L???xixj?ij??1(???xiRi)??2(1??xi)i?1j?1i?1i?1nnnn?L?L?L?0(i?1,2,L,n);?0;?0?xi??1??2有效边缘线的形状：

1．是双曲线的一支，向右上方倾斜的曲线，反映”高风险，高收益”。 2．是一条上凸的曲线。

3．构成组合的股票间的相关系数越小，投资的有效边缘线就越是弯曲得厉

害。

3.3均值—方差模型

1952年，马科维茨创建了均值—方差模型并提出了一系列关于股票有效投资组合的理论。这一模型是通过二次规划的方法，其中股票投资的预期收益是用期望收益率来度量，投资风险是用收益率的方差来度量。马科维茨给出了有效投资组合的概念，在相同的风险水平下，有效投资组合有最高的收益。马科维茨均值—方差模型通过构建有效投资组合来分散非系统风险，并通过收益、收益方差、收益间的协方差揭示了股票投资收益和风险是成正比的关系。经典的马科维茨均值—方差模型的假设：

（1）股票收益率服从联合正态分布；

（2）信息成本为 0，每个投资者都事先掌握投资收益率分布的充分信息； （3）投资者都是理性的，他们追求一定收益率水平下风险的最小化或一定风险水平下收益率的最大化；

（4）市场无摩擦，无税收和交易成本； （5）股票可以任意分割； （6）允许投资者卖空。

在上述条件成立的情况下，通过计算之后马科维茨总结出投资者选择投资组合的有效边界。下面，投资者对有效投资组合的过程进行推算。

假设现在有n种股票风险资产，对于在以后预定时期内的期望收益率向量为

X?(X1,X2,...,Xn)T，同期收益率的协方差矩阵为??(?ij)n?n。假设这n种风险资

产的投资组合向量为w?(w1,w2,...,wn)，wi(i?1,2,...,n)是第i个风险资产的投资权重，?i?1wi?1。经过计算，得到该投资组合在以后预定时期内的期望收益率r

在该时期的收益率方差?为 ：

Tr?wX

T ??w?w

Tn13

依据之前的假设，在r不变的情况下，使?得到最小的组合称作有效投资组

r合。当r等于p时，由以下的模型可以得到使?最小的组合方式：

s..twTX?rp (3-1)

wTd?1

其中,d?(1,1,...,1)T通过拉格朗日乘数法来计算上述模型优化问题，可以求出：

1minwT?w 2其中，?1和?2是拉格朗日乘子。由（3-1）式求出最优解的一阶条件为：

1Tw?w??1(1?wTd)??2(rp?wTX)2从(3-2)式中第1式，求出最优解为：

L? (3-2)

?Lw??w??2w??1d?0(3-3) ??T?L?1?1?dw?0 ?TL?r?wX?0?p??2

将（3-3）式代入（3-2）式的第2式和第3式中，解得：

w????1(?1d??2X)(3-4) (3-5)

1??1dT??1d??2dT??1X??1a??2b

其中，a?dT??1d,b?dT??1X,c?XT??1X。联立方程（3-4）和（3-5），解得：

rp??1XT??1d??2XT??1X??1b??2c

将(3-6)式代入(3-3)式，求出投资组合的最优解为:

w??rpa?bac?b2??1X?c?rpbac?b2??1d(3-6)

经过以上的推论，可以解得出马科维茨均值-方差模型的有效投资组合结果。而且马科维茨均值—方差模型是一个对未来期的有效投资组合的预测，主要根据未来期的期望收益率和收益率协方差矩阵。其实，投资者在应用的时候所用的数据都是一些历史数据的协方差矩阵，而这些股票收益率的历史数据得到的协方差

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矩阵就称为历史协方差矩阵。本文正是在历史协方差矩阵的基础上根据马科维茨均值-方差模型研究投资组合策略。现引入，预测期：即用于预测的历史数据所在的时期，投资期：即进行投资的未来期。马科维茨投资组合在投资期的风险就是该投资组合的经济效果，本文称作马科维茨投资组合风险。设马科维茨投资组合为 w?，投资期中收益率的真正协方差矩阵为?ture，则马科维茨投资组合风险为：

?ture?(w?)T?turew?3.4马科维茨投资组合风险的计算方法

设马科维茨投资组合为w?，投资期中收益率为ri(i?1,2,...,n)，收益率的均值为ri，收益率的协方差矩阵是??ij?i,j?1，则?ij的计算方法是：

n?ij?E(ri?ri)(rj?rj)

根据马科维茨投资组合风险的定义，马科维茨投资组合风险为：

?M??wi??ijw?ji,j

通过上述定义计算马科维茨投资组合的风险是最直接和准确的计算方法，但是收益率的协方差矩阵??ij?i,j?1不能直接得到，所以这个方法在实际中的可行性

n不高。因为马科维茨投资组合风险不能直接计算，所以通常使用样本协方差矩阵来估计马科维茨投资组合的风险。假设源于ri?ri(i?1,2,...,n)的样本数据有

ri(m)?ri(i?1,2,...,n;m?1,2,...,T)，样本的协方差矩阵是?Eij?i,j?1，则Eij等于：

n

1T(m)Eij??(ri?ri)(rj(m)?rj)Tm?1依据该样本协方差矩阵计算的马科维茨投资组合的风险为：

?1?(c?rpb)(ac?b2)(3-7)

?2?(rpa?b）(ac?b)2由上式（3-7）可以知道，依据样本协方差矩阵计算得到的风险是马科维茨投资组合风险的无偏估计量。以上说明，依据样本协方差矩阵估计马科维茨投资组合风险是一种非常可行的方法。

3.5 动态规划方法

1．动态规划介绍

动态规划是求得决策过程最优化的数学方法，它是将多变量、复杂的决策问题进行分阶段决策，变为求解多个单变量的决策问题。首先是将问题的过程分为

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几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题化为同类型子问题逐个求解。最后每一个子问题所得到的最优解就是整个问题的最优解。

2．动态规划应用方向

动态规划在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的运用，它主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决过程，也可以用动态规划方法解决。

3. 动态规划基本思想

动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法，。动态规划的基本原理是“最优化原理”，即一个最优方案具有这样的性质，无论初始状态和初始方案如何，相对于初始方案产生的状态来说，其后的方案必定构成最优子方案。动态规划把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，继而利用各阶段之间的关系逐个求解，得出最优组合。

4．动态规划在投资组合的应用

股票投资组合是投资者有意识的将资金分散投放于多种股票而形成的投资集合。股票投资组合能够有效的分散投资风险，从而获得最大的投资利益。于是通过动态规划法，对资金在投资组合的各只股票间进行合理分配，使投资组合达到最多收益率，这一方法为解决资金分配问题提供很大帮助。尤其是在目前的形势下全球经济具有很大的不确定性，我国股市波动幅度也难以预料。这更加需要我们对股票市场进行深入的调查和准确的预测。所以运用动态规划能够使得投资者面对股市更有信心。

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