高考中档大题规范练(四)
——概率与统计
(推荐时间：70分钟)
1．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)．
其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 102其平均数为x甲＝＝；
153
2
方差为s甲＝
21??2?22
1－×10＋?0－?2×5?＝.
3??3??915??
乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 93
其平均数为x乙＝＝；
155
2
方差为s乙＝
31??3?26
1－×9＋?0－?2×6?＝.
5??5??2515??
2
因为x甲>x乙，s2甲 所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记事件E＝{恰有一组研发成功}． 在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)共7个． 7故事件E发生的频率为. 15将频率视为概率， 7 则得所求概率为P(E)＝. 157 即恰有一组研发成功的概率为. 15 2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数． (1)求点P(x，y)在直线y＝x－2上的概率； (2)求点P(x，y)满足y2<2x的概率． 解 每枚骰子出现的点数都有6种情况， 所以基本事件总数为6×6＝36(个)． (1)记“点P(x，y)在直线y＝x－2上”为事件A， 则事件A有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)， 41 所以P(A)＝＝. 369 (2)记“点P(x，y)满足y2<2x”为事件B， 则事件B有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， 121 所以P(B)＝＝. 363 23 3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互 34之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？ 解 (1)甲至少一次未击中目标的概率为 P1＝P1(1)＋P1(2)＋P1(3)＋P1(4) 2165 ＝1－P1(0)＝1－()4()0＝. 3381(2)甲射击4次恰击中2次的概率为 822212 P2＝C4()()＝， 3327 乙射击4次恰击中3次的概率为 273331P3＝C4()×＝， 4464由乘法公式，所求概率 8271 P＝P2·P3＝×＝. 27648 (3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为 31321345P＝()3()2＋C1()()＝. 2 44441 024 4．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 南方学生 北方学生 合计 喜欢甜品 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附： P(2≥k) 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 k 解 (1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 2 n?n11n22－n12n21?2100×?60×10－20×10?2＝＝ n1＋n2＋n＋1n＋270×30×80×20 ＝ 100 ≈4.762. 21 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2；bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的． 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 7事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝. 10 5．某市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸 福全市”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表： 幸福级别 幸福指数(分) 人数(个) 非常幸福 90 19 幸福 60 21 不知道 30 7 不幸福 0 3 (1)求这50位市民幸福指数的数学期望(即平均值)． (2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民的人数，求ξ的分布列． (3)从这50位市民中，先随机选一个人，记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n 1 解 (1)记E(X)表示这50位市民幸福指数的数学期望，则E(X)＝(90×19＋60×21＋30×7 50＋0×3)＝63.6. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3. 40131 P(ξ＝0)＝C0； 3()()＝55125411212P(ξ＝1)＝C1； 3()()＝55125421148P(ξ＝2)＝C2； 3()()＝55125431064P(ξ＝3)＝C3. 3()()＝55125所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 1 12 1252 48 1253 64 125(3)基本事件的总数为A250＝2 450， 满足条件n 1①满足m＝0时，n＝0,30的事件数为：A13A9， 1②满足m＝30时，n＝0,30,60的事件数为：A17A30，③满足m＝60时，n＝0,30,60,90的事件1数为：A121A49 1④满足m＝90时，n＝0,30,60,90的事件数为：A119A49， 1111111 A13A9＋A7A30＋A21A49＋A19A49所以P＝ A250 ＝ 3×9＋7×30＋21×49＋19×492 197 ＝. 2 45050×49 6．(2014·江苏)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完 全相同． (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P. (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的 个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数．求X的分布列和数学期望E(X)． 解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球， 22 C254＋C3＋C26＋3＋1 所以P＝＝＝， 2C93618 5 即取出的2个球颜色相同的概率为. 18(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4. {X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”， C414故P{X＝4}＝4＝； C9126 {X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”， 131C320＋6134C5＋C3C6 故P(X＝3)＝＝＝； 4C912663 13111 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝. 6312614所以随机变量X的分布列如下表 X P 因此随机变量X的数学期望 1113120 E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 14631269 2 11 143 13 634 1 126