复习试题

四、计算题：

?4x1?2x2?x3?11??x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)Tx?(0,0,0)123?1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭

代四次(要求按五位有效数字计算)。

?(k?1)1(k)(k)x?(11?2x?x)123?4??(k?1)1(k)?(18?x1(k?1)?2x3)?x24??(k?1)1(k?1)(k?1)x?(22?2x?x)312?5答案：迭代格式 ?

k 0 1 2 3 4

x1(k)(k)x2(k)x30 2.7500 0.20938 0.24043 0.50420 0 3.8125 3.1789 2.5997 2.4820 0 2.5375 3.6805 3.1839 3.7019 1 / 27

2、

11f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?)?f()]??122的代数精求A、B使求积公式

1度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求

2f(x)?1,x,x答案：是精确成立，即

I??211dxx(保留四位小数)。

?2A?2B?2?12?182A?B?A?,B??23 得?99

1811f(x)dx?[f(?1)?f(1)]?[f(?)?f()]??19922求积公式为

1当f(x)?x时，公式显然精确成立；当所以代数精度为3。

32f(x)?x时，左=541，右=3。

?1

21t?2x?311111811dx??dt?[?]?[?]?1t?3x9?1?31?39?1/2?312?3?97?0.692861402 / 27

3、 已知

xi1 3 6 4 5 5 4 f(xi)2 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。 答案：

L3(x)?2(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)?6(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)

?5(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)?4(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)

差商表为

xiyi一阶均差 二阶均差 三阶均差 2 -1 -1 -1 0 141 3 4 5

2 6 5 4 P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?1(x?1)(x?3)(x?4)4

f(2)?P3(2)?5.5

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4、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题

?y??2x?3y??y(0)?1 (0?x?1)

(0)??yn?1?yn?0.2?(2xn?3yn)?(0)?y?y?0.1?[(2x?3y)?(2x?3yn?1nnnn?1n?1)]?答案：解：

即 yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04

n xnyn0 0 1 0.2 1.82 2 0.4 3 0.6 4 0.8 5 1.0 1 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 5、已知

xi-2 -1 2 0 1 1 3 2 5 f(xi)4 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f?(0)的近似值。 答案：解：

ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi0 -2 4 4 -8 4 / 27

16 -8 16

1 2 3 4 -1 0 1 2 0 2 1 3 5 15 1 0 1 4 10 -1 0 1 8 0 1 0 1 16 34 -2 0 3 10 3 2 0 3 20 41 ?正规方程组为

?5a0?10a2?15?10a1?3??10a?34a?412?0

a0?

p2(x)?10311?x?x271014

10311,a1?,a2?71014

311?(x)?p2?x107

3?(0)?f?(0)?p210

6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7

xi0.8 0.38942 0.47943 0.56464

yi0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

5 / 27

答案：解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|?M3|?3(x)|3!

尽量小，即应使|?3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.63891?0.596274，

且

sin0.63891?0.596274?1(0.63891?0.5)(0.63891?9?0.6)(0.63891?0.7)3!?0.55032?10?4

x7、构造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式xn?1??(xn),n?0,1,2,?，讨论

?4|x?x|?10n?1n其收敛性，并将根求出来，。

x答案：解：令 f(x)?e?10x?2,f(0)??2?0,f(1)?10?e?0.

x??)，故f(x)?0在(0,1)内有唯一实根.将方且f?(x)?e?10?0对?x?(??，程f(x)?0变形为

x?1(2?ex)10

则当x?(0,1)时

?(x)?1(2?ex)10，

exe|??(x)|????11010

故迭代格式

xn?1?1(2?exn)10

6 / 27

收敛。取x0?0.5，计算结果列表如下：

n 0 1 0.035 127 2 0.096 424 785 6 0.090 525 950 3 0.089 877 325 7 0.090 525 008 xn0.5 4 0.090 595 872 5 0.090 517 340 n xn993 ?6*|x?x|?0.00000095?1076且满足 .所以x?0.090525008.

?x1?2x2?3x3?14??2x1?5x2?2x3?18?3x?x?5x?203?12 8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 。

3??1??12??1?4?A?LU??21?????24???3?51????? 答案：解：

令Ly?b得y?(14,?10,?72)，Ux?y得x?(1,2,3).

?3x1?2x2?10x3?15??10x1?4x2?x3?5?2x?10x?4x?823 9﹑对方程组 ?1

TT（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

7 / 27

（2） 取初值x(0)?(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求

||x(k?1)?x(k)||??10?3。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

?10x1?4x2?x3?5??2x1?10x2?4x3?8?3x?2x?10x?1523?1

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

?(k?1)1(k)(k)x?(4x?x23?5)?110??(k?1)1(k?1)(k)?(?2x1?4x3?8)?x210??(k?1)1(k?1)(k?1)x?(?3x?2x?15)312?10?

取x(0)?(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*?x(7)?(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

10、已知下列实验数据

xi 1.36 1.95 8 / 27

2.16

f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

xedx??f(x)?e解：当0

1 要求近似值有5位有效数字，只须误差

由

(n)R1((n)R1(f)?1?10?42.

(b?a)3f)?f??(?)212n，只要

(n)R1(ex)e?e1?4????1012n212n22

即可，解得

n?e?102?67.30877???6

所以 n?68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

?1?11??x1???4??5?43??x????12????2????211????x3????11??。 11、用列主元素消元法求解方程组 ??1?11?4??5?43?12??r2??5?43?12??r1????1?11?4???????21111???21111?? 解： ??5?1r2?r1?5??????02r3?r1??05????12???5128?r2?r3??????????0555??13179??0??555????43??12?13179???555?128???555?? ?439 / 27

?5?1r3?r2?13??????0??0???4?12??13179???555?55??? 1313?3回代得 x3??1,x2?6,x1?3。

12、取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e在区间[0,1]上的二次插值多

项式P2(x),并估计误差。 解：

P2(x)?e?0?(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?1)?e?(0?0.5)(0?1)(0.5?0)(0.5?1)

?e?1?(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)?x?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)

又

f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M3?max|f???(x)|?1x?[0,1]

故截断误差 13、用欧拉方法求

|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?1|x(x?0.5)(x?1)|3!。

y(x)??e0x?t2dt

在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 解：

y(x)??e?tdt0x2等价于

2??y??e?x???y(0)?0 (x?0)

记f(x,y)?e?x2,取h?0.5,x0?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.

则由欧拉公式

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?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y0?0, n?0,1,2,3

可得 y(0.5)?y1?0.5,y(1.0)?y2?0.88940,

y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604

x14、给定方程f(x)?(x?1)e?1?0

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

x解：1）将方程 (x?1)e?1?0 （1）

改写为

?x x?1?e （2）

*?x 作函数f1(x)?x?1，f2(x)?e的图形（略）知（2）有唯一根x?(1,2)。

?x2) 将方程（2）改写为 x?1?e

?xk?1?1?e?xk?构造迭代格式 ?x0?1.5 (k?0,1,2,?)

计算结果列表如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784k 3 1 ?x9 9 ?x2 6 4 7 6 3) ?(x)?1?e，??(x)??e

当x?[1,2]时，?(x)?[?(2),?(1)]?[1,2]，且

|??(x)|?e?1?1

所以迭代格式 xk?1??(xk)(k?0,1,2,?)对任意x0?[1,2]均收敛。

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15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为

2x3xn?3xn?1?n?xn?1?xn?22xn2xn， 即

(n?0,1,2,?)

取x0=1.7, 列表如下：

nxn1 2 1.73205 3 1.73205 1.73235 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解：

L2(x)?2?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?3??4?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)

?234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323 1f(1.5)?L2(1.5)??0.0416724

1x17、n=3,用复合梯形公式求?0解：?01xedx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

edx?T3?1?00[e?2(e13?e23)?e1]?1.73422?3f(x)?ex,f??(x)?ex，0?x?1时，|f??(x)|?e

|R|?|ex?T3|?ee??0.025??0.05210812?3

至少有两位有效数字。

?301??x1??5????????1?31??x2???1??1?14??x???8???3?=??， 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 ?取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。

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解：Gauss-Seidel迭代格式为：

?(k?1)1(k)x?(?x?5)13?3?1?(k?1)(k?1)(k)x??(?x1?x3?1)?23??(k?1)1(k?1)(k?1)x?(?x?x?8)312?4?

?301??1?31????1?14??严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 系数矩阵?取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

k(k)x1(k)x2(k)x31 2 3 1.667 2.398 2.461 0.889 0.867 0.359 -2.195 -2.383 -2.526 ?y??x?y? 19、用预估—校正法求解?y(0)?1(0?x?1)，h=0。2，取两位小数。

解：预估—校正公式为

1?y?y?(k1?k2)n?n?12???k1?hf(xn,yn)??k2?hf(xn?h,yn?k1)?? n?0,1,2,?

其中f(x,y)?x?y，y0?1，h=0.2，n?0,1,2,3,4，代入上式得：

nxnyn1 2 0.4 1.58 3 0.6 2.04 13 / 27

4 0.8 2.64 5 1.0 3.42 0.2 1.24

2y?a?bx20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：

xiyi19 25 32.3 30 49.0 38 73.3 19.0 2解：??span{1,x}

?1AT??2?1912521312TTAAC?Ay 解方程组

T1?T382?? y??19.032.349.073.3?

3391?4??173.6?TAA??Ay???03?339135296179980.7???? 其中

?0.9255577?C???0.0501025?? 所以 a?0.9255577， b?0.0501025 解得：

21、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算?0计算出该积分的近似值。

解：

RT[f]??b?a2111hf??(?)??2?e0??0.00130212128768

1e?xdx时，试用余项估计其误差。用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）

7hT(8)?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]2k?1 1?[1?2?(0.8824969?0.7788008?0.6065306616?0.5352614?0.47236655?0.41686207)?0.36787947]

?0.6329434

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322、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等

33价形式（1）x?x?1对应迭代格式xn?1?xn?1；(2)

x?1?1x对应迭代格式

xn?1?1?133xn；x?x?1。x?x?1n?1n（3）对应迭代格式判断迭代格式在x0?1.52的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，精确到小数点后第三位。

?1??(x)?(x?1）31.5）?0.18?1，故收敛； 3解：（1），??（??(x)??12x21?11.5）?0.17?1，故收敛； x，??（（2）

22?（?1.5）?3?1.5?1，故发散。 ??(x)?3x（3），

选择（1）：x0?1.5，x1?1.3572，x2?1.3309，x3?1.3259，x4?1.3249， x5?1.32476，x6?1.32472 23、（8分）已知方程组AX?f，其中

?43??24?

??30?A??34?1f?????

????14??，??24??

（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

1?(k?1)(k)x?(24?3x2)1?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k)?x3)?4?1(k?1)(k)x?(?24?x2)3?4?k?0,1,2,3,?解：Jacobi迭代法：? 1?(k?1)(k)x?(24?3x)12?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k?1)?x3)?4?1(k?1)(k?1)x?(?24?x)32?4?k?0,1,2,3,?Gauss-Seidel迭代法：?

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?0?34??1BJ??D(L?U)???304?30?4?0??3?4?105?(B)?(或)?0.7905690?J8?， 4

?dy???y?1?dx?y(0)?1用改进的欧拉法24、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。

(0)?yn?1?yn?hf(xn,yn)?0.9yn?0.1?h?(0)y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?0.905yn?0.095?2解：改进的欧拉法：?

所以y(0.1)?y1?1； 经典的四阶龙格—库塔法：

h?y?y?[k1?2k2?2k3?k4]n?n?16?k1?f(xn,yn)?hh?k?f(x?,y?k1)2nn?22?hh?k3?f(xn?,yn?k2)22??k4?f(xn?h,yn?hk3)k1?k2?k3?k4?0，所以y(0.1)?y1?1。 ?

25、数值积分公式形如

?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)试确定参数A,B,C,D使公式代

011R(x)??xf(x)dx?S(x)0数精度尽量高；（2）设f(x)?C[0,1]，推导余项公式，并

4估计误差。

解：将f(x)?1,x,x,x分布代入公式得：

23A?3711,B?,B?,D??20203020

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H3(xi)?f(xi)???(xi)?f?(xi)i?0,1H(x)构造Hermite插值多项式3满足?H3其中f(4)(?)2f(x)?H3(x)?x(x?1)2xH(x)dx?S(x)4!则有：?03，

1x0?0,x1?1

26、用二步法

f(4)(?)3R(x)??x[f(x)?S(x)]dx??x(x?1)2dx004!

f(4)(?)13f(4)(?)f(4)(?)2?x(x?1)dx???04!4!?601440

11 yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]

?y??f(x,y)?求解常微分方程的初值问题?y(x0)?y0时，如何选择参数?0,?1,?使方法阶

数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的 解：

h2h3Rn,h?y(xn?1)?yn?1?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)??2!3!h2h3??0y(xn)??1(y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)??)2!3!h2h3(4)?h[?y?(xn)?(1??)(y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?y(xn)??]2!3!

?(1??0??1)y(xn)?h(1?1??1)y?(xn)1?1?1???h2(?1?1??)y??(xn)?h3(?1?)y???(xn)?O(h4)22662 ??1?????0?01??0?1???1?0???1?0??1?1?3??1???0????2 所以?22 ?53hy???(xn)主项：12 该方法是二阶的。

27、（10分）已知数值积分公式为：

17 / 27

?h0f(x)dx?h[f(0)?f(h)]??h2[f'(0)?f'(h)]2，试确定积分公式中的参数?，

使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f(x)?1显然精确成立； f(x)?x时，?0f(x)?x2时，?0h2hh2hxdx??[0?h]??h2[1?1]22；

h3hh3122xdx??[0?h]??h[0?2h]??2?h???32212； h4h1xdx??[0?h3]?h2[0?3h2]4212；

3f(x)?x3时，?0hf(x)?x4时，?0hh5h12h543xdx??[0?h]?h[0?4h]?52126；

4所以，其代数精确度为3。

28、（8分）已知求a(a?0)的迭代公式为：

xk?1?1a(xk?)2xkx0?0k?0,1,2?

证明：对一切k?1,2,?,xk?a，且序列?xk?是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 证明：

xk?1?1a1a(xk?)??2?xk??a2xk2xkk?0,1,2?

故对一切k?1,2,?,xk?a。

xk?11a1?(1?2)?(1?1)?12xk又xk2 所以xk?1?xk，即序列?xk?是单调递减有下界，

从而迭代过程收敛。

29、（9分）数值求积公式?033f(x)dx?[f(1)?f(2)]2是否为插值型求积公式？

为什么？其代数精度是多少？

18 / 27

解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为

3p(x)?x?2x?1?f(1)??f(2)1?22?1

3p(x)dx?[f(1)?f(2)]?02 。其代数精度为1。

30、(6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (6分)

xn?1???xn??1?1?cos?xn??4，n=0,1,2,…

?'?x??11sin?x???144 ∴ 对任意的初值x0?[0,1],迭代公式都收敛。

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton插值方法：差分表：

100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 115?10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

3?f'''?x??x28

5R?f'''????115?100??115?121??115?144?3!5?13?1002?15?6?29?0.0016368

I??sin?x?dx0x的近似值，要

132、(10分)用复化Simpson公式计算积分

19 / 27

求误差限为0.5?10。

?5?1??1?????S1??f0?4f?f1??0.94614588????6??2?? S2??1??1??1??3??????f0?4f?2f?4f?f1?????????0.9460869312?424????????

1S2?S1?0.393?10-515 I?S2?0.94608693

I?S2?sin?x?x2x4x6x8f?x???1??????x3!5!7!9!或利用余项： f(4)1x2x4f?x??????57?2!9?4!

(4)?x??15

R5?b?a??2880n4f(4)????1?0.5?10?542880?5n，n?2，I?S2??

33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

?x1?4x2?2x3?24??3x1?x2?5x3?34?2x?6x?x?2723?1

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875

x??2.0000,3.0000,5.0000?

T

20 / 27

?13??5????x1????12???x????2??11??2??1???? 的最小二乘解。 34、(8分)求方程组 ??36??x1??8???1.3333????????x???614??x???20???TT2.0000?AA?x?Ab，???2???， ??

若用Householder变换，则：

??1.73205?3.464104.61880????A,b???0?0.36603?1.52073???0?1.36603?2.52073??

??1.73205?3.46410?4.61880?????01.414212.82843??000.81650???

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.

35、(8分)已知常微分方程的初值问题：

?dydx?xy,1?x?1.2? ?y(1)?2

.)的近似值，取步长h?0.2。 用改进的Euler方法计算y(12k1?f?x0,y0??0.5，k2?f?x1,y0?hk1??1.1?2?0.2?0.5??0.5238095

y1?y0?h?k1?k2??2?0.1??0.5?0.5238095??2.10714292

36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

?1???xfxdx?Af1?0???A1f??0?2?

1取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：

A0?A1?11111A0?A1?A0?A1?2，23 3，6

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f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2

?1??12?2??b??2?A??111???????3??， ?221??，37、（15分）已知方程组Ax?b，其中

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k)(k)?x2?2?x1?x3;k?0,1,2,?x(k?1)?3?2x(k)?2x(k)12?3

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k?1)(k);k?0,1,2,?x2?2?x1?x3?x(k?1)?3?2x(k?1)?2x(k?1)12?3

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

?0?22??B?D?1(L?U)???10?1?????2?20??，

?1??2??3?0，?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为

?0?22??G?(D?L)?1U??02?3????002??，

?1?0,?2??3?2，?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法发散

?dy??2x?y?dx?38、（10分）对于一阶微分方程初值问题?y(0)?1，取步长h?0.2，分

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别用Euler预报－校正法和经典的四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值。 解：Euler预报－校正法

(0)?yn?1?yn?0.2(2xn?yn)?0.4xn?0.8yn?(0)?yn?1?yn?0.1(2xn?yn?2xn?1?yn?1)?0.16xn?0.2xn?1?0.82yn经典的四阶龙格—库塔法

y(0.2)?y1?0.2?0.2?0.82?1?0.86

0.2?y?y?(k?2k2?2k3?k4)n?n?161??k1?2xn?yn?k?2(x?0.1)?(y?0.1k)nn1?2?k3?2(xn?0.1)?(yn?0.1k2)??k4?2(xn?0.2)?(yn?0.2k3)

y(0.2)?y1?0.8562

(k1?1.5041;k2?1.5537;k3?1.5487;k4?1.5943)

hyn?1?yn?[?f(xn,yn)??f(xn?1,yn?1)]239、（10分）用二步法求解一阶常微分

?y??f(x,y)?方程初值问题?y(x0)?y0，问：如何选择参数?,?的值，才使该方法的阶数

尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 解：局部截断误差为

hTn?1?y(xn?1)?y(xn)?[?f(xn,y(xn))??f(xn?1,y(xn?1))]2 23hhh?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)?[?y?(xn)??y?(xn?1)]2!3!2 h2h3h?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)??y?(xn)2!3!2hh2??[y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?O(h3)]22!

??h2h3h3?h(1??)y?(xn)?(1??)y??(xn)?(??)y???(xn)?O(h4)222!3!4

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????1???0???3?22???1???0?????1 因此有

5h3y???(xn)局部截断误差主项为12，该方法是2阶的。

40、(10分)已知下列函数表：

xf(x)0 1 1 3 2 9 3 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；

(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）

(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)???(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)48?x3?2x2?x?13 3 01L3(x)?13226294（2）均差表：327 18 6 3 N3(x)?1?2x?2x(x?1)?4x(x?1)(x?2)3

f(1.5)?N3(1.5)?5

?dy??8?3y(x?0)?dx?41、(10分)取步长h?0.2，求解初值问题?y(0)?2，分别用欧拉

预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值。

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解：（1）欧拉预报-校正法：

(0)?yn?1?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4yn??yn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn

（2）经典四阶龙格-库塔法：

0.2?y?y?(k?2k2?2k3?k4)n?n?161??k1?8?3yn?k?8?3(y?0.1k)n1?2?k3?8?3(yn?0.1k2)??k4?8?3(yn?0.2k3)

y(0.2)?y1?2.28

y(0.2)?y1?2.3004

42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算

?积分

201dx21?2x的近似值（保留4位小数）。

f(x)?11?2x2

解：5个点对应的函数值

xi f(xi) 0 1 0.5 1 1.5 2 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111 -----------------------------------

-----------------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

T4?0.5[1?2?(0.666667?0.333333?0.181818)?0.111111]2

(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

1S2?[1?4?(0.666667?0.181818)?2?0.333333?0.111111]6 ?0.861953

25 / 27

?0.868687

43、(10分)已知方程组Ax?b，其中

?211??1???1?A??121b????????112??，?1??

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。

解：（1）Jacobi迭代法：

(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k)?x(k))/212?3

120121?2??1?2??0???

??0?1B?D?1(L?U)???2??1??2Jacobi迭代矩阵：

?(B)?1 收敛性不能确定

（2）Gauss-Seidel迭代法：

(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k?1)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k?1)?x(k?1))/212?3

1?0?2?1G?(D?L)?1U??0??4??0?1?8?Gauss-Seidel迭代矩阵：1?2??1?2??1??8??

?(B)??5?7i1??1168 该迭代法收敛

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?dy??f(x,y)(c?x?d)?dx?44、(10分) 求参数a,b，使得计算初值问题?y(x0)?y0的二步

数值方法yn?1?yn?h[af(xn,yn)?bf(xn?1,yn?1)]

的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。

h2h3y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)2!3!解：

h2?y(xn)?ahy?(xn)?bh(y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?O(h4))2! 3bh?y(xn)?(a?b)hy?(xn)?bh2y??(xn)?hy???(xn)?O(h4))2

?a?b?1?31?1a?,b???b??22时， 2，即所以当?bh3yn?1?y(xn?1)?y???(xn)?O(h4)?O(h3)2局部截断误差为

h3yn?1?y(xn?1)??y???(xn)4局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。

yn?1?y(xn)?h(ay?(xn)?by?(xn?1))

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