1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）

22A(u,v)du?2B(u,v)dudv?B(u,v)dv?0总表示曲面上两族曲线. 3、二阶微分方程

（×）

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F?0，这里F是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M2不是内蕴量。 ( × )

10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ )

....????????11、曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)=0 （√）

??12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√）

13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ )

18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×）

21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ )

24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )

29、LN-M2是内蕴量。 （ √ ） 30、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( ╳ )

31、保角变换一定是等距变换 （?） 32、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. （?） 33、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. （? ） 34、测地曲率是内蕴量 （? ）

35、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × 36、曲面上曲率线网一定存在. ( √ )

37、存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 ( × ) 38、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 39、曲面上的直线一定是测地线。 ( √ )

11、半径为R的圆的曲率为R. 2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是F=0 , 3、坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是F?M?0.

E4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足L?FM?GN_, 5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是主方向方向.

?6、向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是

r??r?,?0。 ??(?r?,??,??r,,????,?,??r,,,),,27、曲线r=r(t)的挠率是(r?r)。

8、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件L=N=0。 9、直纹曲面的高斯曲率值满足K?0。 10、球面上的测地线是大圆。

?..11、曲线r=r(s)的曲率定义是

|r|。

) 12、空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_与一固定方向成定角__。 13、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是M=0。 14、坐标网是渐近线网的充要条件是 L=N=0 。 15、平面上的测地线一定是__直线__。

16、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_1_。

?{0，，}??X?cost,sint,t22__，17、螺旋线在点（1,0,0）处的单位切向量是__

22法平面方程是__

y?z?0__。

18、设?为曲面?上曲线，点P在?上，?在P点的测地曲率为1，又?在P点沿?切方向的法曲率为2，则?在P点的曲率为

5 。

19、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 III?2HII?KI?0 。 ?r(r,(t),r,,(t),r,,,(t))?020、向量函数(t)平行于固定平面的充要条件是 21、曲率是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.

22、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,抛物点,平点.

23、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 24、曲面的第三基本形式是它的球面表示 的第一基本形式.

?25、若曲面?和曲面?1:X?{x,y,2}等距，则?的高斯曲率K= 0 。

2,?(F(u)?{F(u),G(u),v}26、柱面X的第一基本形式为

?G2(u),)du2?dv2。

27、设?若曲面?上的曲线，若?既是渐近线又是测地线，则?是 直线 。

又若曲面上的曲线?既是渐近线又是曲率线，则?是 平面曲线 。

?232X(u,v)?u,u?2uv,u?3uv28、曲面

??在点A（1，3，4）的切平面方

程是

6x?3y?2z?7?0 。

29、曲面上曲线的弧长是____等距___不变量。

30、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是___保角____变换。 31、圆的曲率和挠率特征为k=大于零的常数__，τ=0_。 32、曲率恒等于0的曲线是____直线_____。

33、在曲面上的任意点，主方向的数目总为__2___。

??0?x?33r?{cosx,sinx,cos2x}2， 34、已知，

?则?? 1{?3cosx,3sinx,?4}?{sixn,cxos , ， 5 ，??

?? ?16{4cosx,?4sinx,?3}5x2 ，?? 25sin

??0?v?r?{ucosv,usinv,6v}u?02，则它的第一35、已知曲面，，

?12基本形式为

du?(u?36)dv?36(u2?36)2222 ，第二基本形式为 u?362dudv ，高

斯曲率K? ，平均曲率 H? 0 ，点(1,0,0)处沿方向

?2437du:dv?2的法曲率 1517 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为

66?,3737

32r(t)?{cost,sint,cos2t} 1、已知空间正则参数曲线

①求基本向量?,?,?. ②求r(t)的曲率和挠率

(0?t??2.

),22r?{?3sintcost,3sintcost,?2sin2t} 答：

r,,?{?3cos2t?6sin2tcost,6sintcos2t?3sin3t,?4cos2t}r,,,?{21sintcos2t?6sin3t,6cos3t?21sin2tcost,8sin2t}r,?5sintcost3r?r?sin2t{cost,?sint,?}4152,,,r?r?sin2t4

,,,23k?25sintcostsintcost??{?3cost,3sint,?4}??{4cots?,45sintcost55

??????sintcost{sint,cost,0}sintcost4??25sitncto s3sti?n,5

}

2、求曲面z = axy上坐标曲线x = x0,y =

y0的交角.

?解 ；曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x0的向量表示为

??r={ x0,y,ax0y } ，其切向量ry={0，1，ax0}；坐标曲线y =y0的向

??ryyy量表示为r={x , 0,ax0}，其切向量x={1，0，a0}，设两曲线

??rx?rya2x0y0???22|rx||ry|1?a2x01?a2y0x = x0与y =y0的夹角为?，则有cos? =

22z?a(x?y)在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原3.求抛物面

点是否为脐点.

?22r?{x,y,a(x?y)}，

解； 曲面方程即，

???rx?{1,0,2ax}ry?{0,1,2ay}rxx?{0,0,2a}，，

??rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2a} 。

在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .22n?{0,0,1}所以?N-4a?+4a=0 ，

NEG?F2?1 ，

两主曲率分别为

?1 = 2 a , ?2= 2 a

L?2a,M?0,N?2a ，k1?2a,k2?2a

2K?4a所以，高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a

?r?a?3t?t3?,3at2,a?3t?t3?4、求曲线 的曲率和挠率：?a?0? ???323r?a3t?t,3at,a3t?tr??3a1?t2,6at,3a1?t2??解：因为

???????r?????6at,6a,

??r??32a1?2t

???r??????6a,0,6a?k?13a?1?t??，

?????22222???r?r?18at?1,?36at,18at?1????6?at，

??，???r??r??182a2?1?t2???，??????，

??，

?????????3r?,r??,r????216a，

?，

22 所以

???，

13a?1?t22?

5.确定螺旋面

?r??ucosv,usinv,cv?上的曲率线。

解 对于正螺面

?r??ucosv,usinv,cv??cu?c22，

E?1,F?0,G?u2?c2,L?0,M?

,N?0.

dv2?????????dudv??????????du2 ??????????????????????????u2?c2?0 ??????? 曲率线的方程为 化简得

?cu?c22??????????，

?du2??u2?c2?dv2?0du22，

即

u?c??dv。 积分得

lnu?u2?c2??v?c。

所求曲率线为

lnu?u2?c2?v?c1lnu?u2?c2?v?c2，

。

22I?v(du?dv)，v?0，求坐标曲线的

6.已知曲面的第一基本形式为

测地曲率.

Gu?0Ev?1F?0E?G?v解 ，，， Ev1?gu????2EG2vv u-线的测地曲率

?g?vGu2GE?0

v-线的测地曲率

33z?x?y7、求曲面的渐近曲线.

??2?233r?{1,0,3u}rv?{0,1,?3v}r?{u,v,u?v}u??1?ru?rvn????{?3u2,3v2,1}|ru?rv|9u4?9v4?1

??L?n?ruu?6u????ruu?{0,0,6u}ruv?0rvv?{0,0?,v6}

??9u4?9v4?1 M?n?ruv?0

?6v9u4?9v4?1

2??N?n?rvv?2又

Ldu?2Mdudv?Ndv?0

vd?v0

3222?udu?vdv? udu323232?u?v?C1 (?u)?v?C2

?t8、 求曲线r= { tsint,tcost,te} 在原点的密切平面、法平面、从切面、

切线、主法线、副法线。 解 ；原点对应t=0 ,

?tt}t?0={0,1,1}， costesintsintcoster' (0)={ +t,- t,+t

?tt}r''(0)?t?0 ={2,0,2} ， costesintecostcost {2+ t,- t,2+t

xyz??11 ，法面方程是 y + z = 0 ； 所以切线方程是 0x0密切平面方程是

y10z12=0 ，即x+y-z=0 ，

2?x?y?z?0yxz???y?z?0?11主法线的方程是? 即2 ；

xyz??1?1 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

2z?xy9、 求曲面的渐近线.

?2r?{x,y,xy},

解：曲面的向量表示为

???2rx?{1,0,y},ry?{0,1,2xy},rxx?{0,0,0},

???2???242rxy?{0,0,2y},ryy?{0,0,2x},E?rx?1?4y,F?rx?ry?2xy,G?ry?1?4x2y2L?0,M?2y1?4x2y2?y4,N?2x1?4x2y2?y4.

2224ydxdy?2xdy?0, Ldx?2Mdxdy?Ndy渐近线的微分方程为,即

一族为dy=0, 即

y?c1,c1为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即

lnx2y?c2,或x2y?c,c为常数..

?abuvr?{(u?v),(u?v),}222上的曲率线的方程. 10、求曲面

a2?b2?v2?a2?b2?uva2?b2?u2E?,F?,G?,L?0,444 解

2EG?F2,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: abM=

(a2?b2?u2)dv2?(a2?b2?v2)du2,积分得:

ln(u?a2?b2?u2)??ln(v?a2?b2?v2)?c .

?11、将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

?r解 '= { -a,asintcost,b}，s =

st?22a?b所以，代入原方程

得

?st0?|r'|dt?a2?b2t，

?r={acossa2?b2, sinbsa2?b2}

a

a2?b2,

12、求双曲面z=axy上的曲率线.

E?1?ay,F?axy,G?1?ax,L?0,M?解：

2222222a1?ax?ay2222,，

dy21?a2x20N=0 . 由

?dxdya2x2y2a1?ax2?a2y22dx21?a2x20=0

222222(1?ay)dx?(1?ax)dy得,

积分得两族曲率线为

ln(ax?1?a2x2)??ln(ay?1?a2y2)?c.

22du?dvds2?222(u?v?c)13、求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。

1E?G?22,F?02(u?v?c) 证： 因为 ，所以

(G)u(E)v1K??[()u?()v]EGEG=

2222?2(v?c?u)?2(u?c?v)22u?v?c[???(u2?v2?c)2(u2?v2?c)2]-=4c

222tt14、求曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-t的挠率，并求出它所

在的平面方程 。

2??证 r'={3+4t, -２+10t,-2t}， r''={4，10，-２}，

? r'''＝｛０，0，0｝

???(r',r'',r''')????2?0(r'?r'')曲线的挠率是，所以曲线为平面曲线。曲线所在平

面是曲线在任一点的密切平面。对于ｔ=0,有

??r =｛１,２,１｝，r'={3, -２,0}，

??r''={4，10，-２}， r'''＝｛０，0，0｝。

x?1y?23?2104z?10?2?0

所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是即2x+3y+19z

–27＝0．

?23r?{at,bt,ct}在点t0的切线和法平面。 15、求三次曲线

23x?at0y?bt0z?ct0???22r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}a2bt3ct00解 ，切线为，

法平面为

223a(x?at0)?2bt0(y?bt0)?3ct0(z?ct0)?0。

222x?5x?4xx?2x1122第一基本形式,第二基本形式. 16、计算抛物面在原点的3?522r?{x1,x2,x1?2x1x2?x2}2解 曲面的向量表示为,

?rx1?{1,0,5x1?2x2}(0,0)?{1,0,0},

?rx2?{0,1,2x1?2x2}(0,0)?{0,1,0},

???rxx?{0,0,5}rx1x2?{0,0,2}rxx?{0,0,2}11, ,

22,

E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

2222dx?dx5dx?4dxdx?2dx2, II=1122 I=11z?(ax2?by2)217、求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.

??rx?{1,0,ax}(0,0)?{1,0,0}ry?{0,1,by}(0,0)?{0,1,0},,

???rxx?{0,0,a}rxy?{0,0,0}ryy?{0,0,b},

，

,

E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率

knadx2?bdy2?dx2?dy2

18、求正交网的坐标曲线的测地曲率。 解： 因为坐标网是正交的，所以F=0，故

d?1?lnE1?lnGkg??cos??sin?ds2G?v2E?u，

而对u-曲线来说，?=0，故

kgu??1?lnE2G?v，

1?lnG?kgv?222?????ng2E?u 2 ，所以对v-曲线来说，?=

222(x?b)?z?a(b?a),并令其绕轴旋转19、在xoz 平面上去圆周y = 0,

?的圆环面,参数方程为 r={(b+acos?)cos?, (b+acos?)sin?,

asin?},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。

2a解：E =, F= 0 , G=(b?acos?),

2 L = a, M = 0, N = cos?(b+acos?),

LN -M2=a cos?(b+acos?) , 由于b > a > 0 , b+acos? > 0,

3??2所以LN -M 的符号与cos?的符号一致,当0≤?<2和 20 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；

3??当-2

3?2?=2或 2时，LN -M=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点

为抛物点。

?{acos?sin?,acos?sin?,asin?}r20、求球面=上任意点的切平面和法线

方程。

解：

?r??r??{?asin?cos?,?asin?sin?,acos?}任意点的切平面方程为

，

={?acos?sin?,acos?cos?,0}

x?acos?cos??asin?cos??acos?sin?

y?acos?sin??asin?sin?acos?cos?z?asin?acos?0?0

即 xcos?cos? + ycos?sin? + zsin? - a = 0 ； 法线方程为

x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin???cos?cos?cos?sin?sin?

2222du?(u?a)dv21、设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u +

v = 0 ,u–v = 0的交角。

解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E?1，Fv?0，

G?u2?a2，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,

，G?a。曲线u + v = 0的方向

为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?， 交点处的第一类基本量为E?1，则有

Fv?02Edu?u?Gdv?ucos?=

32Edu2?Gdv221?a2?221?a2E?u?G?v 。

22、求曲线

x?3ay,2xz?aay?3 与y = 9a之间的弧长。在平面

x3a2?{x,2,}3a2x，解：曲线的向量表示为r＝曲面与两平面

y?a3 与y = 9a

x2a2?{1,2,?2}a2x， 的交点分别为x=a 与x=3a , r'＝

?｜r'｜＝s??3aax4a41??a44x4x2a2?22a2x＝

，所求弧长为

?23、求正螺面r={ucosv,usinv,av}上的测地线。

22a?u解：易计算出E=1，F=0，G=，所以测地线的微分方程化为

x2a2(2?)dx?9a2a2x

d?udv??2tg?,?2dua?udu1a?u22tg?，

tg??22对第一式积分得sin?a?u?h（常数）。于是

ha2?u2?h2du，将

v?h?此式代入第二式并积分，则得所求测地线为

(a2?u2)(u2?a2?h2)

24、在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

?解： r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } , ? r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }

???r'?r''?????|r'?r''|{sin?sint ,- sin?cost , cos? }

新曲线的方程为 ?r={ coscost + sin?sint? ，cos?sint- sin?cost ，

tsin? + cos? } 对于新曲线 ?r'={-cos?sint+sin?cost ，cos?cost+ sin?sint，sin? }={sin(?-t),cos(?-t),sin?} , ?r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是

x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

??1213?X??t,t,t?3?的曲率k和挠率??225、求曲线

??1213?X??t,t,t??,2X?1,t,t23??，解：因为

?,,,?,,X?0,1,2t，X?0,0,2 ，

。

??????，

?,?,,(t4?4t2?1)|X?X|3?,3k?422|X|(t?t?1) ?,?,,?=,,,(X,X,X)2???,?,,2?42t?t?1 (X?X)

12??26、求曲线Y?Y(s)的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。

??Y?Y(s)（s为弧长参数）的切线曲面为

解：设曲线

???X?Y(s)?v?(s)，

?????Xs???vk?Xv??，

则有

，

???????2?.Xss??vk??(k?vk)??vk??Xst?k?Xvv?0，

22E=1+vk，F=1，G=1，L=?vk?,M=0 ，N=0

k1?0,k2???vk , H=2vk

?dsdvds21010=0，即s=常数，或v=-s+c

??dv21?v2k2曲率线方程为

?vk???2122?34X??u?v,2u?uv,u?uv?33??高斯曲率。 解： 27、求曲面

?422?????1233Xu??2u,6u?v,4u?uv?,Xv??,u,4u?u?33????3??4???2Xuu??2,12u,12u?v?3?????4??3Xuv??0,1,4u?u?3???Xvv??0,0,0?可得K=0

28、求曲面

z?x3?y3的渐近曲线.

?33r?{u,v,u?v} 解 设

??22rr?{1,0,3u}则 u，v?{0,1,?3v}，

??1?ru?rvn???{?3u2,3v2,1} ?|ru?rv|9u4?9v4?1????ruu?{0,0,6u}，ruv?0，rvv?{0,0,?6v}

??L?n?ruu?6u9u4?9v4?1??，M?n?ruv?0，

??N?n?rvv??6v9u?9v?144因渐近曲线的微分方程为

Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0

22udu?vdv即或udu?vdv?0

?

渐近曲线为u?v?C1或 (?u)?v?C2

323232321、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.

?1??2证：由H=

2=0有?1=?2=0或?1=-?2?0 .

22?(?)??cos???sin?=0 , ??12若1=2=0,则沿任意方向?,nIILdu2?2Mdudv?Ndv2kn???022IEdu?2Fdudv?Gdv即对于任意的du:dv , ,

所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若

?1=-?2?0,则K=?1?2<0 ,即LN-M

2<0,对应的点为双曲点.

2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。

??r(t)，则曲线在任意点

证：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝

?????r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以

的切线方程是????r???r(t)??r'(t)，可见r(t)是直线 ∥r'，所以r具有固定方向，故r＝

12234?{u?v,2u?uv,u?uv}333、证明曲面r=是可展曲面.

2122{,u,u}?{u2,2u3,u4}3证： 已知曲面方程可改写为r=+v3，

122rrrr{,u,u}234?a(u)={u,2u,u}，b(u)=33a(u)+ vb(u)，

令，则r=

rb(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足 且

2u136u2u14u322u34u3=0 ,所以所给曲面为可展曲面。

rrr(a',b,b')=04、证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.

证 ；若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G—C—M公式，但

(G)u(E)v1LN?M2?[()u?()v]?0???1EGEGEG，

所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。

?5、证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展

曲面。

rr?a(v)+ ub(v)，其中

证： 曲面的方程可改写为 r=

ra(v)={cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v}，

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr(a',b,b')=

又因为

?sinv?cosvcosv?sinv10=0，

所以所给曲面为可展曲面

6、 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证； 曲面上的给定点处两主曲率分别为方向?+

?1 、?2，任给一方向?及与其正交的

?22?(?)??cos???sin?， 122，则这两方向的法曲率分别为n?n(???)??1cos2(???)??2sin2(???)??1sin2???2cos2?222

??(??)??1??2?(?)?n2n 即为常数。

7、证明挠曲线(

??0的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.

?(s,v)?r(s)?v?(s) (r,,?,?,)?(?,?,?k????)??

(r,,?,?,)?0

??0

8、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量线.

e，那么这曲线是直线或平面曲

???????e?0， 证：设所给的常向量为e?0，则??e。所以?????????e?0，即k??e?0。 两边对s求微商得??若k?0，则曲线是直线。

????????????e?0，则??e，于是??e?0， 若

???????????k?????e?0,?k??e????e?0??????e?0，所以有???e?0。 由于??，

??????????e??,e??可知e??，从而e???0，所以??0，即曲线为平面直线 由

9、设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线

平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。

???r?(s)与?：r?r(s)点s与s一一对应，且对应点的切线证 设曲线Γ：r=

???ds????????(s)?(s)ds, 即平行，则=, 两端对s求微商得

???ds??k?(s)??k?(s)?|?|=0，?ds ，(这里k?0，若k=则

即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。

????无定义)，所以∥

，

10、设空间两条曲线?和C的曲率处处不为零，若曲线?和C可以建立一一对应，

且在对应点的主法线互相平行，求证曲线?和C在对应点的切线夹固定角.

?????????????:r?r(s) ?:r?r(s) 则由?//?知 ????

解；设

????????ds????d(???)?????????????????0????0????0dsds从而 ，

??????cos?,??C????constant 即

这表明曲线?和C在对应点的切线夹固定角

11、给出曲面上一条曲率线?，设?上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证?是一条平面曲线. 证 ；设

???:r?r(u,v)，?:u?u(s),v?v(s)，其中s是?的自然参数，记 ??r,n???????dn????n?r?0ds，

??，则r?n?cos?，两边求导，得

??dndr?//????由?为曲率线知dn//dr，即dsds， 因此

?????dn?dr???n?r????nr??0dsds .

若?????n???0，则因?为曲面?上的一条曲率线， 故dn??ndr. 若

而

?0，则?为平面曲线；

?????n?n?????n???0???，所以dn?0，即n为常向量. 于是?为平面

曲线.

12、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。

证 ：设一曲线为Γ

?????r(s)??(s)?(s) ，?(s)为曲线Γ

???：r?r(s)，则另一曲线?的表达式为：＝

在点s的主法向量，也应为?在对

应点的副法线的方向向量。

?????'＝?＋?－

??????与???正交，即?'·?＝０，于是?＝０，?为常数。

?????'＝?－?????－??（－k?＋??）也与????''·?＝-??2=0,而??０,所以有?＝０，曲线Γ为平面曲线。

正交，即

同理曲线?为平面曲线。

13、求证：如果测地线同时为渐近线，则它是直线； 证 因为所给曲线是测地线，所以

??，?''＝k?－?????kg?0； 又因为所给曲线是渐近线，所以

kn?0

，而

22k2?kn?kg ，所以k=0， 故所给曲线是直线。

....????r??????(r,r,r)?0

14、证明曲线r＝(s)为一般螺线的充要条件为

???r????，

....????????232????????r???????????,r??3????(???????)??(2??????)?

....????????3335????????????(???????)??(r,r,r)??(2k?????)?3??2?＝

??5()?，其中k?0.

??()??r(s)为一般螺线的充要条件为? 为常数,即?=0,也

曲线r＝

是

....????????(r,r,r)?0 。

?15、若曲线?的主法线是曲线?的副法线，?的曲率、挠率分别为k、?，

求证

k??0?k2??2?，其中?0是常数。

证明：设曲线

???:r?r?s????r?s?的副法线重合，则

??????r?s??r?s????s???s?，曲线

??????:r?r?s?。?在

?r?s?的主法线与?在

。于是有，

?????ds??????????????ds?????????????k????r?r???????dsds ，。

????????????????????，于是???,???，上式两边点乘?，可得??0，从而?是常数。因为

?????ds???????1??0k????0?????0ds设，则。

上式两边对

s求微商，可得

???????d2s????????ds?????2????1??0k???k?1??0k?????0?????0?????2ds?ds?。

2上式两边点乘?，可得

??k?1??0k???0??02，即

k??0?k2??2?。

?16．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a?0)不是可展曲面。

00sinua00?0

?17、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲

线。

?????|?|=0 ，这时曲线是直线。

证 ：根据已知??e?0，若?是常向量，则k=

?????????否则在??e?0两边微分得?·e=０，即 k?·e=０,所以?·e=０，又因

?????????e?0，所以?∥e，而为单位向量，所以可知?为常向量，

???rrrrrrrrra(u)b(u)a(u)b(u)b(u)?(a',b,b')cosu?sinucosu于是

|?|?|?|?0，即??0，此曲线为平面曲线。

?18、证明过原点平行于圆柱螺线r={acost，asint，bt}的副法线的直

2222a(x?y)?bz线轨迹是锥面.

??证 r'={ -asint,acost,b }, r''={-acost,- asint,0 } ，

???a{?bsint,bcost,?a}r'×r''=为副法线的方向向量，

yxz??过原点平行于副法线的直线的方程是 bsint?bcosta，消去参数t得

a2(x2?y2)?bz2。

19、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。

22证：因为是极小曲面，所以1，为非平面，即有1 则

K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。 设两族渐近曲线主方

k?k?0k??k?0,向的交角为

?1,?2，则由欧拉公式有

tan?1,2??

?k1k2?1??1,=

?4,?2???4 两族渐近曲线正交

20、 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线

??r证 设曲线Γ与?在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r＝(s) ，则?：

??????????r(s)??(s)?(s)，??０，其切向量为?'＝?＋??＋?k?应与

为直线。同理曲线?为直线，而且是与Γ重合

的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。

??平行，所以k＝０，从而曲线Γ

21、设非直线曲线?和另一条曲线?之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线?的切线是?的主法线，证明?是平面曲线。

??*X?X(s)??解：设曲线：（s为弧长参数）则为

**?*??X?X(s)??(s)? 两边对s求导有

??,.?X*?(1??)???k? （1）

?*??*.?????1???0代入（1） 因为，上式两边点积有

??,X*??k? （2） 即有

再求导有

??*,,??..X?(?k??k)???k(?k????) （3）

?*?,?*,,23?22?X*?X??k???k?? （4）

22?k??0由题意有??0，即证。 有

?（4）再两边点积

22、若两曲面?1、?2相交于定角，若交线?是?1的曲率线，则?也是?2的

曲率线

????nn?c ； 两边微分n,n??证：设1，2的单位法向量为12，则由题意有12????dn1n2?n1dn2?0 由交线?是?1的曲率线，则有得

??????dn1??dX ?dXn2?n1dn2?0

????n?dX，所以n1dn2?0 因为2???ndn2?0 n又因为2为单位法向量，即有2???dn||n1?n2 所以有2???????n?dX，n2?dX，所以有dX||n1?n2 1??dn||即2dX，所以?也是

?2的曲率线。

1、是否存在曲面使得E=1，F=0，G=1， L=-1，M=0，N=0？为什么？ 解：存在, 因为E=1，F=0，G=1， L=-1，M=0，N=0满足高斯-柯达齐方程

2、问曲面上曲线?的切向量沿曲线?本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线?是测地线吗？为什么？

答：曲面上曲线?的切向量沿曲线?本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线?是测地线.

ii?:u?u(s)(i?1,2)， 事实上，设

?du1?du2?r2则?的切向量为??r1dsds?记

dudu?21a?，a?dsdsi,j2

ij222ijDa1?da1???1aduDa?da??adu?ijij，

???则曲线?的切向量沿?平行移动?D??0? Da?i,j

1?0,Da2?0

Dai?0(i?1,2) ? dsijd2ukduduk???0?ij2dsdsdsi,j?

(k?1,2)

? ?为测地线

-------------------------------------------------------------------------------------------------------证明题17和8 计算题9和28