三、解答题
xy9.设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)
ab的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
3
22
l的方程为y＝x＋c，其中c＝a－b.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满
22
y＝x＋c，??22
足方程组?xy消去y，化简得(a2＋b2)x2
2＋2＝1，??ab－2ac＋2acx＋a(c－b)＝0，则x1＋x2＝2x1x22，a＋b2
2
2
2
2
a（c－b）＝. 22
a＋b因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|44ab2＝2[（x1＋x2）－4x1x2]，即a＝22，故a3a＋b2
2
222
＝2b，
2
ca－b2所以E的离心率e＝＝＝.
aa2
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
22
x0＝
x1＋x2
2－a2c2cc＝2，y0＝x0＋c＝. 2＝－a＋b33
y0＋1
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，
x0
得c＝3，从而a＝32，b＝3. 故椭圆E的方程为
＋＝1. 189
2
2
x2
y2
xy10.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)
ab2
的一个顶点为A(2，0)，离心率为.
2
直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程；
10(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
3
?a＝2，?c2
解 (1)由题意得?＝，
a2?222?a＝b＋c.
解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
42
x2
y2
y＝k（x－1），??22
2222
(2)由?xy得(1＋2k)x－4kx＋2k＋＝1，??42
－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 4k2k－4
x1＋x2＝2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k所以|MN|＝（x2－x1）＋（y2－y1） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2]
2
22
2
2
2
2（1＋k）（4＋6k）＝ 2
1＋2k又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|
2， 1＋k1|k|4＋6k2
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，2
21＋2k|k|4＋6k10
由＝，解得k＝±1. 2
1＋2k3
能力提高
2
22
y11.已知椭圆＋2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分
4b别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( ) A.1
B.2 3
C. 2
D.3
x22
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，