设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则x1x2??4. 直线OM的方程为y?y1x. x1x1. y1令y??1，得点A的横坐标xA??同理得点B的横坐标xB??x2. y2uuur?xr?x?uuu?12,?1?n?， 设点D(0, n)，则DA???,?1?n?,DB????y1??y2?uuuruuurxxDA?DB?12?(n?1)2
y1y2?x1x22?(n?1)2?x12??x2? ???????4??4?16?(n?1)2 x1x2???4?(n?1)2.
uuuruuur2令DA?DB?0，即?4?(n?1)?0，则n?1或n??3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,?3).
【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
x2y25．【2019年高考天津卷理数】设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短
ab轴长为4，离心率为5． 5（1）求椭圆的方程；
（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|?|OF|（O为原点），且OP?MN，求直线PB的斜率．
x2y2230230【答案】（1）或?． ??1；（2）5455【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，2b?4,c5b?2,c?1． ，又a2?b2?c2，可得a?5，?a5x2y2所以，椭圆的方程为??1．
54yP?xp?0,M?xM,0?．设直线PB的斜率为k?k?0?， （2）由题意，设P?xP，又B?0,2?，则直线PB的方程为y?kx?2，
???y?kx?2,?22与椭圆方程联立?x2y2整理得?4?5k?x?20kx?0，
?1,??4?520k8?10k2可得xP??，代入y?kx?2得yP?， 224?5k4?5kyP4?5k2?进而直线OP的斜率． xp?10k在y?kx?2中，令y?0，得xM??2． kk． 2由题意得N?0,?1?，所以直线MN的斜率为?4?5k2由OP?MN，得
?10k所以，直线PB的斜率为
24?k?230??????1，化简得k2?，从而k??．
55?2?230230或?． 55【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．
x2y26．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点为F1（–1、
ab0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x?1)2?y2?4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．
已知DF1=
5． 2（1）求椭圆C的标准方程； （2）求点E的坐标．
3x2y2【答案】（1）（2）E(?1,?). ??1；
243【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(?1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=
553，AF2⊥x轴，所以DF2=DF12?F1F22?()2?22?， 222因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2?c2，得b2=3.
x2y2因此，椭圆C的标准方程为??1.
43x2y2（2）解法一：由（1）知，椭圆C：??1，a=2，
43因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1. 4. 将x=1代入圆F2的方程(x?1) 2+y2=16，解得y=±因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(?1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
?y?2x?2112x??. 由?，得，解得或x?15x?6x?11?0225?(x?1)?y?16将x??1112代入y?2x?2，得 y??， 55因此B(?1112,?). 553(x?1). 4又F2(1，0)，所以直线BF2：y?3?y?(x?1)??1342. x?由?2，得，解得或x??17x?6x?13?027?x?y?1?3?4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x??1. 将x??1代入y?因此E(?1,?).
33(x?1)，得y??. 4232
x2y2解法二：由（1）知，椭圆C：??1.
43如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
?x??13?因为F1(?1，0)，由?x2y2，得y??.
2?1??3?4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y??因此E(?1,?).
3. 232