因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为?x0?1x0?1，直线l2的斜率为?， y0y0从而直线l1的方程：y??x0?1(x?1) ①， y0直线l2的方程：y??x0?1(x?1) ②． y02x0?1由①②，解得x??x0,y?，

y02x0?1)． 所以Q(?x0,y02x0?1??y0， 因为点Q在椭圆上，由对称性，得y02222即x0?y0?1或x0?y0?1．

22x0y0又P在椭圆E上，故??1．

4322?x0?y0?1?4737由?x2y2，解得x0?； ,y?00077?1??3?422?x0?y0?1?22，无解． ?x0y0?1??3?4因此点P的坐标为(4737,)． 77【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．

10．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线x2?y，点A(?，)，B(，)，抛物线上的点

1124392413P(x,y)(??x?)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

22

（1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求|PA|?|PQ|的最大值． 【答案】（1）(?1,1)；（2）

27． 1614?x?1， 【解析】（1）设直线AP的斜率为k，k?12x?213因为??x?，

22所以直线AP斜率的取值范围是(?1,1)．

x2?11?kx?y?k??0,??24 （2）联立直线AP与BQ的方程?93?x?ky?k??0,??42?k2?4k?3解得点Q的横坐标是xQ?． 22(k?1)2(k?1)(k?1)12因为|PA|=1?k(x?)=1?k2(k?1)，|PQ|=1?k(xQ?x)??，

22k?12所以PA?PQ??(k?1)(k?1)．

令f(k)??(k?1)(k?1)，因为f'(k)??(4k?2)(k?1)， 所以 f(k)在区间(?1,)上单调递增，(,1)上单调递减， 因此当k=

3231212127时，|PA|?|PQ|取得最大值． 216【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)??(k?1)(k?1)求解

3|PA|?|PQ|的最大值．

11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交

于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【答案】（1）y?x?1；（2）(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144． 【解析】（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

2222?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0． ?y?4x2k2?4． ??16k?16?0，故x1?x2?2k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．

k24k2?4由题设知，k?1． ?8，解得k??1（舍去）

k2因此l的方程为y?x?1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，

所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5． 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2 解得?或??(y0?x0?1)2y?2y??6.?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144．

12．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物

线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （1）求直线l的斜率的取值范围；

2222uuuuruuuruuuruuur11（2）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：?为定值．

??【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）见解析. 【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． ?y2?4x由?得k2x2?(2k?4)x?1?0． ?y?kx?1依题意??(2k?4)2?4?k2?1?0，解得k<0或0

x1?1由（1）知x1?x2??令x=0，得点M的纵坐标为yM?同理得点N的纵坐标为yN??y1?2?kx1?1?2??2． x1?1x1?1?kx2?1?2． x2?1uuuruuuruuuruuurQN=?QOQM=?QO由，得?=1?yM，??1?yN．

22k?4?2x1?1x2?1111112x1x2?(x1?x2)1k2k???????=2． 所以??1??1?yM1?yN(k?1)x1(k?1)x2k?1x1x2k?1k2所以

1??1?为定值．

x213．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆C:?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，

2点M的坐标为(2,0)．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB．