实变函数试题

一，填空题

??1. 设An??,2?,

?n?1n?1,2?,

An????????????????. 则limn??2. ?a,b?????,???,因为存在两个集合之间的一一映射为

??????????

1??cos,x?0y??2x3. 设E是R中函数的图形上的点所组成的

??0,????????x?0??E????????????????????????E集合，则，????????????????????????. n4. 若集合E?R满足E??E, 则E为???????????????????????集.

5. 若??,??是直线上开集G的一个构成区间, 则??,??满足:

????????????????????????????????????????, ????????????????????????????????????????.

6. 设E使闭区间?a,b?中的全体无理数集, 则

mE?????????????????.

?7. 若mE??fn(x)?f(x)??0, 则说?fn(x)?在E上????????????????.

nn8. 设E?R, x0?R,若????????????????????????????????????????,则称x0是

E的聚点.

9. 设?fn(x)?是E上几乎处处有限的可测函数列, f(x)是E上 几乎处处有限的可测函数, 若???0, 有

?????????????????????????????????

, 则称?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).

10. 设fn(x)?f(x),x?E, 则??fn(x)?的子列fnj(x), 使得????????????????????????????????????????.

二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若A,B可测, A?B且A?B,则mA?mB. 2. 设E为点集, P?E, 则P是E的外点.

??1??3. 点集E??1,2,?n,??的闭集.

??4. 任意多个闭集的并集是闭集.

n5. 若E?R,满足m*E???, 则E为无限集合.

三, 计算证明题

1. 证明:A??B?C???A?B???A?C?

3

MR2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,

有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集.

n3. 设E?R,E?Bi且Bi为可测集, i?1,2?.根据题意, 若

有

m*?Bi?E??0,???i???, 证明E是可测集.

3?ln1?x,?????????x?P???4. 设P是Cantor集, f(x)??2.

x,?????????????????????x?0,1?P????求(L)?0f(x)dx.

3xx5. 设函数f(x)在Cantor集P中点上取值为, 而在P00的

1

11余集中长为3n的构成区间上取值为6n, ?n?1,2??, 求

?10f(x)dx.

1nx3lim(R)sin6. 求极限: n???01?n2x3nxdx.

实变函数试题解答

一 填空题 1. ?0,2?.

????2. ?(x)?tan?b?a?x?a??2?,x??a,b?.

???1?3. ?(x,y)y?cosx,x?0??(0,y)y?1; ?. ????4. 闭集.

5. ??,???G.????G,????G. 6. b?a.

7. 几乎处处收敛于f(x) 或 a.e.收敛于f(x). 8. 对???0,??U(x0,?)有?E??x0????.

0mE?fn(x)?f(x)????0 9. lim??n??10. fn(x)?f(x)??a.e.于E. 二 判断题

1. F. 例如, A?(0,1), B??0,1?, 则A?B且A?B,但

mA?mB?1.

2. F. 例如, 0?(0,1), 但0不是(0,1)的外点. 3. F. 由于E???0??E.

1??14. F. 例如, 在R 中, Fn??n,1?n?, n?3,4?是一系列

??1的闭集, 但是?Fn?(0,1)不是闭集.

n?3?5. T. 因为若E为有界集合, 则存在有限区间I, I???,

**mE?mI?I???,??于m*E?????. E?I使得, 则

三, 计算证明题. 1. 证明如下:

A??B?C??A??B???SC?B??SC?????????????????????A??S?B?C??????????????????????A??SB???A?C??????????????????????A?B???A?C?

????????????????????A??S

2. M中任何一个元素可以由球心(x,y,z), 半径为r唯一确定, x,y, z跑遍所有的正有理数, r跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M为可数集.

Bi, 则E?B?Bi且B为可测集, 于是对于?i, 3. 令B?i??1都有B?E?Bi?E, 故

?0?m*?B?E??m*?Bi?E?,

*mi??令, 得到?B?E??0, 故B?E可测. 从而

E?B??B?E?可测.

4. 已知mP?0, 令G??0,1??P, 则

(L)?f(x)dx?(L)?ln?1?x3?dx?(L)?x2dx0PG1?????????????????????????(L)?f(x)dxG???????????????????????(L)?x2dx?(L)?x2dxPG???????????????????????(R)?f(x)dx01x???????????????????????33101?3

.

5. 将积分区间?0,1?分为两两不相交的集合: P0, G1, G2?,

1其中P0为Cantor集, Gn是P0的余集中一切长为n的构成3区间(共有2n?1个)之并. 由L积分的可数可加性, 并且注意到

题中的mP0?0, 可得

?10f(x)dx??P0f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx???n?1?Gn?f(x)dxf(x)dx1dxn612n?1?n63n????????????????????????????????????P0??n?1??G0P0??n?1G0?1????????????????????nmGn?n?16?111???????????????????n?916n?12?n?1

1nxnx33sinnx(R)sin6. 因为1?n2x3在?0,1?上连续, ?01?n2x3nxdx1nx3(L)sin存在且与?01?n2x3nxdx的值相等. 易知

nxnx2nx113sinnx????. 2323231?nx1?nx1?nx2x2x111dx收敛，由于在?0,1?上非负可测， 且广义积分?02x2x则

32nx3limsinnx?0， 在?0,1?上(L)可积， 由于n??1?n2x32xx??0,1?，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到

1nxnx33lim(R)?sinnxdx?lim(L)sinnxdx2323?00n??n??1?nx1?nx1?nx?3??????????????????????????????????????????????limsinnxdx?230n??1?nx??.

11?????????????????????????????????????????????0dx?00

1一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 1. 非可数的无限集为c势集 2. 开集的余集为闭集。 3. 若mE=0，则E为可数集

4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分） 1. ______可数集之并是可数集。

A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 2. _____闭集之并交是闭集。

A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是_____

A开集 B闭集 C F型集 D G型集 4. 若 |f| 在E上可积，则_______

A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限

三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。

四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：

1. S-S=(S-S) E[f>a-]

2. E[fa]=

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）

六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)a.e于E，且 |f|d|f|d

|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d（7分）

f(x)

七、计算下列各题：（每小题5分，共15分） 1. 2. 设f(x)=3. 设f(x)=

sin(nx)d=?

求

d=? ?n=2,3,?, ?求

d=?

一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)

1. 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。

2. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。

3. 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。

4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如

）

5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如

有界可测，但不可积）

二、将正确答案填在空格内

1． 至多可数个 可数集之并是可数集。

A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个 2.有限个 闭集之并交是闭集。

A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是 G型集

A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集

4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限 A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限

三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。 四、证明下列集合等式

1.S-解：

S=(S-S)

=(S-S)

2。E[fa]=证明：

E[f>a-]

所以

，同理

，??? 故

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。 ? 证明：（分析法证明）设要证事实上

。

，取

时，自然有

为开集，只须证明

?? 故为开集。

，则

无限个开集之交不一定是开集。反例：设=

既不是开集，又不是闭集。

六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列， f(x)且

|f|d

f(x) a.e于E，

|f|d，

则对任意可测子集eE有 |f|d

证明：因为f(x)引理知

|f|d≤而已知理知： 一方面

|f|d=

|f|d≤

|f|d

|f|d |f|d

|f|d

|f|d

|f|d，则对任意

由Fatou引

|f|d

f(x) a.e于E，对任意

由Fatou

另一方面，|f|d=|f|d 故即

|f|d= |f|d=

|f|d≤ |f|d-

|f|d≤|f|d=

|f|d≤|f|d

|f|d

七、计算下列各题： 1．解：因为

sin(nx)d=? ?sin(nx)

0于[0，1]

第 3页? 共 4 页

?? 且||≤1

则由Lebesgue控制收敛定理知：

sin(nx)d=

2．设f(x)=解：

求

sin(nx)d=0 d=?

所以3．设f(x)= 解：因为f(x)=

?????

?n=2,3,?,? 求?n=2,3,?,在

d=? 上非负

可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：

d=

。

一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)

1.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q?是 【 】

(A) Q (B) ? (C) R (D)R?Q 2.设?Fn?是一列闭集，【 】

(A)开集 (B)闭集 (C) G?型集 (D) 型集 3.设【 】

(A) 0 (B)1 (C)＋∞ (D)-∞

EF??Fnn?1?，则

F

一定是

F?是

R中有理数全体，则mE?

4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 【 】

(A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，

孤立点

(C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点 5.【 】

(A) P与Rn对等，且P的测度为0 (B) P与Rn对等，且P的测度为1

(C) P与Rn不对等，P的测度为0 (D)

等，P的测度为1

6. 设

设

P是Cantor集，则

P与

Rn不对

f(x)与

g(x)在

E上可测，则E?f?g?是

【 】

(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集

(D) 无法判定

7. 设f(x)在可测集E上有定义，fn(x)?min?f(x),n?，则fn(x)是

(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列

(D) 连续函数列

8. 设E是任一可测集，则 【 】

(A) E是开集 (B) E是闭集 (C) E是完备集 (D) 对任意??0，存在开集G?E，使m(G?E)??

9

．

设

f(x)???sin2x,x?[0,1]?Q?1?2x,x?[0,1]?Q，则

?[0,1]f【 】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(? x ) d

10．设?fn?是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意

??0，有下面条件成立，则?fn(x)? 依测度收敛于

f(x)． 【 】

mE?fn(x)?f(x)????0 (B) limmE?fn(x)?f(x)????0 (A) limn??n??mE?fn(x)?f(x)????0 (D) (C) limn??limmE?fn(x)?f(x)????0

n?? 二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)

1.鲁津定理 2.Fatou引理

三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分) 1. 若

E与它的真子集对等，则

E一定是有限

集． 【 】

2. 凡非负可测函数都是

L可积

的． 【 】 3.设

A为

R1空间中一非空集，若

A??a.则A?a.

【 】

4.设E为可测集，则存在G?型集F，使得

m(E?F)?0． 【 】

F?E，且

5.

f(x)在?a,b?上

L可积，则

f(x)在?a,b?R可积且

(

【

四、证明题(共4题，每题10分，共40分)

1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．

2.Rn上全体有理数点集的外测度为零．

3.设函数列{fn}在E上依测度收敛f，且fn?ha.e于E，则f?ha.e于E．

4.设f(x)在?a??,b???上可积，则limbt?0?af(x?t)?f(x)dx?0．

判断题（每题2分，共20分） 1.

必

有

比

a大的基数。（ ） 2.

无

限

个

闭

集

的

并

必

是

闭

集

。（ ） 3.若mE?0，则

E是至多可列集。（ ） 4.

无限集的测度一定不为零。

】

（ ）

5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。 （ ）

6.若f(x)在E的任意子集上可测，则f(x)在可测集E上可测。 （ ） 7.

E上可测函数列的极限函数在

E上不一定可测。

（ ） 8.

f(x)是

E上的可测函数，则

f(x)可积。

（ ）

9.若f(x)?0且?Ef(x)dx?0，则f10.若

|f(x)|(x)?0a.e.于E。 （ ）

f(x)在

E上可积，则在

E上也可积。

（ ）

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设An?(0,n),n?1,2,?，则n?An? ，?An? 。 ?1n?12.设A??1,2,3,?,n,???R1，则A0? ，A'? 。 3.设B是开区间(0,2)中有理点的全体，则mB? 。 4.单调函数的不连续点集的基数是 。 5.设E是[0,1]上的Cantor集，则E? 。 6.闭区间[a,b] 上的有界函数是 。 7. 狄利克雷函数函数

D(x)f(x)Rimann??可积的充要条件

是 可积的，

?D(x)dx? 。

[0,1]

三、计算题（每题10分，共20分）. 1.计算理） 2. 设

?x,x?P0;f(x)??2?x,x?[0,1]\\P0lim(R)?n??nxdx01?n4x21212。（提示：使用Lebesgue控制收敛定

，其中

P0是Cantor集，试计算

?[0,1]f(x)dx。

四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明：{x|x?0}??{x|x?1}

n?1?n2. 设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是是至多可列集。

3. 如果mE?0，则E的任何子集也可测且测度为零。 4.设f(x)在E上可积，且f(x)?g(x).a.e.于E，证明：g(x)也在E上可积。

5. 可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合E[f(x)?r]是可测集。 一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; n??n?1k?nn?1k?nn??（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn?1k?nn??2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P? c (B) mP?0 (C) P'?P (D)

P?P

?????????3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成

立的是( )

（A）若fnx()函数

（C）inf?fn(x)?是可测函数;（D）若fn(x)?f(x),则f(x)可n测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）

(A) 存在导数

（C）f'?fx(), 则fn(x)?f(x) (B) sup?fn(x)?是可测

nf(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处

(x)在[a,b]上

L可积 (D) ?af'(x)dx?f(b)?f(a)

b二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________ 2、设

E'E是?0,1?上有理点全体，则

=______,E=______,E=______. 3、设

Eo是

Rn中点集，如果对任一点集

T都有

_________________________________，则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.

（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使___________________________,则称f(x)为 ?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.

1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。 2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。 4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则

?Ef(x)?0

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设

?x2,x为无理数f(x)??

?1,x为有理数，则f(x)在?0,1?上是否R?可

积，是否L?可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求limn?0?ln(x?n)?xecosxdx n五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c. 2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则

limn?men?0.

n5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，

存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 11.非可数的无限集为c势集 12.开集的余集为闭集。 13.若mE=0，则E为可数集

14.若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 15.若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分） 16.______可数集之并是可数集。

A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 17._____闭集之并交是闭集。

A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 18.可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集

19.若 |f| 在E上可积，则_______A. f在E上可积 B. f

在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。

四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）： 20.S-S=

(S-S) E[f>a-]

21.E[fa]=

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）

六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)a.e于E，且 |f|d|f|d

|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d（7分）

f(x)

七、计算下列各题：（每小题5分，共15分） 22.23.设f(x)=24.设f(x)=

sin(nx)d=?

求

d=?

d=?

?n=2,3,?, ?求

一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)

6. 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。

7. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。

8. 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。

9. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如

）

10. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如

有界可测，但不可积）

二、将正确答案填在空格内

1． 至多可数个可数集之并是可数集。

A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个 2.有限个闭集之并交是闭集。

A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是 G型集 A开集 B闭集 C? F型D? G型集

4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限 A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限

三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材）。 四、证明下列集合等式 1.S-解：

S=(S-S)

=

2。E[fa]=证明：

E[f>a-]

(S-S)

所以

，同理

，??? 故

五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。 ? 证明：（分析法证明）设要证事实上

。 ?? 故为开集，只须证明

，取为开集。

，则

时，自然有

无限个开集之交不一定是开集。反例：设=

既不是开集，又不是闭集。

六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列， f(x)

f(x) a.e于E，

且|f|d|f|d，

则对任意可测子集eE有 |f|d

证明：因为f(x)引理知

|f|d≤而已知理知： 一方面

|f|d=

|f|d≤

|f|d

|f|d |f|d

|f|d

|f|d

|f|d，则对任意

由Fatou引

|f|d

f(x) a.e于E，对任意

由Fatou

另一方面，|f|d=|f|d 故即

|f|d= |f|d=

|f|d≤ |f|d-

|f|d≤|f|d=

|f|d≤|f|d

|f|d

七、计算下列各题： 1．解：因为

sin(nx)d=? ?sin(nx)

0于[0，1] 且|

|≤1

则由Lebesgue控制收敛定理知：

sin(nx)d=

2．设f(x)=解：

sin(nx)d=0 求

d=?

所以3．设f(x)= 解： 因为f(x)=

??

?n=2,3,?,在

上非负可测，

???

?n=2,3,?,? 求

d=?

所以由Lebesgue逐块积分定理知：

d=

一、填空：（共10分）

1．如果 则称E是自密集，如果 则称E是开集，如果E??E则称E是 ，E?E?E?称为E的 。

. ?i?12．设集合G可表示为一列开集{Gi}之交集：G??Gi，则G称为 . 若集合F可表示为一列闭集{Fi}之并集：F??Fi，则F称

i?1?为 . 3．（Fatou引理）设{fn}是可测集E?Rq上一列非负可测函数，则 . 4．设

f(x)为[a,b]上的有限函数，如果对于[a,b]的一切分划

?n?T:a?x0?x1???xn?b，使??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集，则

?i?1?称f(x)为[a,b]上的 ，并称这个数集的上确界为

f(x)在[a,b]上的 ，记为 . 二、选择填空：（每题4分，共20分） 1．下列命题或表达式正确的是

A．b?{b} B．{2}?2

C．对于任意集合A,B，有A?B或B?A D．??? 2．下列命题不正确的是

A．若点集A是无界集，则m*A??? B．若点集E是有界集，则m*E???

C．可数点集的外测度为零 D．康托集P的测度为零

3．下列表达式正确的是

f?(x)?max{?f(x),0} |f(x)|?f?(x)?f?(x)

B．f(x)?f?(x)?f?(x)

D．[f(x)]n?min{f(x),n}

4．下列命题不正确的是

A．开集、闭集都是可测集 B．可测集都是Borel集 C．外测度为零的集是可测集 D．F?型集，G?型集都是可测集

5．下列集合基数为a（可数集）的是 A．康托集P B．(0,1) C．设

A?Rn,A?{x?(x1,x2,?,xn)|xi是整数，i?1,2,?,n}

D．区间(0,1)中的无理数全体

三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理 四、（20分）设E?R?，f(x)是E上a.e.有限的可测函数， 证明：存在定义在

limgn(x)?f(x)a.e.于E

n??R?上的一列连续函数{gn}，使得

五、（10

nxsin2007nx?sinnx(R)?edx?0 分）证明lim22n??1?nx01 六、（10分）设f(x)是满足Lipschitz条件的函数，且

f?(x)?0a.e.于[a,b]，则f(x)为增函数

七、（10分）设f是[a,b]上的有界变差函数，证明f2也是[a,b]上

的有界变差函数

一、填空题：（共10分）

1、E?E?,E?E（或E?E） 闭集，闭包 2、G?型集，F?型集3、?En??00limfn(x)dx?lim?fn(x)dx

n??E4、有界变差函数，全变差，V(f) a二、选择填空：（每小题4分，共20分）

1、D 2、A 3、D 4、B 5、C 三、（20分）

定理：设f(x)a.e.有限于E，若对于任意的??0，总有闭集

F??E，使m(E?F?)??，且f(x)在F?上连续，则f是E上的可测函数.

证 对任意的正整数n，存在闭集Fn?E使m(E?Fn)?1，

nb且

f?在

k?1Fn上连续，从而

f在

Fn上可测

设F??Fk，则F是可测集，且E?F?E?Fn,n?1,2,?，于是

m(E?F)?m(E?Fn)?1,n?1,2,? n ?m(E?F)?0?f在E?F上可测 由于E?(E?F)?F，只须证f在F上可测，事实上，对任意的a?R，F[f?F[f?a]?a]??Fn[f?a]

n?1?是可测集

?f在

F

上可测

?f在

E上可测

（5分） 四、（20分）

证明

f在E上可测，由Lusin定理，对任何正整数n，

n存在E的可测子集En，使得m(E?En)?1，同时存在定义在R?上的连续函数?n(x)，使得当（7分）

所以对任意的??0，成立

x?En时有?n(x)?f(x)

E[|f??n|??]?E?En，n?1,2,?

?mE[|f??n|??]?m(E?En)?n??

1,n?1,2,? n?limmE[|f??n|??]?0因此?n?f

kkim?n由F.Riesz定理，存在{?n}的子列{?n}，使lk??(x)?f(x)a.e.于E，记?nn??k(x)?gk(x)，则

k??limgn(x)?limgk(x)?f(x)a.e.于E

五、（10分） 证明 设

nxsin2007nx?sinnxfn(x)?e 221?nx则fn(x)在[0,1]上连续，因而R可积?L可积，

nxsin2007nx?sinnxfn(x)?lime?0 x?[0,1] 且lim22n??n??1?nx

取F(x)?1e，则|2fn(x)|?F(x)，而m([0,1])?1???

由Lebesgue有界收敛定理

?lim(R)?fn(x)dx?lim(L)?n??0n??1[0,1]fn(x)dx?(l)??dx?0

[0,1]六、（10分）

证 因为f满足Lipschitz条件，所以f是绝对连续函数，对任意的x1,x2?[a,b],x1?x2，

由牛顿—莱布尼兹公式f(x1)?f(a)??f?dx（1）

ax2ax1f(x2)?f(a)??f?dx（2）

（2）—（1）?f(x2)?f(x1)??x2x1f?dx?0

?f(x2)?f(x1)?f(x)是[a,b]上的单调

函数 七、（10分） 证

x?[a,b]

f是有界变差函数，因而是有界函数，于是|f|?m，

对[a,b]的任意分划T:a?x0?x1???xn?b有

?|fi?1n2(xi)?f(xi?1)|??|f(xi)?f(xi?1)||f(xi)?f(xi?1)|

2i?1n?2M?|f(xi)?f(xi?1)|i?1n?2MV(f)

ab

因此f2也是[a,b]上的有界变差函数