问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解析：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张， x，y∈N??
依题意?3x＋6y≥45，
??5x＋6y≥55
*
钢板总面积z＝2x＋3y. 作出可行域如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，最小．
???3x＋6y＝45，?x＝5?由方程组得?. ?5x＋6y＝55，???y＝5
所以，甲、乙两种钢板各用5张．
[B组 能力提升]
x＋y－2x－2y＋1≥0，??
1．设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足?1≤x≤2，
??1≤y≤2，小值时，点B的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．无数个
2
2
→→
则OA·OB取得最
解析：如图，阴影部分为点B(x，y)所在的区域． →→
∵OA·OB＝x＋y， 令z＝x＋y，则y＝－x＋z.
由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，故点B的个数为2. 答案：B
2．已知a，b是正数，且满足2 55C．(1,16) 4 B．(，16) 516 D．(，4) 5 ??2 解析：原不等式组等价为?，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分， ?a＋2b<4? a2＋b2表示区域内的动点P(a，b)到原点距离的平方，由图象可知当P在D点时，a2＋b2最大，此时a2＋b2＝42＝16，原点到直线a＋2b－2＝0的距离最小，即d＝44 a2＋b2＝d2＝，即a2＋b2的取值范围是 55答案：B 3．已知实数x，y满足不等式组 x－y＋2≥0，?? ?x＋y－4≥0，目标函数z＝y－ax(a∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a??2x－y－5≤0， 的取值范围是________． |－2|1＋2 2＝ 2 ，所以5 解析：如图所示， 依题意直线x＋y－4＝0与x－y＋2＝0交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1. 答案：(1，＋∞) x＋4y≥4，?? 4．给定区域D：?x＋y≤4， ??x≥0， 令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线． 解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示． 作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0. 经平移可知目标函数z＝x＋y在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值．而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线． 答案：6 x－y＋2≥0，?? 5．已知?x＋y－4≥0，求： ??2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (2)z＝ y＋1 的范围． x＋1 解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC9 的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝. 2(2)z＝ y－?－1? 表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－1)连线的斜率，因为kQA＝2，kQB x－?－1? 1＝， 2 1? 故z的范围为??2，2?. 6．已知－1＜x＋y＜3，且2＜x－y＜4，求2x＋3y的范围． 解析：在直角坐标系中作出直线x＋y＝3，x＋y＝－1，x－y＝4，x－y＝2，则不等式组 ?－1＜x＋y＜3??表示的平面区域是矩形ABCD区域内的部分． ??2＜x－y＜4 设2x＋3y＝z，变形为平行直线系l： 2zy＝－x＋. 33 z 由图可知，当l趋近于A、C两点时，截距趋近于最大值与最小值，即z趋近于最大值与最 3小值． ??x－y＝2，51由?求得点A(，)． 22??x＋y＝3， 5113 所以z＜2×＋3×＝. 222 ??x－y＝4，35 由?求得点C(，－)． 22?x＋y＝－1，? 359 所以z＞2×＋3×(－)＝－. 222913 所以－＜2x＋3y＜. 22