中，能反复体验等边三角形的形状特点，能培养细心的态度习惯。为了方便画图，教科书的附页里有小等边三角形的格纸，可以在这张格纸上画雪花图案。

【探索规律多边形的内角和】

学生已经认识了三角形、平行四边形和梯形，知道三角形的内角和是180°、平行四边形的内角和是360°，还知道四边形有4个角、五边形有5个角……这次探索规律要利用上述的知识经验，研究多边形的内角和问题，得出计算多边形内角和的方法。

教材设计了“呈现图形、提出问题”“选择策略、研究个案”“发现规律、建立模型”“反思过程、积累经验”四个活动环节，有条理地安排探索活动的过程。在探索规律的过程中，既研究特殊的图形，更研究一般的图形；既计算具体图形的内角和，也归纳多边形内角和的一般算法；既要个人独立思考，也要小组内的合作交流；既形成知识技能，又有思想与情感方面的体验。把探索活动作为重点，把探索规律的兴趣和创新意识作为主要目的。

教材的第一句话“三角形的3个内角和是180°”，提取了一个刚教学的知识。学生知道，由线段围成的平面图形都有角，都有内角和。他们以前只学习了三角形内角和的度数，以及平行四边形内角和的度数，其他多边形的内角和还未知。多边形的内角和可以利用三角形内角和进行计算，所以教材从三角形的内角和180°直接引出“四边形、五边形、六边形等多边形内角和”的问题，不仅形成了研究多边形内角和的课题，而且为解决课题提供了相关的基础知识。

探索多边形的内角和从研究四边形开始。给出的四边形是一个直角梯形，要求的是这个梯形的内角和。“萝卜”卡通主张“量出梯形每个角的度数并相加”，这会是许多学生想到的方法。这个梯形有两个角是直角，另两个角分别是40°和140°，这些角的度数容易量出，一般不会有误差，能够得出内角和360°。这是教材呈现直角梯形的原因，教学不必突出这个梯形的特殊性，可以把它视作一般的四边形让学生度量和计算，得到的360°作为一般四边形的内角和。“番茄”卡通把四边形分成两个三角形，使求四边形内角和的问题转化成求两个三角形内角和的问题。这是复杂问题向简单问题的转化，是未知问题向已知问题的转化，是解决多边形内角和问题的一种策略。这种策略不仅能算出四边形的内角和，还能计算更多边形的内角和。独立想到这种方法的学生可能不会很多，应该让全体学生都理解和乐意使用这种方法。其实，把四边形分成两个三角形，把五边形分成三个三角形等活动，在前面教材里曾经安排过，只要把这些经验激活，绝大多数学生会理解这种方法。教学应帮助学生理解四边形的内角和就是分成的两个三角形的内角和，看到每个三角形都有一个角是四边形的角，还有两个角分别与另一个三角形的两个角拼成四边形的角。教材希望把“番茄”卡通解决问题的策略应用到计算五边形、六边形的内角和上，感受这种方法的有效性，从而真正喜欢这种方法。其他多边形也可以像这样通过分一分来计算内角和，教材要求学生小组合作，任意画出一些多边形，求出这些多边形的内角和，充分经历把

每个多边形都分成若干个三角形，算出多边形内角和的过程。从中体会：四边形有大有小，形状不完全一样，但内角和都是360°；五边形的内角和都是540°，是三个180°，比四边形的内角和多180°；六边形的内角和都是四个180°，是720°，比五边形的内角和多180°……学生获得这些体验，发现这些规律，需要充分操作、充分思考、充分交流，教学应该为他们提供这些条件。

探索规律不仅要算出多边形的内角和，还要概括求多边形内角和的算法，并初步用数学模型来表示。这对深刻认识规律，以及发展数学思考是十分有益的。学生虽然能算出多边形的内角和是多少度，但总结求多边形内角和的算法还是有困难的。为此，教材设计了一张表格，分别把四边形、五边形、六边形、七边形、八边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据填进去。其中，四边形、五边形的有关数据在前面的探索活动中已经得出，六边形、七边形、八边形的数据仍然可以通过分图形得到。表格里的数据有序地排列着，能清楚地看到图形的边数越多，分成的三角形个数就越多，内角和的度数也越大。还能看到多边形分成三角形的个数总是比它的边数少2，多边形的内角和必定是180°的倍数。这些发现正如各个小卡通的交流，都是概括多边形内角和计算方法的感性认识。

教材明确要求“用一个式子表示多边形内角和的计算方法”。这个式子可以看作计算多边形内角和的数学模型，学生数学思考的力度就在得出这个模型的上面。求多边形内角和的算法如果写成式子可以是“多边形内角和=（多边形边数-2）×180°”，其中“多边形边数-2”的差是多边形分成三角形的个数，适用于求任意多边形内角和的问题。

这次探索规律研究多边形内角和的算法，学生的收获不应局限于得出计算多边形内角和的公式，还要在发现规律和表达规律上有所体会。教材要求“回顾探索和发现规律的过程，说说自己的体会”，引导他们体验成功的喜悦，积累探索规律的活动经验。教学应在充分而广泛的交流中，帮助学生总结经验。如，利用三角形内角和180°能计算多边形的内角和，这表明“转化”是一种重要而有效的数学思想，有助于解决新颖的问题或困难的问题。又如，发现的规律不只是自己明白，还要和他人交流，便于别人理解和接受，这就要用数学语言讲述规律或者用数学式子表示规律。再如，我们依次研究四边形、五边形、六边形……的内角和，这就是说，一个较大的问题可以分解成若干个具体的小问题来研究，一个较复杂的问题可以从较简单问题入手来研究。

需要说明的是，计算多边形内角和的公式不需要强化记忆，只要有分解成三角形的解题策略就够了。

把多边形分成若干个三角形，从三角形的内角和180°推算多边形的内角和，还可以像下面这样进行操作：在多边形内部任意确定一点，与多边形的各个顶点画线段连接，也能把多边形分成三角形。多边形是几边形就能分成几个三角形，这些三角形的

内角和的总数就是“180°×三角形的个数”，也就是“180°×多边形的边数”。然而，这些三角形内角和的总数比多边形内角和多360°（以多边形内部那个点为顶点的一个周角）。所以，多边形的内角和=180°×多边形的边数-360°，即“多边形的内角和=180°×（多边形的边数-2）”。

【第八单元确定位置】

日常生活中，人们经常要确定物体所在的位置。如果物体排列在一条直线上，往往用“第几”描述它的位置。如，从前往后数第5个，从左往右数第7个等。如果表示物体在平面上的位置，往往用两个“第几”。如电影票上的第6排第8号，图书架上的第3层第4本等。这些描述联系生活经验，十分有用，方便了表达和交流，体现了自然数有表示次序的作用。

本单元教学用“数对”确定位置，在生活经验描述位置的基础上，应用数学方法确定位置，进一步发展空间观念，培养数学思考的能力，并且渗透以后要认识的直角坐标系。全单元编排两道例题，具体安排见下表：

例1 “列”“行”的概念，用数对表示教室里的座位 例2 用数对表示方格纸上点的位置

对学生来说，例1的情境比较现实，例2的情境显得有些抽象。教室是学校生活的主要场所，确定教室里的座位是现实问题，联系已有经验，容易接受有关数对的知识，容易体验数对表示位置的思想方法。在此基础上，把平面图上表示的建筑、设施、场所看作方格纸上的点，用数对确定它们的位置就顺理成章了。可见，教材编排的两道例题是循序渐进的，在例1里着力教学用数对确定位置的有关知识与基本方法，在例2里应用数对确定位置，提高了数学化程度，有利于培养确定位置的能力。

（一） 在现实的情境里教学数对的知识和使用方法

例1呈现一幅教室里上课的情境，要求学生说出画面里的小军坐在哪里。学生凭借自己的生活经验来判断小军的座位，交流中会出现不同的表述。正如“蘑菇”卡通说的“第4组第3个”，“辣椒”卡通说的“第3排第4个”……甚至会出现有争议的描述。这就表明确定位置应该有共同遵守的规则，由此产生学习的需要：怎样描述小军的座位是合理的？为教学新知识营造了良好的氛围。

例题及时教学“列”和“行”的知识，因为数对是按列与行确定位置的。“竖排叫作列，横排叫作行”已经是人们的共识，是数对确定位置的规则。教材把这些规则直接告诉学生：“确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数”，这是人们的约定，大家都会像这样数。正是这些规定与约定，人们在确定位置时才有一致的思考与结论，才能避免争议和混乱。为了帮助学生正确理解“列”与“行”的含义，明白“列”“行”的有关规定，教材画出了示意图，用一个个小圆点表示座位上

的各个学生，依次标注了第1列到第6列、第1行到第5行。教学要通过适当的活动，帮助学生加强对列与行的认识，强调“竖为列，横是行”，以及数列数和数行数的次序规定。

初步认识列、行以后，例题教学用数对确定位置的方法。“小军坐在第4列第3行，可以用数对（4，3）表示”，这句话里有三点内容：一是“数对”指两个数，即物体所在的列数和行数。二是数对中先表示第几列，后表示第几行，这个次序不能颠倒。与直角坐标系中确定点的位置，先写出x轴上的数，后写出y轴上的数的次序相一致，不和中学数学知识发生矛盾。三是用数对确定位置有规定的书写格式，要用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间用逗号隔开。这三点必须对学生讲清楚，且要作出相应的示范。

“练一练”在例1的情境里安排练习，以数对知识为练习的重点，设计了“列、行数据——数对表示——列、行数据”的线索，把例题教学的知识组织成系统的结构。第1题从列、行数据到数对表示，先在图中找到第2列第4行的位置，巩固列与行的知识；再用数对表示这个位置，巩固数对知识，进一步明确在数对里先写出什么、后写出什么。第2题从数对到列、行数据，通过在情境图中找到数对（6，5）所对应的位置，具体解释这个数对的含义，说出所指的是第几列第几行，加强对数对的理解，体会数对能清楚、简便地表示物体的位置。例1的情境图里，每一名学生的座位都能用数对表示，确定每个学生座位的数对各不相同，这就有很大的练习空间。图中的座位有6列、5行，任何一个列数不超过6、行数不超过5的数对，都有一个学生的座位相对应。教学要充分利用情境图的这些信息，组织学生进行练习。如，在情境图里任意指出一名学生，用数对说出他的位置；或者给出一个数对，要求在情境图里指出它所对应的那个学生。

（二） 应用数对，在方格纸上确定点的位置

例2在红山公园的平面图上，用数对表示景点或设施的位置。例题的呈现形式有三个特点：一是公园的各个景点和设施都画成一个点，图上的点只表示景点或设施的所在位置，不反映其他内容。二是表示景点、设施的那些点分布在方格纸上，每个点都是方格纸的竖线和横线的交点。三是方格纸的竖线相当于“列”，横线相当于“行”。竖线从左到右依次标出了列数0、1、2、3……10，横线从下往上依次标出了行数0、1、2、3……8。图上的“0”既是列的起点，也是行的起点。例题的这些特点，把用数对表示公园景点、设施所在位置的实际问题，抽象成用数对表示平面上的点的位置的数学问题。

例2的教学策略是促进知识与经验的迁移，把例1中学到的列、行的概念，以及使用数对确定位置的方法应用到例2中来。教学活动应举一反三，分两步进行。第一步先用数对表示大门和书报亭的位置，回忆并应用已有的数对知识。平面图上能找到大门的位置在第3列、第1行，书报亭的位置是第2列、第3行，于是用数对（3，