第1篇 工程静力学基础

第1章 受力分析概述

1－1 图a、b所示，Ox1y1与Ox2y2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。

习题1－1图

y

Fy1F

Fy

?x Fx1 Fx1 （c） 解：（a）图（c）：F?Fsoc? i1?Fnis? j1

分力：Fx1?Fcos? i1 ， Fy1?Fsi?n j1

1y2Fy2Fy2Fx2Fx2Fx2

（d）

投影：Fx1?Fcos? ， Fy1?Fsin?

讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b）图（d）： 分力：Fx2?(Fcos??Fsin? cot?)i2 ，Fy2? 讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。

1－2 试画出图a和b两种情形下各物体的受力图，并进行比较。

FAx

习题1－2图

Fsin?j2 sin? 投影：Fx2?Fcos? ， Fy2?Fcos(???)

FAyACFBDFRDFAyFAxACF CFCFAxFAy(a-1)

FCBAB 'FC FRD

(a-2) FRD

(a-3)

比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之FRD值大小也不同。

— 1 —

DD(b-1)

1－3 试画出图示各物体的受力图。

习题1－3图

FDCABFA(a-1)

FB

CBFCFBFAxAAFAy(b-1)

FA

FBA?FACBD(d-1)

DFCAFAABFA FBFA

FB (e-3)

FDC FAxAB FBFAy 或(a-2)

B

BFD FDC FB W FAy (c-1) 或(b-2)

F

FAx?A BC

FAyD

FD

或(d-2) FCD C C BF BFA (e-2) (e-1)

— 2 —

FAx

F

FOx

FO1A'FAFO1O1OFOxAOFOyWFOyFAWA(f-1)

(f-2)

(f-3)

1－4 图a所示为三角架结构。荷载F1作用在铰B上。杆AB不计自重，杆BC自重为W。试画出b、c、d所示的隔离体的受力图，并加以讨论。

习题1－4图

FAAB(b-1) FB1

FAABF'B2xF1F'B2y(c-1)

FA

ABFB1 FBxB CFDy FBy FDx DW

(b-2)

C

FDxDW

(c-2)

FDxD

2F'B1F'B2xB2F'B2y

F1(b-3)

F'B2xBF'B2y BF'2BF1W(d-1)

FDy(d-2)

1－5 图示刚性构件ABC由销钉A和拉杆D支撑，在构件C点作用有一水平力F。试问如果将力F沿其作用线移至D或E（如图示），是否会改为销钉A的受力状况。

解：由受力图1－5a，1－5b和1－5c分析可知，F从C移至E，A端受力不变，这是因为力F在自身刚体ABC上滑移；而F从C移至D，则A端受力改变，因为HG与ABC为不同的刚体。

FA

AG

DF C FH H

习题1－5图 (a)

— 3 —

FAxFAAEDCFAFGGAFFHH(b)

FH?DHFCH

1－6 试画出图示连续梁中的AC和CD梁的受力图。

FH(c)

AC'FCx习题1－6图 F1FCxCF2DBFAyFB(a)

'FCyFDxFCy

(b)

FDy

1－7 画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图未画重力的物体的自重均不计，所有接触面均为光滑面接触。

FBFBFCC'FCC(a-2) 'FDDFAxAFAy(a-1)

DFD(a-3)

'FB'FCFC E ' FE FE E

TFCxCFCyFEEW(b-1)

(b-2)

'FBBFB

FAxAFAyCFCx'B'FCy(b-3)

C'FDCFDDFAxDAFEE'FEEBFB

FAy(c)

— 4 —

1-7d

C

P1P1 AA BP2BP2 FN4

?FN FN1FN1P1AFN2ABP1 FPN2P2B2FN FN3FN3 1-7e

F2F1

C AB

F2 F1FCxDE ACB FREFCyFRD FByF2F1 ?FBxFCxDBEAC BFBxFREFCy?FByFRD

1-7f FAyFRD FAxDADA FEy?FCy FExE?FFExGCxECGC?F CxECFCy?FEyF FFByB ?FBxFBxB B?FBy 1-7g FAyDEFT?2DFT2E FAxFCxCFDxFExADE CFT1FT1FFByFByFCyHDyFEyFT3 ACFBx HFBxBPB??FEyFAyFDy P?CFCxBFAx?FEx ?EADFDx?FCy

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1-7h 1-7i

F2 C A 1-7j

qFAxqB?FByBFByAAFAyFBxFCxCFCyB?FBxCPPDBF2DBF1FCxCFCyF1FCxF2CFCyBFRBFAx?BFRDBF1FAxAFAyAFAyBDFGHACEBABDCFRC?DFRDFRDFGEFRE?GFRGFRBFRBFRGFRAHFRH — 6 —

第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F对O点的矩。 习题2-1图 解：（a）MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)?MO(Fy)?Fsin??l （b）MO(F)?Fsin??l （c）MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)??Fcos?Fl2?sin?(l1?l3) （d）MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)?MO(Fy)?Fsin?l1?l2 2－2 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力矩。 解：MO(F)?rA?F22?a(i?k)?F(?i?j) 2A rA Fa(?i?j?k) 2?35.36(?i?j?k)kN?m?Mx(F)??35.36kN?m 习题2-2图 （a） 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，??= 30°。试求力F对x、y、z轴之矩。 解： MA(F)?rD?F?(0.3j?0.4k)?F(sin2?i?sin?cos?j?cos?k) ??100cos?(0.3?0.4sin?)i?40sin2?j?30sin2?k 力F对x、y、z轴之矩为： Mx(F)??100cos?(0.3?0.4sin?)??503(0.3?0.2)??43.3N?m My(F)??40sin2???10N?m Mz(F)??30sin2???7.5N?m 习题2-3图 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。

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第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a）：2F3cos45??F?0 F3?2F（拉） 2 F1 = F3（拉） F2?2F3cos45??0 F2 = F（受压） 图（b）：F3?F3??0 F1 = 0 F2 = F（受拉） F F33 45A 1 F1 (a-1) ?习题3－1图 FF3DAF3F3DF2F3? F1 (b-1) F2 (a-2) (b-2) F3? 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架子上，点B与拴在桩A上的绳索AB连接，在点D加一铅垂向下的力F，AB可视为铅垂，DB可视为水平。已知?= 0.1rad.，力F = 800N。试求绳AB中产生的拔桩力（当?很小时，tan?≈?）。 FED?DFCBFDB?FDB?B习题3－2图 F(a) (b) FAB解：?Fy?0，FEDsin??F FED? ?Fx?0，FEDcos??FDB FDB?F sin?F?10F tan?由图（a）计算结果，可推出图（b）中：FAB = 10FDB = 100F = 80 kN。 3－3 起重机由固定塔AC与活动桁架BC组成，绞车D和E分别控制桁架BC和重物W的运动。桁架BC用铰链连接于点C，并由钢索AB维持其平衡。重物W = 40kN悬挂在链索上，链索绕过点B的滑轮，并沿直线BC引向绞盘。长度AC = BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB的函数来表示钢索AB的张力FAB以及桁架上沿直线BC的压力FBC。

FABy?2??FBCWWx 习题3－3图 (a) — 1 9 —

第2篇 工程运动学基础 第4章 运动分析基础 4－1 小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R（如图所示）。已知小环的初速度为v0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜?，试确定小环 2A的运动规律。 2 解：asin??a?v，a?nRv2 Rsin?A θ O v a a?dv?acos??tdt v?ds?v0Rtan? dtRtan??v0tstvRtan?0ds??0?0Rtan??v0tdt s?Rtan?lnRtan? Rtan??v0t t1v2，vdv?dt 2??v00vRtan?Rtan?习题4－1图 4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a图像，说明运动性质。 y2??x?3sint?x?4t?2t 1．?， 2．? 32y?2cos2t???y?3t?1.5t? 解：1．由已知得 3x = 4y （1） ? v?5?5t ??3?3t?y ? a??5 ???3y?? 为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。 2．由已知，得 arcsinyx1?arccos 322??4?4t?xO?y???4x??4?(a) x 2?1?O??1?2123x??? (b) 习题4－2图 4 化简得轨迹方程：y?2?x2 9（2） 轨迹如图（b），其v、a图像从略。 4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为1s??Rt2，式中s以厘米计，t以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一2次到达y坐标值最大的位置时，求点的加速度在x和y轴上的投影。 R y坐标值最大的位置时：?s?1?Rt2??R，?t2?1 222 ax?at??R，ay???R y R 解：v?s???Rt，at?v???R，an?v??2Rt2 2M O x 习题4－3图 — 10 —

第5章 点的复合运动分析 5－1 曲柄OA在图示瞬时以ω0绕轴O转动，并带动直角曲杆O1BC在图示平面内运动。若d为已知，试求曲杆O1BC的角速度。 A B vr 解：1、运动分析：动点：A，动系：曲杆O1BC，牵连C ve 运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 va 2、速度分析：va?ve?vr va?2l?0；va?ve?2l?0 ve ???0（顺时针） OBC?1?0 O1 l l ??O O1A 习题5-1图 5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径R?10cm，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA?10cm，以匀角速ω?4πrad/s绕O轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角φ?30?。求此时滑杆CB的速度。 解：1、运动分析：动点：A，动系：BC，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：va?ve?vr va ve OA vr ? ?B C va?O1A???40?cm/s； R vAo vBC?ve?va?40??126cm/s 习题5-2图 vA 5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O和O1、曲柄OA和滑道摇杆O1B组成。曲柄OA的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O1B上的滑道滑动。已知曲柄OA长r并以等角速度?转动，两轴间的距离是OO1 = d。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A点坐标 x1cos??rcos?t?d （1） x1sin??rsin?t （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程 x1?r2cos2?t?2rdcos?t?d2?r2sin2?t?d?r?2rdcos?t22 将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： tan??rsin?t rcos?t?d ??arctanrsin?t 习题5-3图 rcos?t?d 5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O1A以匀角速度ω1绕轴O1转动，O1A = R，O1O2 =b ，O2O = L。试求当O1A水平位置时，杆BC的速度。 O2 解：1、A点：动点：A，动系：杆O2A，牵连运动：定vBr 轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 vBa B R2?1 RC vAa?R?1；v?v?AeAaO vBe b2?R2b2?R2L 2、B点：动点：B，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。 ω1 O1 vAr vAe vAa 习题5-4图 A —1 — — 11 —

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第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 解：xA?(R?r)cos? yA?(R?r)sin? ?为常数，当t = 0时，?0=?0= 0 （1） （2） ???t2 12（3） 起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP??，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过 ?A???? 因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即 R??r? ??RR?r?， ?A?? rr?? 习题6-1图 （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为： ?2?x?(R?r)costA?2??2 ??yA?(R?r)sint 2??1R?r2???tA?2r? 6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角? 表示杆的角速度。 解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为 B C h B C h P ? A 习题6－2图 vo ? vC ?AB A v0 ?ABv0v0cos?v0cos2????APACh 习题6－2解图 6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。 vAv? RRvv ?B?B? 2R2R?A?2?B 解：?A?vB = v ?B ?A 习题6-3图 习题6-3解图 vA = v 6－4 直径为603mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度?＝12 rad/s，?＝30?，?＝60?，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

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第3篇 工程动力学基础 第7章 质点动力学 7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。 解：接触跳台时 v0?40.2?103?11.17m/s 3600 习题7-1图 设运动员在斜面上无机械能损失 v?v02?2gh0?11.172?2?9.8?2.44?8.768m/s vx?vcos??8.141m/s, vy?vsin??3.256m/s h1? t1?v2y2gvyg?0.541m ?0.332s 12gt2 2v y v0 θ O (h1?h0)? t2?2(h1?h0)?g2(0.541?2.44)?0.780s 9.8习题7-1解图 t?t1?t2?1.112s x?vxt?8.141?1.112?9.05m 7-2 图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处，如图所示。水柱的初速度?0?25m/s，若欲使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台，且不计空气阻力，试问水龙头的仰角?应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离s为多少？ 解：(1) t1?15 (1) v0cos? v0sin??t1?gt12?20 (2) (1)代入(2)，得 500cos2??375sin?cos??44.1?0 500cos2??44.1?375cos?1?cos2? 390625cos4??96525cos2??1944.81?0 cos2??0.22497, ??61.685? (2) t2?v0sin?（到最高点所经过时间） g 习题7-2图 12 S?(v0cos??t2?15)?2?23.26m 7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度a向右运动。另一物块置于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为fs，且tanθ>fs，开始时物块在斜面上静止，如果保持物块在斜面上不滑动，加速度a的最大值和最小值应为多少？ Fsa a FsFN mgFNθ mg

习题7-3图 —1 — — 15 —

(a) (b)

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第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA＝AB＝l，?＝45°，?为常量，均质连杆AB的质量为m，而曲柄OA和滑块B的质量不计（图a）。 (2) 质量均为m的均质细杆AB、BC和均质圆盘CD用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R，图示瞬时A、B、C处于同一水平直线位置，而CD铅直，AB杆以角速度ω转动（图b）。 (3) 图示小球M质量为m1，固结在长为l、质量为m2的均质细杆OM上，杆的一A B B ω C ω M 60?A O v ? ? O (b) 习题8-1图 D (c) (a) 端O铰接在不计质量且以速度v运动的小车上，杆OM以角速度ω绕O轴转动（图c）。 5）； ml?，方向同vC（解图（a）2 （2）p = mvC1 + mvC2 = mvB = 2Rm?，方向同vB，垂直AC（解图（b））； 解：（1）p = mvC = （3）p?[m1(v?l?cos60?)?m2(v?l?cos60?)]i?(m1l?sin60??m2l?sin60?)j 22?[(m1?m2)v? O1 A A 2m1?m22m?m2l?]i?3l?1j（解图（c））。 44y ω C1 vC1 B C2 vC2 C vr vC B C ω O 60?M v v vB ? ? O (b) D (c) x (a) 习题8-1解图 8－2 图示机构中，已知均质杆AB质量为m，长为l；均质杆BC质量为4m，长为2l。图示瞬时AB杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC瞬时平移，其速度为vB vB B ω O 45? 45? A p?pAB?pBC l9?m??4ml??ml?22方向同vB 。 C 习题8－2解图

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第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到OM = s处（图a）；求小球对O点的动量矩。 2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A，质心为C，且AC = e；轮子半径为R，对轮心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅垂线上（图b）。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对B点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若vA、ω已知，求轮子的动量和对B点的动量矩。 解：1、LO?m?s（逆） 2、（1） 2vr ω M O ω A B (a) C R vA ep?mvC?m(vA??e)?mvA(1?)（逆） Rv(R?e)2LB?mvC(R?e)?JC??mvA?(JA?me2)A RR(b) （2）p?mvC?m(vA??e) 习题9－1图 LB?mvC(R?e)?JC??m(vA??e)(R?e)?(JA?me2)??m(R?e)vA?(JA?meR)? 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O轴的动量矩。 ω O r 解： R LO?(JO?mAR2?mBr2)? A 习题9－2图 B θ 9－3 图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50kg和100kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = mOA = 50 kg，则mEC = 2m 质心D位置：（设l = 1 m) d?OD?l255l?m 66FOymgFOxD2mg刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 JO??mg??2mg?l JO?ml2?即3ml2??131?2m?(2l)2?2ml2?3ml2 12习题20-3图 ?d 习题20-3解图 5mgl 2 ??5g?8.17rad/s2 6l525 t aD?l???g636由质心运动定理： 3m?aD?3mg?FOy t2511g?mg?449N（↑） 3612n??0，aD?0， FOx?0 FOy?3mg?3m

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第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，??= 45o（图a）。 2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。 3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为?（图c）。 A ? vA C B O A v ??A vB (a) (b) 习题10－1图 (c) 解： 1211v11v322mvC?JC?C?m(B)2??mr2(B)2?mvB 2222222r16111113222v2222．T?m1v?m2v??m2r()?m1v?m2v 2222r2411122222223．T?mR??mR??m(2R?)?2mR? 2221．T?10－2 图示滑块A重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为W2、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为v1，杆AB的角速度为?1。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a） T?TA?TB 1W121W221v1?(vC?JC?2) ?2g2g2 W2W2l2?1v1?[(?1)2?v1?2g2g2 lllW222?2??1v1cos?]??l??12212gAv1vrvC??Cv1?1 习题10－2图 (a) B ?11[(W1?W2)v12?W2l2?12?W2l?1v1cos?] 2g3 10－3 重力为FP、半径为r的齿轮II与半径为R?3r的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为FQ，角速度为?，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： T?TOC?TC 1111222?JO?OC?mCvC?(mCr2)?C 222211F1FP1FP22r?2?[Q(2r)2]?2?(2r?)2?r() 23g2g4gr?OvCC?C 习题10－3图 (a) r2?2?(2FQ?9FP) 3g

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第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F1与F2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a），设OD = l： O F1 D O F1 A ??x yA?2lsin?；yB?6lsin? δyA?2lcos?δ?；δyB?6lcos?δ? 应用虚位移原理：F2?δyB?F1?δyA?0 B F2 习题12-1图 y F2 6F2?2F1?0；F1?3F2 = EC = DE = FC = DF = l。 （a） 12－2图示的平面机构中，D点作用一水平力F1，求保持机构平衡时主动力F2之值。已知：AC = BC y F2 E A 解：应用解析法，如图所示： yA?lcos?；xD?3lsin? δyA??lsin?δ?；δxD?3lcos?δ? 应用虚位移原理：?F2?δyA?F1?δxD?0 O ? C D F1 x B G 习题12-2解图 F2sin??3F1cos??0；F2?3F1cot? 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F1与F2的大小关系。 习题12－3（a） （b） θ β θ β ?r1 F1 F2 F1 ?r1 F2 ?r2 ?ra ?r2 ?ra 解：如图（a），应用虚位移原理：F1?δr1?F2?δr2?0 如图（b）：δr1δr2?δra?tan?tan?；δr2?tan?δr1 tan?F1?δr1?F2? tan?tan?δr1?0；F1?F2? tan?tan?12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO1 = OA。机构上受到力偶矩M1和M2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M1和M2之间的关系。 — 22 —

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