习题1-2解答

1. 求下列排列的逆序数： ⑴ 4132；

解：N(4132)?0?1?1?2?4。 ⑵ 2413；

解：N(2413)?0?0?2?1?3。 ⑶ 36715284；

解：N(36715284)?0?0?0?3?2?4?0?4?13。 ⑷ 3712456；

)?0?0?2?2?1?1?1?7。 解：N(3712456⑸ 13…(2n?1)24…(2n)；

分析：逆序数的计算方法有两种，一般来讲用下述方法较多：N(i1i2?in)?i1后面比i1小的数的个数?i2后面比i2小的数的个数?…?in?1后面比in?1小的数的个数。其中N(i1i2?in)代表排列i1i2?in的逆序数，因此求排列的逆序数只要从第一个元素起依次用上述方法来计算即可。

解一：排列：1 3 5 … 2n?1 2 4 6 … 2n

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 逆序：0 0 0 0 n?1 n?2 n?3 0

N[13…(2n?1)24…(2n)]?(n?1)?(n?2)??1?0?n(n?1)。 2解二：对于1来讲，后面无比1小的数，对于3来讲，后面有1个数2比它小，对于5来讲，后面有

2个数比它小，…，而对于(2n?1)来讲，后面有(n?1)个数比它小，故

N[13…(2n?1)24…(2n)]?0?1?2?3???n?1?⑹ 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2。

n(n?1)。 2解：N[13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2]?0?1?2???(n?1)?(n?1)???0?n(n?1)。 2. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。 分析：由行列式的定义知，D??(?1)al1i12i23i3 aaa4i4，其中i1i2i3i4是1，2，3，4的某个排列，

本题中i1?1，i2?3，所以i3，i4分别为2，4，故i1i2i3i4是为1324或1342。注意行列式的项不仅仅 有数值还应有符号(?1)N(i1i2i3i4)。

解：四阶行列式中含有因子a11a23的项有：

(?1)N(1324)a11a23a32a44??a11a23a32a44， (?1)N(1342)a11a23a34a42?a11a23a34a42。

3. 在六阶行列式aij中，下列各元素乘积应取什么符号？ ⑴ a15a23a32a44a51a66；

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解：因为行标已按自然顺序排列，该项的符号由列标组成排列的逆序数来确定。

N(532416)?0?1?2?1?4?0?8

而8为偶数，所以a15a23a32a44a51a66在六阶行列式中取正号。 ⑵ a11a26a32a44a53a65；

解：因为行标已按自然顺序排列，该项的符号由列标组成排列的逆序数来确定。

N(162435)?0?0?1?1?2?1?5

而5为奇数，所以a11a26a32a44a53a65在六阶行列式中取负号。 ⑶ a21a53a16a42a65a34。

解：因为行标与列标都没已按自然顺序排列，该项的符号由行标组成排列与列标组成排列的逆序数之和来确定。

N(251463)?0?0?2?1?0?3?6 N(136254)?0?0?0?2?1?2?5

)?N(136254)?11为奇数，所以a21a53a16a42a65a34在六阶行列式中取负号。 而N(2514634. 选择k，l使a13a2ka34a42a5l成为五阶行列式aij中带有负号的项。 解：本题主要考查行列式的定义中乘积项的构成及乘积项前符号的取法。

行标排列为12345，是从小到大排列，故乘积项符号只取决于列标排列的逆序数。

列表排列为3k42l，又因为乘积项中各元素必须来自不同的列，故k和l只能取1，5且互不 相同。

)?0?1?0?2?0?3，此时乘积项前取负号； 当k?1，l?5时，N(31425)?0?0?1?3?4?8，此时乘积项前取正号。 当k?5，l?1时，N(35421故当k?1，l?5时，a13a2ka34a42a5l成为五阶行列式aij中带有负号的项。 5. 设n阶行列式中有n?n个以上的元素为零，证明该行列式为零。

证一：要让一个行列式为零，不是轻而易举的事，但注意到本题的行列式中的大部分元素都为零，

不为零的元素最多有(n?1)个。因此，在行列式的乘积项中，必然有许多为零，从而要让行 列式为零，只需说明每个乘积项都为零即可。

因为行列式中最多有(n?1)个元素不为零，故该n阶行列式中至少有一行的元素全为零，故 行列式的乘积项中至少有一个元素为0，从而每项均为零，故该行列式为零。 证二：根据n阶行列式定义，aij的一般项为

2(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

222又aij中零元素个数大于n?n，所以aij中不等于零的元素个数小于n?(n?n)?n个，

由此可知行列式aij的任一行可能都等于零，所以该行列式为零，即aij?0。 6. 用行列式的定义计算下列行列式：

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00⑴ ?0n00??01?20???；

0000n?1?0?解：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

在一般项中，；； a1n?1，a2j2?0（j2?1,2,?,n?2,n）a1j1?0（j1?1,2,?,n?1）a2,n?1?2，…；an?1,2?n?1，an?1,jn?1?0（jn?1?1,3,?,n)；an1?n，anjn?0（jn?2,3,?,n）。因 此在该行列式中只有a1na2,n?1?an?1,2an1这一项不为零，其他项均为零。由于

N[n(n?1)?21]?(n?1)?(n?2)???2?1?于是，原式?(?1)n(n?1)2n(n?1)， 2n!。

010?0002?0⑵ ?????；

000?n?1n00?0解：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

在一般项中，a12?1，a1j1?0（j1?1,3,?,n）；a23?2，a2j2?0（j2?1,2,4,?,n）； …；an?1,n?n?1，an?1,jn?1?0（jn?1?1,2,?,n?1)；an1?n，anjn?0（jn?2,3,?,n）。 因此在该行列式中只有a12a23?an?1,nan1这一项不为零，其他项均为零。由于行标已按自然顺 序排列，列标的逆序数为

N(23?n1)?n?1，

于是，原式?(?1)n?1n!。

a15a250； 00a11a21⑶ a31a41a51a12a22a32a42a52a13a23000a14a24000《习题1-2解答》第 3 页 共 3 页

解一：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，

若j3，j4，j5中两个取1，2列，则必有一个取3，4，5列中之一的零元素，故该行列式 的值为零，即原式?0。 解二：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，

由于j1j2j3j4j5为1，2，3，4，5的一个排列，故j3，j4，j5中至少有一个大于等于3， 进而a3j3，a4j4，a5j5中至少有一个为零，从而所有乘积项均为零，故原式?0。

a11a21解三：a31a41a51a12a22a32a42a52a13a23000a14a24000a21a15a250 00a22a32a42a52a31a32a42a52a240000a25a11a12a32a42a52a32a42a520a14000a150 00?(?1)1?3a31a13a41a510a312?3?(?1)a230a410a51a31?a13(?1)1?3a24a41a510?0?0。

0?a23(?1)1?3a14a410a510

0a11?a1,n?1a21?a2,n?1⑷

???an1?0a1n0； ?0解：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn，

该行列式中，只有a1na2,n?1?an1这一项不为零，其他项均为零，由于

N[n(n?1)?21]?0?1???(n?1)?于是，原式?(?1)n(n?1)2n(n?1)， 2a1na2,n?1?an1。

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00⑸

010100100000； 10解：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4，

在一般项中，只有a13?a22?a34?a41?1，a1j1?0（j1?1,2,4），a2j2?0（j1?1,3,4）， ，a4j4?0（j1?2,3,4），因此，在该行列式中只有a13a22a34a41这一项 a3j3?0（j1?1,2,3）不为零，其他项均为零。由于

N(3241)?0?1?0?3?4，

于是，原式?(?1)4?1。

10⑹

001110101101。 10解：行列式的一般项为

(?1)N(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4，

在一般项中，j1?1，j4?3，所以j2，j3有两种取法2和4。因此，在该行列式中有

a11a22a34a43和a11a24a32a43这两项不为零，其余项均为零。

)?0?0?0?1?1，N(1423)?0?0?1?1?2， 由于N(1243所以，原式?(?1)?1?(?1)2?1?0。

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