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函数项级数一致收敛的判别方法

摘 要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题，函数级数和函数的分析性质一致收敛有关.

因此本论文中提出了函数级数?uk?x?一致收敛的定义法，柯西一致收敛准则，魏尔斯

k?1n特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，精细的狄尼（Di ni）定理，确界判别法，导数判别法，比试判别法，根式判别法等几种重要判别法，并应用函数项级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则和M判别法给出了论文中所有结论的证明.

关键词：函数项级数；一致收敛；判别法

Several methods of judging the convergence uniform of the function series

Abstract: As a generalization of convex functions, strongly preinvex functions and

?h,?????preinvex functions are two classes of very important functions and which are quite

widely applied to mathematical programming. In the paper, through utilizing Ben-tal generalized algebraic operations to generalize strongly preinvex functions and ?h,?????

preinvex functions, a new class of generalized?h,???convex functions,???h,???weakly preinvex function, is defined and some properties of it are given and proven too.

Keywords: generalized algebraic operations; preinvex function; generalized ?h,??? convex function;???h,???weakly preinvex function ; property

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1 引言

对于函数项级数?un(x), 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质.比如能否由函数项级数?un(x)的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性. 这些都要对函数项级数?un(x)的收敛性提出更高的要求. 即函数项级数的一致收敛性.尤其和函数不容易求或者根本就求不出来时, 更需要这样.有了函数项级数的一致收敛性,再加上某些条件, 则函数项级数?un(x)的积分, 求导可化为对函数项级数?un(x)的逐项积分和逐项求导. 这些结果为证明幂级数的性质, 函数的幕级数展开及周期函数的傅氏级数展开奠定少坚实的基础. 为此, 我们应该提出更多的方法来判断函数项级数?un(x)的一致收敛性。除了课本提出的几个函数项级数一致收敛性的判断法, 在这里, 我们提出几个新的函数项级数一致收敛的判别法.

2 预备知识

定义1[1][2] 设?un?x??是定义在数集D上的一个函数列表达式

u1?x??u2?x??...?un?x??... x?D (1)

称为定义在D上的函数项级数,简称为函数级数.记作为D???1,1?或

Sn(x)??uk(x)称为函数项级数(1)的部分和函数列. 级数(1)的和函数记作

k?1n?u(x).把

n u1?x??u2?x??...?un?x??...?S(x). x?D (2) 即

limSn(x)?S(x) x?D

x??定义2[1] 设?Sn(x)?是函数项级数?un(x)的部分和函数列. 若?Sn(x)?在数集Ｄ上一致收敛于函数S(x), 则称函数项级数?un(x)在Ｄ上一致收敛于函数S(x), 或称?un(x)在Ｄ上一致收敛.

定义3[1][2] 设函数项级数?un(x)在区间D上的和函数为S(x)，把Rn(x)?S(x)?Sn(x)称为函数项级数?un(x)的余项.

定义4[1][2]设函数项级数?un(x)在区间D上收敛，其和函数为S(x)??uk(x)，部分和函

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数列Sn(x)??uk(x)，若对任意的??0，存在??0,使得当n?N时对一切的x?D有

k?1ns(x)?sn(x)??，则函数项级数?un(x)在区间D上一致收敛．

3 函数项级数一致收敛的几种判别方法

3.1 定义法

对于用定义法讨论函数项级数的一致收敛性，主要是??N法.在应用此方法时首先先设法求

和函数s?x???u(x)，写出部分和s?x???u(x).然后对任意给定的??0，找出与x有关的

nnkn?1k?1?nN?N???，使得n?N时有：

s?x??sn?x???.

例1 试证?xn在??r,r?上一致收敛，但在(?1,1)内不一致收敛．

[3]n?1?证明 显然?xn在(?1,1)内收敛于

n?1?x． 1?x对任意的??0，欲使当n?N和?r?x?r时，恒有

?xk?1nk?x???， 1?x1?xxn?1成立,只要当n?N时,恒有

rn?1??， 1?r成立,只要当n?N时,恒有

n?1?成立,只要当n?N时，恒有

n?lg?1?r??. lgrlg?1?r??， lgr??lg?1?r???xnx???r,r成立，只要取N??即可．依定义4，在上一致收敛于． ??1?xn?1?lgr?存在?o?精品文档

2N?1???1,1?，使 ，对任意自然数N，都存在no?N?1?N和xo?eN?2精品文档

?xk?1?nokoxoxooN?12 ????N?11?xo1?xo??1??1??N?1??n?1成立，依定义，?xn在(?1,1)内不一致收敛．

n?1利用定义法讨论函数项级数的一致收敛性时，首先需要知道他的和函数（或者极限函数），这在遇到许多复杂问题的时候是很难做到的，下面将要介绍其他的几种判别方法. 3.2 Cauchy一致收敛准则法

定理1

[1]函数项级数?un?x?在数集D上一致敛的充要条件为：

对???0，总?N?N?，使得当n?N时，对一切x?D和一切正整数p，都有

Sn?px?. ?x??S?n??

或 un?1?x??un?2?x????un?p?x??? . 或

k?n?1?u?x???.

kn?p特别地，当p?1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件： 推论1

[4] 函数项级数在?un?x?在数集D上一致收敛的必要条件是函数列?un?x??在D

上一致收敛于0．

例2

[1]判断函数项级数?1?2n在区间D???1,1?上的一致收敛性. 2222n?2(x?n)[x?(n?1)]? 解：因为

Sn?p?x??Sn?x??1?2k， ?2222k?n?1?x?k?[x?(k?1)]n?p ?11， ?2222x?(k?1)k?n?1x?k?n?p ?11， ?2222x?(n?p)x?n11?.

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