高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 附：

P(K2≥k0) k0 n?ad－bc?2K＝.

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

2

0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 4 500

解 (1)由分层抽样可得300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

15 000

(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别列联表：

每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计 结合列联表可算得K2的观测值 300×?45×60－30×165?2k＝≈4.762>3.841.

75×225×210×90

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

n?ad－bc?2

反思与感悟 (1)解答此类题目的关键在于正确利用K＝计算k的值，

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

2

男生 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300 再用它与临界值k0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． (2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不

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难理解掌握．

跟踪训练3 某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分成绩优秀的人数如下表所示，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系？

数学优秀 数学非优秀 物理优秀 228 143 化学优秀 225 156 总分优秀 267 99 注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人． 解 列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下：

数学优秀 数学非优秀 合计 物理优秀 228 143 371 物理非优秀 132 737 869 合计 360 880 1 240 将表中数据代入公式，得K21的观测值为 1 240×?228×737－132×143?2k1＝≈270.1>10.828.

360×880×371×869列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下：

数学优秀 数学非优秀 合计 化学优秀 225 156 381 化学非优秀 135 724 859 合计 360 880 1 240 将表中数据代入公式，得K22的观测值为 1 240×?225×724－156×135?2k2＝≈240.6>10.828.

360×880×381×859列出数学成绩与总分成绩的2×2列联表如下：

数学优秀 数学非优秀 合计 总分优秀 267 99 366 总分非优秀 93 781 874 合计 360 880 1 240 将表中数据代入公式，得K23的观测值为 1 240×?267×781－93×99?2k3＝≈486.1>10.828.

360×880×366×874

由上面的分析知，K2的观测值都大于10.828，说明在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都有关系．

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求K2时用错公式致误

例4 在109个人身上试验某种药物预防感冒的作用，得到如下列联表：

服用药 未服用药 总计 则有多大把握认为该药有效？ 109×?11×46－21×31?2

错解 k＝≈0.313 8<0.455，

57×52×32×77∴在犯错误的概率不超过0.5的前提下不能认为该药有效． n?ad－bc?2

错因分析 K＝，

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

2

感冒 11 21 32 未感冒 46 31 77 总计 57 52 109 而错解中误将(ad－bc)2写成(ab－cd)2.

109×?11×31－21×46?2

正解 k＝≈5.830 0>5.024，

57×52×32×77∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该药物有效．

点评 要理解公式的推导过程，掌握公式中每个量的意义，抓住公式的特征，就会避免用错公式．

1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )

答案 D

解析 观察等高条形图发现

x1x2和相差越大，就判断两个分类变量之量关系越强． x1＋y1x2＋y2

2．下面是一个2×2列联表：

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x1 x2 总计 则表中a，b处的值分别为( ) A．94,96 C．52,60 答案 C

解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.

3．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：

50岁以下 50岁以上 总计 偏爱蔬菜 4 16 20 偏爱肉类 8 2 10 总计 12 18 30 B．52,50 D．54,52

y1 a 8 b y2 21 25 46 总计 73 33 106 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( ) A．90% C．99% 答案 C

30×?4×2－16×8?2

解析 因为K的观测值k＝＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属

12×18×20×10

2

B．95% D．99.9%

的饮食习惯与年龄有关．

4．为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了50名学生，得到如下2×2列联表：

男 女 理科 13 7 文科 10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 50×?13×20－10×7?2

根据表中数据，得到K的观测值k＝≈4.844.可认为选修文科与性别

23×27×20×30

2

有关系的可能性不低于________． 答案 95%

解析 ∵K2的观测值k≈4.844>3.841，且P(K2≥3.841)≈0.05，这表明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选修文科与性别之间有关系，即选修文科与性别有关系的可能性不低于95%.