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相似三角形（二）

知识考点：

本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用

精典例题：

【例1】如图，在△ABC中，AB＝14cm，

AD5?，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长。 BD92S?AD?分析：由AB＝14cm，CD＝12cm得S?ABC＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有?ADE???可求得

S?ABC?AB?S?ADE，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。

答案：△ADE的面积为

ADE752

cm，周长为15 cm。 7APMPADEB例1图 CBMQFCBNC

例2图

变式1图

【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若S?ADE?1，S正方形DEFM?4，求S?ABC

分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用S?ADE可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得S?ABC。

解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P ∵S?ADE?1，∴AP＝1

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

12APDE?，即?

3BCAQBC ∴BC＝6，故S?ABC＝9

变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，

求菱形AMNP的周长。

答案：35 cm

变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。

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ACAMNDNDMEMS1RPS2TPS3BGHFCAB变式2图 答案：

BC

例3图

问题一图

2448 cm， cm 77【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、

S3，分别为4、9、49，求△ABC的面积。

解：设MP＝p，RT＝r，PN＝q，由于S1、设△ABC的面积为S，AB＝c，则有S2、S3都相似于△ABC，

2S?q，c3S?p7r?，三式相加得： ，

cSc?p?q?rc??1 cc2?3?7S∴S?12，故S?144

探索与创新：

【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC

于M、N，若AM∶MB＝m∶n。

（1）计算PM、PN的长；

（2）当a∶b＝m∶n时，PM与PN有怎样的关系？

（3）在什么条件下才能得到MN＝

1(a?b)。 2略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC ∴

PMBMPNDNAM???， DABABCDCAB 又∵AM∶MB＝m∶n，∴BM∶AB＝n∶(m?n) ∴AM∶AB＝m∶(m?n) ∴PM?nma，PN?b m?nm?nnma，PN?b （2）∵PM?m?nm?n ∴当na?mb，即a∶b＝m∶n时，才有PM＝PN；

na?mb1na?mb（3）∵MN＝PM＋PN＝，由(a?b)?可得：

m?n2m?n(a?b))(m?n)?0

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从而a?b?0或m?n?0

故当a?b，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝

的中位线时，MN＝

1(a?b)或m?n且MN为梯形（或平行四边形）21(a?b)。 2【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为a、b(a?b)，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。

解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝x，△OAD的面积为S0，梯形ABCD的面积为2S， ∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD

OAES?OEF?EF?S0?Sx2??∴?2 ?，即S?OAD?AD?S0a2aDFSx2整理得1?………① ?S0a2BbC2S?2Sb同理△OBC∽△OAD，0?2，

S0a问题二图 2x2b2S2Sb2整理得1?………②，由①②消去得：1?2?2 ?S0aaS0a2a2?b2即x?，∵x?0，∴x?22a2?b2a2?b2，即EF＝ 22跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，S?AOD∶S?BOC＝ ，S?AOD∶S?AOB＝ 。

2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。

3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别是 。

AAODFDEGBC

第1题图 B

第4题图 C

4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则S四边形DFGE∶S四边形FBCG＝ 。 二、选择题：

1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）

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A、1∶2 B、1∶4 C、4∶9 D、2∶3

ADAGEBFCDOBE

第1题图

第2题图 C

2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S?DOE∶S?COB＝4∶9，则AE∶EC为（ ） A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4

3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD的长为（ ） A、1 B、

35 C、2 D、 22三、解答题：

1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长。

2、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝900，D、E分别为AB、AC上一点，且BD＝证：∠ADE＝∠EBC。

A11AB，AE＝AC，。求33AAEDFDBECBDCBEC第1题图

第2题图

第3题图

3、已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2。

4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2 cm／秒的速度移动，点Q从B点

开始沿BC边向点C以4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、3∶5，9∶25，3∶5；2、1∶2；3、18 cm2，27 cm2；4、8∶27； 二、选择题：CAC 三、解答题：

1、

63； 112、提示：过E点作EF⊥BC于H，证△DAE∽△BHE较容易；

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1?0.8，S2?2.2；

秒或0.8秒，这样的三角形有两个。

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3、S4、2

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