二、多边形面积的计算
【思维训练】
例1.如图，长方形长是18厘米，宽是8厘米，求阴影部分的面积。
[思路点拨]
此题关键之处是两个阴影三角形的底合起来正好是长方形的长，而三角形的高与长方形的宽相等，因此阴影部分的面积就等于长方形的长乘以宽的一半，也就是长方形面积的一半。我们不妨设定两个三角形的底分别为x、y，高为长方形的宽b，用求两个三角形面积之和的方法来求证以上的分析是否成立。
以此类推，不管有多少个这样的阴影三角形只要它们下面的底连接在一起，合起来的和正好是长方形的长，最上面的角的顶点都在长方形的另一个长上，所有三角形的高都等于长方形的宽。那么阴影部分的面积之和一定是长方形面积的一半。
还可以把右边的阴影三角形进行转换和左边的阴影三角形拼成一个大三角形帮助学生理解。(如上图)
解法： [试一试]
请仔细观察下面四个图形，并回答问题。已知四个长方形的面积完全相等。
图A
图B
图C
图D
上面各图中，阴影面积(之和)等于其空白面积(之和)的图形有______个，它们分别是图_____________!
例2.如右图所示，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3厘米，DF=2厘米，求三角形BEF的面积。
[思路点拨]
已知正方形的边长为6厘米，可求出这个正方形的面积
6×6=36(平方厘米)。因为已经知道三角形AEB、三角形BFC、三角形DEF的高和底，所以可直接求出它们的面积，再用正方形的面积减去这三块的面积，剩下的就是三角形BEF的面积了。
解法： [试一试]
求右图阴影部分的面积。(单位：厘米)
[想想做做]
1.如右图所示，梯形中阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。(单位：厘米)
2.如右图所示，A、B是平行四边形相邻两边的中点，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
例3.如右图所示，求四边形ABCD的面积。(单位：厘米)
[思路点拨]
四边形ABCD不能直接算出它的面积，只能间接算出它
的面积。用总面积减去部分面积，条件不足，只能将四边形ABCD分成两个三角形。怎样分呢?连接线段BD，光知道三角形的底，但高不知道；只能连接线段AC，这样三角形ADC和三角形ABC的底和高都知道了，问题就迎刃而解了。
解法： [试一试]
如右图所示，平行四边形ABCD被CE分成两部分，它们的面积差是18平方厘米，问AE是多少厘米?
例4.把三角形的边延长4厘米后，面积增加了14平方厘米。求原来三角形的面积。
[思路点拨]
要求原来三角形的面积，只知道底，不知道高。分
析条件得知，把三角形的边延长4厘米后，面积增加14平方厘米，14平方厘米就是新增加的三角形的面积，根据14平方厘米和4厘米可以求出新增加三角形的高，也就是原来三角形的高。这样，原来三角形的面积就可以求出了。
解法： [试一试]
一个直角梯形的下底为10厘米。如果把它的上底延长4厘米，原来的直角梯形就变成了正方形。原来的直角梯形的面积是多少平方厘米?
[想想做做]
1.如右图所示，阴影部分的面积比空白的直角三角形的面积大40平方厘米，求空白三角形的面积。(单位：厘米)
2.如右图所示，D是AC的中点，BC边上有三等分点，已知阴影部分的面积为20平方厘米，求三角形ABC的面积。
例5.如右图所示，三角形ABC的面积为75平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?
[思路点拨]
阴影部分是个三角形，光知道底是6厘米，高无法得知，所以无法直接求出。看看给我们的条件，AC边上有6厘米
和6厘米，说明AC边上有两个等底等高的三角形，它们两个面积相等。BC边上有10厘米和5厘米，说明三角形ABD的面积是三角形ACD面积的2倍。三角形ABC的面积是75平方厘米，被平均分成三份，三角形ACD的面积是其中的一份，算式为75÷3=25平方厘米，阴影部分的面积为25平方厘米的一半。
解法： [试一试]
如右图所示，两条对角线把梯形分成四个三角形，已知两个三角形的面积，求梯形的面积。(单位：平方厘米)
例6.如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，其中甲的面积比乙小6平方厘米，求CE的长。
[思路点拨]
要求CE的长，条件很不充分，不能直接求。
甲的面积比乙小6平方厘米这个条件也比较孤立。怎么办?不妨将甲的面积加上梯形ABCF的面积，合起来就是正方形ABCD的面积；乙的面积也加上梯形ABCF的面积，合起来就是三角形ABE的面积。这样正方形ABCD的面积仍然比三角形ABE的面积少6平方厘米。根据正方形ABCD的面积推算出三角形ABE面积，再算出三角形ABE中BE的长，最后算出CE的长。
解法： [试一试]
如右图所示，已知甲比乙的面积大3平方厘米，求AB的长。
[想想做做]
四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形，其中三个的面积如右图所示(单位：平方厘米)，求四边形ABCD的面积。
练习二
1.等腰梯形的周长是48厘米，面积是96平方厘米，高是8厘米，则腰长是多少?
2.正方形一条对角形长10厘米，则正方形的面积是多少?
3.上底是10厘米，下底是25厘米的梯形，如果下底减少8厘米。上底不变。面积就减少84平方厘米，原梯形面积是多少平方厘米?
4.如右图所示，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
5.如右图所示，在三角移ABC中，BD=DE=EC，BF=FA，三角形EDF的面积等于1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少?
6.如右图所示，长方形里有四个三角形，已知其中三个三角形的面积(单位：平方厘米)，求三角形ADE的面积。
7.如右图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分的面积是多少?
8.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形(见下图)，长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米?
三、认识小数
【思维训练】
例1.把6.84，6.839，6.79，6.845，6.8399从大到小排列，并用“>”连接。
[思路点拨]
小数的大小比较，必须从高位到低位进行，先比较整数部分，整数部分相同，再比较小数部分，在比较时同位上的数依次比较，如果比较高的数位上的数字大，这个小数就比较大。通常可以采用“竖列法”比较，把小数点对齐，依次比较，标出序号。
解：因为6.84 (2) 所以6.845>6.84>6.8399>6.839>6.79
6.839 (4) 6.79 (5) 6.845 (1) 6.8399 (3)
[试一试]
把7.O7，7，7.707，7.007，7.708，7.8从大到小排列，并用“>”连接。
例2.有五张卡片分别写上0,0、2、4和小数点，用其中的几张卡片按要求摆出小数。
(1)整数部分是0的三位小数； (2)只读一个“零”的两位小数； (3)一个“零”也不读的一位小数。 [思路点拨]
这题是按要求写出小数：整数部分是0的三位小数，它的小数部分只能用0、2、4这三个数字；只读一个“零”的两位小数，题中说明用其中的几张卡片，并没有规定全部用完，因此可摆出不同的小数；一个“零”也不读的一位小数则可用不同的卡片，摆出多个符合条件的小数。摆时注意按一定的顺序，这样可以做到不重复不遗漏。
(1)整数部分是0的三位小数：0.024、0.042、0.204、0.240、0.402、0.420；
(2)只读一个“零”的两位小数：O.24、0.42、20.04、20.40、40.02、40.20； (3)一个“零”也不读的一位小数：2.4、4.2、20.4、4012、200.4、400.2。 [试一试]
有五张卡片分别写上0.0、4、8和小数点，用其中的几张卡片按要求摆出小数。
(1)整数部分是0的三位小数；
(2)只读一个“零”的两位小数；
(3)一个“零”也不读的一位小数。
[想想做做]
1.把0.09、0.091、0.909、O.0901按从大到小排列，并用“>”连接。
2.用数字1、2、3和小数点，能组成多少个不同的两位小数?把它们一一写下来，并把它们按从大到小的顺序排列。
例3.一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是5.00，这个三位小数最大是多少?最小是多少?
[思路点拨]
用“四舍五入”法求近似值，其中“五入”法后的结果会比原数大，“四舍”法后的结果会比原数小，根据这个知识可判断原来这个三位小数最大应该是四舍后得到的，原数要比5.O0大，精确到百分位，只能看千分位，最大只能是5.004；最小应该是五入后得到的，要比5.O0小，只能是四点几，精确到百分位，只能看千分位，最小只能是4.995。
答：最大是5.004，最小是4.995。 [试一试]
一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是2.50，这个三位小数最大是多少?最小是多少?
例4.小华在读一个小数时，把小数点读丢了，结果读成四万五千零一，原来的小数只读一个零，原来的小数是( )。
[思路点拨]
因为把小数点读丢了，所以读成整数45001，如果加上小数点，原来的数可能是4500.1，450.O1，45.001，4.5001这几个小数，但题目又说原来的小数只读一个零，所以符合条件的小数是450.O1。
[试一试]
小强在读数时看漏了小数点，读成三千零八。原数的计数单位是0.01，原数是( )。
例5.数列123.45、123.54、124.35、124.53?、542.13、542.31、543.12、543.21，自左向右第70个数是多少?
[思路点拨]
题中各个数都是由1、2、3、4、5和小数点组成的由小到大排列而成的，用1做高位组成的两位小数有4×3×2×1=24(个)，那么用2、3、4、5、做最高位组成的两位小数都是24个，最高位是1、2、3组成的两位小数共有72个，第70个就是第72个中从小到大排列的倒数第三个，就是123.45、?352.41、354.12、354.21，所以第70个数是352，41。
[试一试] 用1、2、3、4、5五个数字组成五位数，把这些五位数按从小到大的顺序排列，第98个数是多少?
[想想做做]
1.找出规律在括号里填上合适的数。
0.5、1.5、4.5、( )、( )、( )。
2.一个三位小数，用“四舍五入”法精确到十分位是8.5，这个三位小数最大是多少?最小是多少?
练习三
1.一个数由1个亿，9个千万，6个百万和40个百组成，这个数写作( ),将这个数改写成用“亿”作单位的数是( ),精确到0.01是( )亿。
2.下面的小数在哪两个整数之间。
( )<1.9<( ) ( )<99.03<( )
3.大于0.6小于0.7的所有两位小数共有( )个，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )。
4.□里可以填哪些数字?
3.□7>3.47( )； O.542<0.5□3( )
5.用1、2、3、4和小数点可以摆出不同的小数，在这些小数中最大的是( ),最小的是( )。
6.有一个三位小数，如果将它保留两位小数取近似数是6.84，这个三位小数最大是( )，最小是( )。另有一个整数保留整万是6万，这个数最大是( ),最小是( )。
7.用0、1、2、3四个数字组成的四位数中，从小到大排列起来，第15个数是( )。
8.一串数按下面的规律排列。
1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、5、6、7??从第一个起，前100个数的和是多少？
9.已知A+D 四、小数加减法 【思维训练】 例1.一位同学在计算2.45加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐。结果得到2.72。正确的结果应是多少? [思路点拨] 想2.72-2.45=0.27，0.27就是被看错的那一个加数，它应该是一位小数，而不是两位小数。这个加数是2.7，再按正确算法算出正确的结果。 你试着算一算。 答：正确的结果应是_______________。 [试一试] 一位同学在计算2.45减一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果得到2.23，正确的结果应是多少? 例2.在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是46.已知差是13.6.那么减数是多少? [思路点拨] 根据减数加差等于被减数，也就是2个被减数的和是46，所以先用46除以2得到被减数，再用被减数减差得到减数。 你试着算一算。 [试一试] 在一道减法算式中，被减数、减数、差相加的和是20.8，其中减数是8.2，求差是多少? [想想做做] 1.小明在计算3.85减去一个三位小数时，由于错误地将末位对齐，结果得0.83，正确的结果是多少? 2.小虎在计算23.47-(□+5.62)时错算成23.47-□+5.62，结果得11.8，正确的结果是多少? 例3.两个数的和是5.8，如果一个加数增加2.4，另一个加数减少1.2，那么和是多少? [思路点拨] 一个加数增加2.4，和就增加2.4；另一个加数减少1.2，和就减少1.2，现在的和就应该??。 你试着算一算。 [试一试] 两个数的差是25.6，如果被减数减少5，减数增加8，现在的差是多少? 例4.一道加法题，如果把一个加数十分位上的8看成3，把另一个加数个位上的3看成8，结果和是53.71，正确的和应是多少? [思路点拨] 将十分位上的8看成3，少加了0.8-0.3=0.5，个位上的3者成8，多加了8-3=5，想一想怎样运用错误的和与多加的、少加的部分得到正确的和呢? 你试着算一算。 [试一试] 小华在计算一道小数减法时，把被减数个位上的8看成了5，把减数百分位上的2看成了7，错误的结果与正确的结果相差多少? [想想做做] 1.甲数减去乙数差是4.1，如果减数增加0.8，被减数增加0.5，差是多少? 2.小军在计算一道减法题时，把被减数的十分位上的4看成9，把减数百分位上的9看成了4，错误的结果和正确的结果相差多少? 练习四 一、用简便方法计算。 0.872+13.07+0.93 28.6-(0.72+8.6)-3.28 5.37+2.625-5.37+2.485 0.5+0.7+0.9+1.1+1.3+1.5 8.03-(4.36+2.03)-1.64 80.17-5.3-5.17-4.7 二、应用题。 1.修一条路，已修15.7米，比剩下的少12.9米。这条路长多少米? 2.菜场运来牛肉O.68吨，羊肉比牛肉多0.22吨。菜场一共运来牛肉和羊肉多少千克? 3.一次跳远比赛，小强跳3.06米，小星比小强多跳0.19米，小星比小明多跳0.33米，小明跳多少米? 4.小方带18.96元，小兰带9.3元，两人的钱合起来买一套书后，还剩下2.87元。这套书多少元? 5.有一根2.5千米长的绳子被剪了两次，第一次剪去120.8米，第一次比第二次多剪6.2米。这根绳子比原来短了多少米? 6.一个热水瓶比一只锅贵15.7元，比电磁炉便宜176.42元，一只锅22.8元。妈妈打算买热水瓶、锅、电磁炉各一只，请你帮助计算一下，她带300元钱够吗? 7.小马虎在计算一道小数减法时，把被减数十分位上的8看成了5，把减数百分位上的7看成了9，你能知道错误的结果与正确的结果相差多少吗? 8.从高空落下一只金属球，经5秒种落地。已知第一秒下落8.6米，第二秒比第一秒快9.8米，第三秒比第二秒又快9.8米，照这样的规律，第五秒下落了多少米?金属球最初是从多少米的高度下落的?(先列表，再解答) 9.小明和小红计算同一道减法题时，小明计算结果是5618，小红的计算结果是38，已知小明的计算结果正确，小红计算错误的原因是将减数的末尾多写了一个O，被减数和减数各多少？ 10.设a=0.00000??08 b=0.00000??0225 100个 100个 则a+b=? a-b=? 五、生活中的数学问题(周期规律) 【思维训练】 例1.有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7?? (1)第2009个数是多少? (2)这2009个数字中，“2”会出现多少次? (3)这2009个数相加的和是多少? [思路点拨] 仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。 (1)2009÷6=334?5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5。 (2)(1、4、2、8,5、7)重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次。 (3)我们把2009个数按每一组(1、4、2、8、5、7)这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。 (1+4+2+8+5+7)×334+(1+4+2+8+5)=9018+20=9038 [试一试] 有一列数，1、2、2、8、2、2、8?? (1)第2012个数是多少? (2)这2012个数字中，“2”会出现多少次? (3)这 2012个数相加的和是多少? 例2.求2×2×?×2 + 3×3×?×3的和的个位数字是几。 2008个“2” 2009个“3” [思路点拨] 要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。 (1)先观察下2×2×?×2(2008个2相乘)个位数的特点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答。 2 个位数字是2 个位数字是4 个位数字是8 个位数字是6 2×2 2×2×2 2×2×2×2 2×2×2×2×2 个位数字是2 可见，个位数字是按2、4、8、6不断循环重复，所以周期是4。 2008÷4=502(组)，没余数，个位数字就是最后一个：6。 (2)同理，我们也可以找出3 × 3×?×3(2009个3相乘)个位数字的排列规律。即： 3 个位数字是3 个位数字是9 个位数字是7 个位数字是1 个位数字是3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 可见，个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现，所以周期是4。 2009÷4=502(组)??1(个)，余数是1，个位数字就是周期里面的第一个数，即3。 所以，求2×2×?×2(2008个2相乘)+3×3×?×3(2009个3相乘)的个位数字，就是6+3的个位数字，即9。 [试一试] 100个7相乘的积的个位数字是几? 例3.2009个学生按下列方法编号排成五列 一 1 9 17 25 ?? 问最后一个学生应该在第几列? [思路点拨] 这个问题的关键是找到排列周期。仔细观察，除了第一个学生外，从第一排的第二个学生开始，将第一排与第二排结合起来看，排列次序是二、三、四、五，四、三、二、一；将第三排与第四排结合起来看排列次序也是：二、三、四、五、四、三、二、一。因此，可以判断：除了第一个学生外，其余学生是按“二、三、四、五、四、三、二、一”的规律不断循环重复，所以周期是8。接下来你可以试着算一算。 [试一试] 伸出你的左手，从大拇指开始，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指??的顺序依次数数字：1、2、3??，问：数到2019时，你数在哪个手指上? 例4.2009年9月8日是星期二。 (1)2009年9月27日是星期几? (2)2009年12月25日是星期几? (3)2012年10月15日是星期几? [思路点拨] 推算星期几的题目，第一要知道周期；第二也是最重要的是要学会计算天 二 2 8 10 16 18 24 三 3 7 11 15 19 23 四 4 6 12 14 20 22 21 13 五 5 数。第三推星期几：总天数除以7，看余数，余几就从当天往后推几天。一周七天，不断循环重复，周期是7。计算天数时，遵守以下几个规律：①一个月之内的，尾减首就得天数。②跨月的，先算整月再算零头天数。③跨年的，先算整年再算整月最后算零头天数。④有几个常识要清楚：1、3、5、7、8、10、12月为大月(31天)；4、6、9、11月为小月(30天)；2月平年28天，闰年29天；年：平年365天，闰年：366天，四年一闰，一般情况下能被4整除的是闰年，下面的为例外：能被100整除的但不能被400整除的是平年。3200年以及它的倍数年将不是闰年。 (1)属一个月之内的。从9月8日到27日有27-8=19天 19÷7=2(周)??5(天) 从星期二往后推5天，就是星期日，即2009年9月27日是星期日 (2)属跨月的。 先算整月：9月8日至1O月8日至11月8日至12月8日，三个月共 30+31+30=91(天) 再算零头：12月8日至12月25日有 25-8=17(天) 所以，共有91+17=108(天) 108÷7=15(周)??3(天) 从星期二往后推三天，就是星期五，即2009年12月25日是星期五。 (3)属跨年的。 先算整年：2009.9.8～2010.9.8～2011.9.8～2012.9.8 三年共365+365+366=1096(天) 再算整月：2012.9.8～2012.10.8 一个月共30天 最后算零头：2012.10.8—10.15 共15-8=7(天) 所以共有： 1096+30+7=1119天 1133÷7=161(周)??6(天) 从星期二往后推六天，就是星期一，即2012年10月1日是星期一 [试一试] 1.2012年1月1日是星期日，2012年的1O月1日是星期几? 2.今天是星期( )，再过80天是星期几？小明的生日是五月八日，他的生日应该是星期几? 例5.出租车起步价是6元，超过3千米每千米1.2元，不足1千米按1千米算，李叔叔乘出租车行6.52千米，应付多少元?张叔叔共付10.8元，他最多乘车行多少千米?王叔叔从家到公园乘出租车共付18元，他家到公园多少千米? [思路点拨] 本题已知信息比较多，也比较复杂，我们可以用列表整理信息的解题策略。 路程 车价 小于等于3千米 6元 3千米以外 每千米1.2元 不足1千米 6.52千米 ?千米 ?千米 1.2元 ?元 10.8元 18元 第一问：因为6.52千米大于3千米，所以6.52千米有两个部分组成，一部分是3千米，车价6元，另一部分3千米以外6.52-3=3.52千米，由于不足1千米按1千米算，所以超出部分应按4千米算，车价为4×1.2=4.8元，所以李叔叔应付6+4.8=10.8元。 列式解答： 6.52-3=3.52(千米) 3.52千米≈4千米 4×1.2=4.8(元) 6+4.8=10.8(元) 答：李叔叔应付10.8元。 第二问：因为10.8元大于6元，所以10.8元有两个部分组成，一部分是起步价的6元，能乘3千米的路程，另一部分是超出起步价的10.8-6=4.8元，由于超过3千米按每千米1.2元，则超过3千米的路程为4.8÷1.2=4千米，所以张叔叔最多乘车行3+4=7千米。 列式解答： 答：王叔叔家到公园_______千米。 [试一试] 出租车起步价是6元，超过3千米每千米1.5元，不足1千米按1千米算，李老师乘出租车行6.45千米，他应付多少元?张老师共付10.5元，他最多乘车行多少于米?王老师从家去少年宫乘出租车共付30元，他家距离少年宫有多少千米? 练习五 一、填空题 1.某年的三月一日是星期日，这年六月一日是星期( )。 2.按下面摆法摆80个三角形，有( )个白色的。 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲?? 3.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯。那么第73盏灯是( )灯。 4.时针现在表示的时间是14时整，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是( ）。 4 5.把分数化成小数是0.571428571428??，小数点第110位上的数字是 7( )。 二、解决问题。 1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色? 2.将数列1、4、7、10、13??依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第几行第几列? 1 28 58 ?? 4 25 31 55 61 7 22 34 52 64 10 19 37 49 67 13 16 40 46 70 43 73 3.888888??8÷7，当商是整数时，余数是几? 100个“8” 4.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着，这些同学中共有多少个女生？ 5.市内话费3分钟以内2角钱，以后每分钟2角钱，王师傅打了8分钟，一共要收多少钱?苗老师交了2元钱，他至少可以打多少分钟的电话?最多呢? 【知识链接】 “周期”现象在我们身边普遍存在着。如每个星期总是以七天为周期一次又一次地循环着；每年也总是按春夏秋冬四季年复一年地延续；就连机器上活动着的部件在运转时也是沿着一定的轨迹一次次重复运动着??，掌握和运用“周期规律”可以解决许多复杂而有趣的数学问题。 在讨论周期问题时，常常要提到“余数”。关于“余数”，下面介绍几个 最基本的性质。 一、加法性质。 若数A和数8的和被K除，分别余a和b(A、B、K、a、b均为整数，K≠0)，那么，A和B的和被K除，余数也为a加b的和[若(a+b)>k余数则为a+b-k]。例如：16除以7，余数是2；22除以7，余数是1。那么，(16+22)除以7，余数是2+1=3。 二、减法性质。 若数A、数8被数K除，余数分别为a和b(以上各数均为整数，K≠O)，那么，A减去8的差被K除，余数也为a减去b的差(若a 又如：233除以11余数是2；61除以11余数是6。那么，(233-61)除以11，余数是2+11-6=7。 三、乘法性质。 若数A除以数K，余a(A、K和a都是整数，K≠0)，那么，A的n倍除以数K，余数则为na除以K所得的余数；若数A和数8被数K除，分别余a、b(以上各数均为整数，k≠0)，那么，A、B的乘积除以K，余数为ab÷k的余数。 例如：15除以13的余数是2。那么15×7的积除以13的余数是2×7÷13。余1。 又如：140除以17。余数是4；90除以17，余数是5。那么140×90的积除以17的余数为4×5÷17，余数是3。 六、解决问题的策略 【思维训练】 例1.一个长方形的面积是72平方厘米，且长和宽都是整厘米数，当长和宽分别是多少时它的周长最长?当长和宽分别是多少时，它的周长最短? [思路点拨] 根据题意我们可以运用列表的方法来进行列举。 面积(cm2) 宽(cm) 长(cm) 72 1 72 72 2 ( ) 72 3 24 72 4 ( ) 72 6 12 72 ( ) 9 从表中可以发现，当长( )cm，宽为( )cm时，这个长方形的周长最长；当长为( )cm，宽为( )cm时，这个长方形的周长最短。 [试一试] 1.一个长方形周长50cm，且长和宽都是整数，当长和宽分别是多少厘米时它的面积最大?当长和宽分别是多少厘米时它的面积最小? 2.有a、b两个非零自然数，且a+b=82，那么a×b的积最大是多少?最小是多少? 例2.求两个多位数999??9×999??9的积的各位数字的和是多少? 72个“9” 72个“9” [思路点拨] 这个问题与上一单元讲过的类似例题是有区别的，我们可以从下面列举的 算式中找出规律。 9×9=81积的各位数字的和是： 8+1=9 1×9=9 3×9=27 99×99=9801积的各位数字的和是： ?? 9+8+1=18 2×9=18 999×999=998001积的各位数字的和是： 9+9+8+1=27 999??9×999??9积的各位数字的和是：72×9=648。 [试一试] 1.a、b、c三个不同的自然数，且a+b+c=15。那么a×b×c的积最大是多少? 2.有1克、5克、10克砝码各一个。选择其中一个或几个，能组合成多少种不同的质量? 例3.用淘汰制比赛，从100名跳绳选手中产生一名冠军。应进行多少场比赛? [思路点拨] 在弄清“淘汰制比赛”的意思后，我们可以这样想：先把100人平均分成50组，进行50场比赛，淘汰50人，再把剩下的50人平均分成25组，进行25场比赛，淘汰25人，把剩下的25人其中的24人，平均分为12组，余下的一人留以后出现单数再加入分组比赛?? 这样做比较麻烦。其实，只要反过来想一想，“产生一名冠军”的反面是“淘汰99名选手”，因为每淘汰一名选手要比赛一场，所以要淘汰99名选手，共应比赛99场。 [试一试] 1.桌子上放着六只杯口朝下的杯子，每次翻动五只，至少经过几次后，将 桌面上的六只杯子的杯口全部朝上?(写出思考的过程) 2.甲乙丙三个小朋友一起买8个面包，平均分着吃。甲付5个面包的钱，乙付3个面包的钱，丙没带钱。吃完后一算，丙应该拿出4元钱。甲应该收回多少钱? 例4.在1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少? [思路点拨] 由于所有不能被9整除的自然数排列起来没有什么规律，求它们的和也没有什么相应的简便方法。但是当我们反过来想：在1至100的自然数中能被9整除的数的和是否有规律呢?显然可以用简便方法算出来，从而算出1至100的自然数中不能被9整除的数的和。 1+2+3+??+99+100=5050 9+18+27+??+90+99=9 ×(1+2+3+?+10+11)=9×66=594 5050-594=4456 答：在1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是4456。 [试一试] 1.一个书架分上、中、下三层，一共放书384本，如果从上层取出与中层同样多的本数放人中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书的本数相同，求这个书架上原来上、中、下各放几本书? 2.有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。有三个小朋友从不同的角度观察得到如图①②③。这个正方体中与“1”、“2”、“3”相对的面上是什么数字? 练习六 一、填空。 1.甲、乙、丙、丁四个球队进行比赛，需要( )场才能赛出冠军。 2.一把钥匙开一把锁，10把钥匙开10把锁，最多要试开( )次，就可以使10把钥匙配10把锁。 3.4个小朋友互通电话，一共需要打( )次。如果他们互寄贺卡，一共寄( )次。 4.甲城到乙城之间共有6个站点，往返于这两城市间需要准备( ）种不同的车票。 5.王老师带25个小朋友去划船，每条大船能坐6人，每条小船能坐4人，一共有( )种不同的坐船方案。 二、解决问题。 1.小明有2元和5元的人民币若干张，他要拿出70元，有多少种不同的拿法? 2.张老师把18本书分给4个小朋友，每个小朋友的本书都不同，其中分得最多的一位小朋友至少有多少本?最多有多少本? 3.在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少(见下图)? 4.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘? 5.有一位老师，他的年龄乘2，减16后，再除以2加上8，结果恰好是38，这位老师今年几岁? 6.小虎做一道减法题目时，把被减数十位上的6错写成了9，减数个位上的9错写成了6，最后所得的数差是577，这题的正确答案应该是多少? 7.某人去储蓄所取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还少10元，第三次取了存款15元，这时还剩125元，他原来有多少元存款? 8.小明有一些铅笔，小方送给了他10枝，他又送给小莉10枝，最后小明剩下8只铅笔。原来小明有几枝铅笔? 9.如图，从甲地到达乙地(只能往北、东走)一共有多少种不同的走法? 10.用1、O、3、5这四个数可以组成多少个不同的四位数? 七、小数乘除法 【思维训练】 例1.一种花布每米9.8元，丽丽的妈妈要买0.7米作一条裙子，她应付多少元?张华的妈妈需1.5米做衣服，应付多少元? [思路点拨] 由“单价×数量=总价”的关系式，我们可以列算式为：9.8×0.7与9.8×1.5；其中9.8×0.7可以估计10×1=10，丽丽的妈妈应付的钱比10元少。而9.8 ×1.5则可以估计为10× 1.8=15，则应付的钱是15元左右；或者10×2=20，应付的钱比20元少。 计算小数乘小数时，先把小数看作整数，按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 注意：在所得积里点上小数点后，才可将末位的0划去。 试着算一算： 答：丽丽的妈妈要付6.86元。张华的妈妈要付________元。 [试一试] 1.两个因数的积是3.4，如果一个因数扩大10倍，另一个因数不变，那么积是( )；如果一个因数扩大100倍，另一个扩大10倍，那么积是( )。 [想想做做] 1.3.6×1.78的积有( )位小数；0.32×1.69的积有( )位小数。 2.先估计得数，再用竖式计算。 3.45×1.2 例2.一个长方形的长是0.32米，宽是0.21米，那么长方形的面积是多少平方米? 0.18×8.45 1.86×1.7 [思路点拨] 根据长方形的面积公式：长×宽=面积，我们可以先列式为：0.32×0.21，再按照小数乘小数的计算法则进行计算。 注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。 你能行! 答：长方形的面积是_______________平方米。 [试一试] 1.直接写得数。 2.6×0.2= 0.04×0.04= 0.04×0.5= 0.12×0.4= 0.012×0.5= 0.67×3.5 [想想做做] 1.一条公路，已经修了6.8千米，未修的是已修的3.4倍。这条公路全长多少千米? 例3.一种喜之郎果冻每千克13.6元，妈妈在超市称了2.32千克这样的果冻，她应付多少元? [思路点拨] 由“单价×数量=总价”的关系式，我们可以列式13.6×2.32。计算出得数是31.552元。由于人民币流通的最小单位是分，所以在实际生活中，我们付款时通常用“四舍五入”的方法保留两位小数，计算到分。“四舍五入”是指：需 0.17×0.03= 2.先说出下面各题的积里有几位小数，再用竖式计算。 0.76×1.02 0.13×0.48 保留的数位后一位数大于或者等于5时向前进一，小于5时舍去。 注意：在实际应用中，小数乘法，乘得的积有时用“四舍五入”法取近似值，有时需要根据实际情况取近似值。 你能行! 答：她应付_______元。 [试一试] 1.用竖式计算下面各题，并且保留一位小数。 5.3×3.1 2.菜市场的青菜每千克3.42元，妈妈买1.6千克青菜要付多少元? 例4.用简便方法计算： (1)0.25 ×4.28×4 (2)0.65×201 [思路点拨] 因为整数乘法的运算律对小数乘法也适用，所以第(1)题既可以运用用乘法交换律把4.28与4的位置交换，然后按运算顺序计算；也可以先交换0.25与4.28的位置，再应用乘法结合律进行简便计算。第(2)题可以把201拆成200+1后，再应用乘法分配律进行简便计算。 (1)方法一：0.25 ×4.28×4 方法二：0.25×4.28×4 =0.25×4×4.28 =1×4.28 =4.28 =4.28 =4.28×0.25×4 =4.28 ×(0.25×4) =4.28×1 1.62×7.8 3.24×2.7 (2)0.65×201 =0.65×(200+1) =0.65×2130+0.65×1 =130+0.65 =130.65 [试一试] 用简便方法计算下面各题。 0.25×16.2×4 [想想做做] 1.简便计算。 36.8-3.9-6.1 2.铺铁路用的钢轨，每根长12.5米，每米重44千克，800根这样的钢重多少千克?合多少吨? 例5.在( )里填上适当的数，使等式成立。 3.72÷2.4=( )÷24 [思路点拨] 要使等式成立，就要使等号左右两边的商相等，从每题等号左右两边的除数变化可知，把被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，商不变。因 0.36÷0.9=( )÷9 0.196÷0.056=( )÷56 7.56÷O.18=( )÷18 28.6×101-28.6 10.4×0.35+9.6×0.35 3.6×102 3.72×3.5+0.628×35 此，只要先看出等号右边的除数扩大多少倍，然后把原被除数也扩大多少倍后填入右边的括号里就可以。 [试一试] 用竖式计算下边各题。(除不尽的保留两位小数) 3.42÷0.36 [想想做做] 1.已知甲、乙两数的和16.5，如果甲数的小数点向右移动一位就和乙数相等，甲、乙两数分别是多少？ 2.把一桶5升的油分装在几个相同的小瓶内，如果每瓶装1.3升，需要几个小瓶? 3.每套校服用布2.2米，60米布能做几套校服? 练习七 一、填空。 1.一个正方形的周长是3.6米，这个正方形的面积是( )。 2.一个四位小数，四舍五入后是5.90，这个四位小数最大可能是( )，最小可能是( )。 7.3÷13 3.把一个小数的小数点向左移动两位后比原来小12.375，原数是( )。 4.两个数相除的商是7.2，如果把被除数扩大10倍，除数不变，商是( )，如果被除数、除数同时扩大5倍，则商是( )，如果被除数缩小10倍，除数扩大6倍，则商是( )。 5.如果A=0.0??036，B=0.0??015， 42个“0” 42个“0” 那么A+B=( )，A-B=( )，A ×B=( )，A÷B=( )。 二、下面各題能簡算的要简算。 5.32+7.93+4.68 5.5×99 12.5 × 8.8 1.25×(80+4)×2.5 0.9+0.99+0.999+0.9999 1.1+1.2+1.3+?+2.9 7.68÷2.5÷0.4 444444444÷555555555 3.6×5+6.4÷0.2 1.25 × 32×0.25 12.39-(5.18+2.39) 4.6 ×99+4.6 2.5 × 0.39 ×0.4 32.1-8.3-1.7 三、解决问题。 1.修路队修了一条路，已修了12.5千米，比剩下的一半多0.5千米，这条路全长是多少千米? 2.张叔叔上班时步行，回家时乘车，在路上一共用了1.5小时。如果上、下班都乘车，全程只需要O.5小时；如果上、下班都步行，全程要用多少小时? 3.自来水公司规定，用户每月用水量10吨以内(含10吨)，每吨1.5元，超过10吨的，超过部分每吨3.2元，小明家9月份交水费31元。算一算。小明家9月份用水多少吨? 4.李阿姨与张阿姨出同样多的钱去买苹果，结果李阿姨比张阿姨多拿了5千克苹果，如果每千克苹果2.4元，那么李阿姨应当再给张阿姨多少元? 5.一个物体从高空落下，经过10秒落地，已知第一秒下落的距离是3.2米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体下落前距离地面多少米? 八、公顷和平方千米 【思维训练】 例1.一个占地1公顷的正方形苗圃，边长增加100米，苗圃的面积增加多少公顷? [思路点拨] 先画出示意图来分析一下。 从题意中可知，占地1公顷的正方形边长为100米。由右图可知，边长增加了100米，面积变成了原正方形的4倍。 解：1×4-1=3(公顷) 答：苗圃的面积增加了3公顷。 还可以先算出现在的苗圃面积，再求出增加的面积。 解：100×100=10000(平方米)=1(公顷) (100+100)×(100+100)=40000(平方米)=4(公顷) 4-1=3(公顷) 答：苗圃的面积增加了3公顷。 [试一试] 一块长300米，宽200米的长方形稻田，相邻两边各增加100米后，面积增加了多少公顷? 例2.如右图，一块梯形稻田，已测出阴影部分的面积是6公顷。这块梯形稻田的面积是多少公顷? [思路点拨] 先根据三角形面积算出三角形(也就是梯形)的高，再算出梯形的面积。 解法一：6公顷=60000平方米 60000×2÷150=800(米) (350+350+150)×800÷2 =850×800÷2 =340000(平方米) =34(公顷) 解法二：6公顷=60000平方米 60000×2÷150=800(米) 350×800=280000(平方米)=28(公顷) 28+6=34(公顷1 答：这块梯形稻田的面积是34公顷。 [试一试] 一块面积是4公顷的长方形麦地，长250米，如果长不变，把这块地修改成一块正方形，宽应该增加多少?面积比原来增加了多少公顷?(建议先画图，再解答) [想想做做] 一块长350米，宽250米的长方形地，长增加150米，宽至少增加多少米，才能使它成为一个正方形?面积比原来增加了多少公顷? 例3.一块边长为50米的正方形稻田，共收稻谷5000千克，照这样计算，一块占地2公顷的稻田，可收稻谷多少千克?合多少吨? [思路点拨] 可以用倍比的方法解决此题，算出2公顷稻田是边长为50米的正方形稻田的几倍，也可以先算出每平方米收的稻谷，在进行计算。 解法一：50×50=2500(平方米)=0.25(公顷) 2÷0.25×5000 =80×5000=40000(千克)=40(吨) 解法二：50×50=2500(平方米)=0.25(公顷) 5000÷O.25×2 = = = 答：可收稻谷___________千克，合_________吨。 [试一试] 一片长50米，宽30米的长方形果园，每年可收入4500元，照这样计算，大王乡约有果园300公顷，每年收入大约多少万元? 例4.两块地一共100平方千米，第二块地是第一块地的4倍多5平方千米。这两块地各有多少平方千米? [思路点拨] 先根据题意画线段图。 接下来你试着解答： 答：第一块地的面积为______公顷，第二块地的面积为_____公顷。 [试一试] 小李乡有山林和耕地共10.5平方千米，已知山林面积比耕地面积的3倍少1.5平方千米，小李乡山林和耕地面积各有多少平方千米? 练习八 1.测量和计算土地面积常用( )作单位，计算较大的土地面积用 ( )作单位。 2.公顷和平方米这两个面积单位间的进率是( )；公顷和平方千米这两个土地面积单位间的进率是( )；平方米和平方千米这两个单位间的进率是( )。 3.在括号里填上适当的数。 3.2公顷=( )平方米 50000平方米=( )公顷 6000公顷=( )平方千米 50平方千米=( )公顷 4平方千米=( )公顷=( )平方米 4.在括号里填上合适的单位名称。 课桌桌面的面积大约是44( )。一枚邮票的面积大约是8( )。 教室的占地面积大约是48( )。我们校园的占地面积大约是2( )。 江苏省的面积大约是10.26( )。 5.一块正方形地的周长是800米，每公顷收稻谷7.5吨，那么这块地收稻谷多少吨? 6.一块占地4公顷的平行四边形草地，它的底是250米，那么它的高是多少米? 7.一块三角形地的面积是0.4公顷，它的底是100米，那么它的高是多少米? 8.李大伯在2公顷的山坡上种梨树。每棵梨树占地面积是8平方米，每棵梨树可收梨400千克，那么这些梨树共可以收梨多少吨? 9.一条新建的高速公路，长200千米，宽40米。那么这条公路占地多少公顷? 10.工人师傅扩建一处长250米，宽60米的运动场，扩建后，长增加50米，宽增加40米，扩建后的运动场占地多少公顷? 11.如右图，一个占地0.36平方千米的正方形果园，如果把边长各减少100米，那么这个苗圃的面积就要减少多少平方米?合多少公顷? 12.两块地一共100公顷，第一块地的4倍比第二块地的3倍多120公顷。这两块地各有多少公顷? 13.一个广场的面积是72公顷，一次集会共容纳100万人，平均每人约占地多少平方分米? 14.养马场和养牛场共4.6公顷，养马场比养牛场的3倍少0.2公顷，养马场和养牛场各多少公顷? 15.某森林公园有一块地共3.2平方千米，栽了柳树和杨树，如果把栽柳树的面积减少0.4平方千米，栽杨树的面积增加0.6平方千米，那么栽柳树的面积就是栽杨树的面积的3倍。求原来栽柳树和栽柳树的面积各是多少平方千米?