DE⊥AB于点E,连接AD,CD.

(1)求证：△MED∽△BCA； (2)求证：△AMD≌△CMD；

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(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2＝S1时,求cos ∠ABC的值.

5【解析】(1)易证∠DME＝∠CBA,∠ACB＝∠DEM＝90°,从而可证明△MED∽△BCA；

(2)由∠ACB＝90°,点M是斜边AB的中点,可知BM＝CM＝AM,又由MD∥BC可证明∠AMD＝∠CMD,从而可利用全等三角形的判定方法证明△AMD≌△CMD；

DM?211S11?(3)易证DM＝AB,由(1)可知△MED∽△BCA,所以＝??＝,所以S△MCB＝S△ACB＝2S1,从而可求出S△EBD＝

2S△ACB?AB?42

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