【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设P(x0,y0)，A(1212y1,y1)，B(y2,y2)． 44因为PA，PB的中点在抛物线上，
12y?x022所以y1，y2为方程y?y02即y?2y0y?8x0?y0?0的两个不同的实数根． 4()?4?22所以y1?y2?2y0． 因此，PM垂直于y轴．
??y1?y2?2y0, （2）由（1）可知?2yy?8x?y,?00?12所以|PM|?123222(y1?y2)?x0?y0?3x0，|y1?y2|?22(y0?4x0)． 8431322?|PM|?|y1?y2|?(y0?4x0)2． 24因此，△PAB的面积S△PAB2y022因为x??1(x0?0)，所以y0?4x0??4x0?4x0?4?[4,5]．
420因此，△PAB面积的取值范围是[62,1510]． 4x2y217．【2018年高考天津卷理数】设椭圆2?2?1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率
ab为
5，点A的坐标为(b,0)，且FB?AB?62． 3（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q． 若
AQPQ?52sin?AOQ(O为原点)，求k的值． 4111x2y2 【答案】（1）（2）或．??1；
22894c25【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，
a9又由a2=b2+c2，可得2a=3b．
由已知可得，FB?a，AB?2b， 由FB?AB?62，可得ab=6， 从而a=3，b=2，
x2y2所以椭圆的方程为??1．
94（2）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）． 由已知有y1>y2>0，故PQsin?AOQ?y1?y2． 又因为AQ?y2π，而∠OAB=，故AQ?2y2．
sin?OAB4由
AQPQ?52sin?AOQ，可得5y1=9y2． 4?y?kx，6k?22y?由方程组?x消去x，可得1． y29k?4??1，?4?9易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组??y?kx，2k消去x，可得y2?．
k?1?x?y?2?0，111 ，或k?．
228=39k2?4，由5y1=9y2，可得5（k+1）两边平方，整理得56k2?50k?11?0，解得k?所以k的值为
111或． 228x2y218．【2017年高考全国I理数】已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
ab33），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上． 22（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．
x2【答案】（1）（2）见解析. ?y2?1；
4【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点． 又由
1113???知，C不经过点P1，所以点P2在C上． 2222aba4b?1?12???b2?a?4因此?，解得?2，
13??b?1???122?4b?ax2故C的方程为?y2?1．
4（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，
224?t4?t由题设知t?0，且|t|?2，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，?）．
224?t2?24?t2?2 则k1?k2?．???1，得t?2，不符合题设，从而可设l：y?kx?m（m?1）
2t2tx2将y?kx?m代入?y2?1得(4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0，由题设可知
4??16(4k2?m2?1)?0．
8km4m2?4设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=?2，x1x2=． 24k?14k?1而k1?k2?y1?1y2?1kx1?m?1kx2?m?12kx1x2?(m?1)(x1?x2)????． x1x2x1x2x1x2由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0，
m?14m2?4?8kmk??即(2k?1)?，解得， ?(m?1)??02224k?14k?1当且仅当m??1时??0，于是l：y??所以l过定点（2，?1）．
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判
m?1m?1x?m，即y?1??(x?2)， 22断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．
x219．【2017年高考全国II理数】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：?y2?1上，过M作x轴的垂线，
2垂足为N，点P满足NP?（1）求点P的轨迹方程；
uuuruuuur2NM．
uuuruuur （2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】（1）x?y?2；（2）见解析.
22uuuruuuur【解析】（1）设P(x,y),M(x0,y0)，N(x0,0)，则NP?(x?x0,y),NM?(0,y0)．
uuuruuuur2由NP?2NM得x0?x,y0?y．
2x2y2因为M(x0,y0)在C上，所以??1．
22因此点P的轨迹方程为x?y?2．
（2）由题意知F(?1,0)．设Q(?3,t),P(m,n)，
22uuuruuuruuuruuuruuuruuur则OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQ?PF?3?3m?tn，OP?(m,n),PQ?(?3?m,t?n)．
由OP?PQ?1得?3m?m2?tn?n2?1， 又由（1）知m2?n2?2，故3?3m?tn?0． 所以OQ?PF?0，即OQ⊥PF． 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur