由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，

所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.

由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即

2b2

a＝3，可求得b＝3，即b＝3.

2

答案 D

12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值是( ) 3A. 3

2B. 3

2

C. D.1

2

解析 如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，

2

0

y即x0＝.

2p设M(x′，y′)，由→PM＝2→MF，

2

0

?p???x′－x0＝2?－x′?，?2?得?

??y′－y0＝2（0－y′），

解之得x′＝

p＋x0

，且y′＝. 33

y0

y′y02p∴直线OM的斜率k＝＝＝2

x′y02pp＋＋y0

2py0

又y0＋

2p2

y0

≥22p，当且仅当y0＝2p时取等号.

2p22

∴k≤＝，则k的最大值为. 222p2答案 C

13.设抛物线y＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________. 解析 直线AF的方程为y＝－3(x－2)，联立

?y＝－3x＋23，

?得y＝43，所以P(6，43).?x＝－2，

2

由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.

答案 8

14.已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且5

|QF|＝|PQ|.

4(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，

2

M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

解 (1)设Q(x0，4)，代入y＝2px得x0＝. 2

8

pp8

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

p22p8

pp858

由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p2p4p＝2.

所以C的方程为y＝4x.

(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y＝4x得y－4my－4

2

2

2

＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故AB的中点为D(2m＋1，2m)， |AB|＝m＋1|y1－y2|＝4(m＋1).

又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y1

2

2

2

m＋2m2＋3.

将上式代入y＝4x，并整理得y＋y－4(2m2＋

2

2

4

m3)＝0.

设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，

4

my3y4＝－4(2m＋3).

?22?2

故MN的中点为E?2＋2m＋3，－?，

m??m2

|MN|＝1＋2|y3－y4|＝

14（m＋1）2m＋1

22

mm2

. 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同