故答案为：4

15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=

为曲线f（x）在点A与点B之

间的“曲率”，给出以下问题：

①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；

=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，②函数f（x）则点A与点B之间的“曲

率”φ（A，B）＞；

③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；

④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．

其中正确命题的序号为 ①③ （填上所有正确命题的序号）．

【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】考虑一次函数，求出导数，可得φ（A，B）=0，即可判断①；求出A，B的坐标，求得φ（A，B），即可判断②；求出f（x）的导数，运用不等式的性质，可得φ（A，B）≤2a，即可判断③；求出函数的导数，运用新定义求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范围，即可判断④．

【解答】解：对于①，当函数f（x）=kx+b（k≠0）时，f′（x）=k， φ（A，B）=

=

=0，故①正确；

对于②，由题意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x， 可得φ（A，B）=

=

=

＜

，故②不正确；

对于③，函数f（x）=ax2+b的导数为f′（x）=2ax， B）=即有φ（A，

=

=

≤

2a，

故③正确；

对于④，由y=ex得y′（x）=ex， 由A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=ex上两点，且x1﹣x2=1， 可得φ（A，B）=

=

，

由t?φ（A，B）＜1恒成立，可得t＜，

由＞1，可得t≤1，故④不正确．

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故答案为：①③．

三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=，S3=． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn=+105成立的n的值．

【考点】数列的求和． 【分析】（Ⅰ）讨论q=1和q≠1的情况，分别应用等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到公比和首项，进而得到通项公式．（2）分类讨论q的取值，利用对数的性质求bn，出再进行化简，求得Tn，最后求得n的值． 【解答】解：（Ⅰ）当q=1时，

，

成立；

当q≠1时，，，由，．

解得a1=6，，则

综上可知：（Ⅱ）当2n=+105 则n=70 当

或

时，bn=2则Tn=2n；

．

===2n，

∴∴

，

整理得：n2+n﹣210=0；

解得n=10

综上可知n=10或n=70．

17．我国政府对PM2.5采用如下标准： PM2.5日均值m（μg/m3） m＜35

35≤m≤75 m＞75

空气质量等级 一级 二级 超标

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某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （1）求这10天数据的中位数；

（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；

（3）以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？

【考点】茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（ 1）利用茎叶图和中位数的定义求解．

（ 2）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，利用P（ξ=K）=1，2，3），能求出分布列．

（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由η～B，能求出一年中空气质量达到一级的天数为72天． 【解答】解：（ 1）由茎叶图知：

10天的中位数为（38+44）2=41（微克/立方米） （ 2）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3 利用P（ξ=K）=ξ P

0

1

（k=0，1，2，3）即得分布列：

2

3

（k=0，

（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为， 由η～B，

得到Eη=180×=72（天），

∴一年中空气质量达到一级的天数为72天．

18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求C的值；

（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=

a=ccosB+bsinC．

，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．

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【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC； （2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）． 【解答】解：（1）∵a=ccosB+bsinC， ∴sinA=sinCcosB+sinBsinC，

即sin（B+C）=sinCcosB+sinBsinC， ∴sinBcosC=sinBsinC， ∴tanC=． ∴C=

．

（2）在△ABC中由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7， ∴c=．

由余弦定理得cosB=

=

=

．

∴sinB=∵cos∠BCD=

=．

=

．

，∴sin∠BCD=

=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB=∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=

．

19．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB，CE=CD． （I）求证：平面CDE⊥平面ADE； （Ⅱ）求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．

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