高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析(含答案)第3章 统计案例 改好56页 下载本文

高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析(含答案)

∑ 所以x=1.55,y=7.2,

7.75 36 23 21.312 5 ^所以b=

i=1

?xiyi-5x y?xi2-5x

5

2

5

23-5×1.55×7.2=≈-3.53, 21.312 5-5×1.552i=1

^^

a=y-b x≈7.2+3.53×1.55≈12.67.

^

故所求的y与x之间的回归方程为y=-3.53x+12.67.

错因分析 本题直接取已知数据求线性回归方程,没有画出散点图或求相关系数r进行相关性检验,而本题的两个变量恰好不具有线性相关关系.根据散点图可以发现样本点分布在某1

一条反比例函数曲线的附近,易知y与呈线性相关关系.

x

正解 根据收集的数据作散点图(如图(1)所示).由图可知样本点分布在某一条反比例函数曲1

线的附近,令t=,则原数据变为:

x

图(1)

t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1 由散点图(如图(2)所示)可以看出y与t呈近似的线性相关关系.

图(2)

列表如下:

i 1 2 3 ti 4 2 1 yi 16 12 5 tiyi 64 24 5 t2i 16 4 1 高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析(含答案)

4 5 ∑ 所以t=1.55,y=7.2.

0.5 0.25 7.75 2 1 36 1 0.25 94.25 0.25 0.062 5 21.312 5 ^所以b=

i=1

?tiyi-5t y?t2i-5t

5

2

5

94.25-5×1.55×7.2

=≈4.134 4, 21.312 5-5×1.552i=1

^^

a=y-b t≈7.2-4.134 4×1.55≈0.791 7. ^

故y与t之间的回归方程为y=4.134 4t+0.791 7, ^4.134 4

所以y与x之间的回归方程是y=+0.791 7.

x

点评 在解决回归分析的问题时,首先要对两个变量间的相关性进行分析,一要看它们是否相关,二要看它们是否是线性相关,如果它们不具有相关关系或不具有线性相关关系,即使求出线性回归方程,也没有任何意义.

1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形的边长和面积 C.正n边形的边数和内角度数和 D.人的年龄和身高 答案 D

解析 函数关系就是一种变量之间的确定性的关系.A,B,C三项中的两个变量之间都是函数关系,可以写出相应的函数表达式,分别为f(θ)=cos θ,g(a)=a2,h(n)=nπ-2π.D选项中的两个变量之间不是函数关系,对于年龄确定的人群,仍可以有不同的身高.故选D. ^

2.设一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x增加一个单位时( ) ^

A.y平均增加1.5个单位 ^

B.y平均增加2个单位 ^

C.y平均减少1.5个单位 ^

D.y平均减少2个单位

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答案 C

^

解析 由线性回归方程y=2-1.5x中x的系数为-1.5,知C项正确.

3.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) ^

A.y=0.4x+2.3 ^

C.y=-2x+9.5 答案 A

解析 因为变量x与y正相关,则在线性回归方程中,x的系数应大于0,排除C,D.将x=3,y=3.5分别代入A,B中的方程,只有A满足.故选A. 4.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下表:

x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80 ^

B.y=2x-2.4 ^

D.y=-0.3x+4.4

^^根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y=10.5x+a,据此模型来预测当x=20时,y的估计值为( )

A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5 答案 C

^^^

解析 由已知得x=5,y=54,则(5,54)满足回归直线方程y=10.5x+a,解得a=1.5,因^^

此y=10.5x+1.5,当x=20时y=10.5×20+1.5=211.5,故选C.

5.在研究硝酸钠的溶解度时,观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表:

温度x 溶解度y 0 66.7 10 76.0 20 85.0 50 112.3 70 128.0 由此得到回归直线的斜率是________. 答案 0.880 9

11

解析 x=×(0+10+20+50+70)=30,y=×(66.7+76.0+85.0+112.3+128.0)=93.6,

55

^

由公式b=

i=1

? ?xi-x??yi-y?

^

可得b≈0.880 9.

i=1

5

? ?xi-x?2

5

回归分析的基本思路

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(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量;

(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等);

^^^

(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系,则选用线性回归方程y=bx+a); (4)按一定规则估计回归方程中的参数;

(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大,或残差呈现不随机的规律性等),若存在异常,则检查数据是否有误或模型是否合适等.

一、选择题

1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)有线性相关关系,根据一组样本数^

据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,下列结论中不正确的是( )

A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x,y)

C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D

^

解析 由回归方程为y=0.85x-85.71知y随x的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关^^^^^^^

关系;由最小二乘法建立回归方程的过程知y=bx+a=bx+y-bx(a=y-bx),所以回归直线过样本点的中心(x,y);利用回归方程可以估计总体,所以D不正确.

2.某商品的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)负相关,则其回归方程可能是( )

^

A.y=-10x+200 ^

C.y=-10x-200 答案 A

解析 结合图象(图略),知选项B,D为正相关,选项C不符合实际意义,只有选项A正确. 3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

收入x/万元 支出y/万元 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ^

B.y=10x+200 ^

D.y=10x-200