小学奥数讲座（一）
2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：1+2+3+?+（n-2）+（n-1）+n=3.平方差公式：a-b=（a+b）×（a-b）。 【典型问题】 1.已知a=
2?3?111??1992
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1×n×（n+1）×（2n+1）。 6，b=
2?3?111??199?110012?13?1A197?1198?A，试比较a、b的大小。
【分析与解】a=
2?3?111??198?，b=，其中A=99，B=99+
11111，因为A＜B，所以98+＞98+，100AB??98?1B13?4???11198?1A13?4???11198?1B97+
1198?A＜97+
1198?B，96+＞96+
97?11198?B，??，2+＞2+，
所以有a＜b。 【2】试求
2?3?4???111112013+
1?1?3?11114???1的和？
112013【分析与解】记x=
3?4?11??12013，则题目所要求的等式可写为：
1+2?x111?1?x，而
1+2?x11?11?x=
11?x+=1，所以原式的和为1。 2?x2?x【评注】上面补充的两例中体现了递推和整体思想。 【3】试求1+2+3+4+?+97+98+99+100的值？
【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，（首项+末项）×项数÷2=（1+100）×100÷2=5050。 方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+?97+98+99+100 100+99+98+97+96+?4+3+2+1，
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为10l×100÷2=5050。 方法三：整数裂项（重点）
1+2+3+4+?4+100=（1×2+2×2+3×2+4×2+?+100×2）÷2
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小学奥数讲座（一）
=[1×2+2×（3-1）+4×（5-3）+?+100×（101-99）]÷2
=（1×2+2×3-1×2+3×4-2×3+4×5-3×4+?+100×101-99×100）÷2=100×101÷2=5050。 【4】试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100。 【分析与解】方法一：整数裂项
l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100=（1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+?+99×100×3）÷3=[1×2×3+2×3×（4-1）+3×4×（5-2）+4×5×（6-3）+5×6×（7-4）+?+99×100×（101-98）]÷3=99×100×101÷3=33×101×100=3333×100=333300 方法二：利用平方差公式1+2+3+4+?+n=
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n?（n?1）?（2n?1），
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l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100=1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+?+99+99 =1+2+3+4+5+?+99+1+2+3+4+5+?+99=
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99?100?19999?100+=328350+4950=333300。
26【5】计算下列式子的值：0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0。
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算，即
先计算1×3+2?4+3×5+4?6+?+97?99+98×100，再除以100。
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法。 0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0 =（1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×100）÷100
=[（l×2+1）+（2×3+2）+（3×4+3）+（4×5+4）+?+（97×98+97）+（98×99+98）]÷100 =[（1×2+2×3+3×4+4×5+?+97×98+98×99）+（1+2+3+4+?+97+98）]÷100 =（×98×99×100+×98×99）÷100=3234+48.51=3282.51 方法二：可以使用平方差公式进行计算。
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8×10.0 =（1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×l00）÷100 =（1-1+2-1+3-1+4-1+5-1+?+99-1）÷100 =（1+2+3+4+5+?+99-99）÷100 =（
1×99×100×199-99）÷100 61
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1312=16.5×199-0.99=16.5×200-16.5-0.99=3282.51
【评注】首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的。下面简单介绍一下整数裂项。
1×2+2×3+3×4+?+（n-1）×n=×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+?+（n-1）×n×3]=×{1×2×3+2×3×（4-1）+3×4×（5-2）+?+（n-1）×n[n+1-（n-2）]}=×[1×2×3-2×3×1+2×3×4-3×4×5+?-（n-1）×n×（n-2）+（n-1）×n×（n+1）]=×（n-1）×n×（n+1） 【6】计算下列式子的值：24×（【分析与解】虽然很容易看出
111111++?+）-（2+22+?+22）。 2?34?520?2111?21?2???10213131313111111111=-，=-，=-，可是再仔细一看，并没有什么2?3234?545n?（n?1）nn?1效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项。我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式
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小学奥数讲座（一）
1+2+3+?+n=
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116×n×（n+1）×（2n+1），于是我们又有22=。 26n?（n?1）?（2n?1）1?2?···?n减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？ 24×（
111111++?+）-（2+22+?+22） 2?34?520?2111?21?2???102111111++?+）-6×（++?+） 2?34?520?211?2?32?3?510?11?21111111++?+）-24×（++?+） 2?34?520?212?4?34?6?520?22?21111111-）+（-）+?+（-）]
2?32?4?34?54?6?520?2120?22?21=24×（=24×（
=24×[（=24×（
111111160++?+）=6×（++?+）=6×（1-）=
1?22?311112?44?620?2210?11111111112++?+++）+（+++?23234201320112013201220132013【7】计算下列式子的值：（1++（+
11111111122
++）+（+++?+++）+?+
34520132011201320122013201320132011201320122013201311111111222
++）+（+）+（）+（1+++?
23201320112013201220132013201320122013201320132013111++）
201320112013201220132013【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律。
显然1+1=2；（1+）+（）+（1+）=4；（1++）+（+）+（）+（1++）=6； （1+++
12131211111212111）+（++）2+（+）+（）+（1+++）=8；?? 423434423412111111111122+?+++）+（+++?+++）+32342013201120132012201320132013201120132012201320132
122
122
1212132
12132
132
1213所以，（1++（（
11111111122
+++?+++）+?+（++）+3452013201120132012201320132013201120132012201320131111111122
+）+（）+（1+++?+++）=20132013×
232013201220132013201320132013201120132012201320132=40264026。 【习题】
计算17×18+18×19+19×20+?+29×30的值。
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式。 答案：（29×30×31-16×17×18）÷3=29×10×31-16×17×6=7358。
第3讲 多位数的运算
【内容概述】
多位数的运算，涉及利用999···999???????=10-1，提出公因数，递推等方法求解问题。
k个9k
【典型问题】
一、999···999???????=10-1的运用
k个9k
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在多位数运算中，我们往往运用999···999???????=10-1来转化问题；如：333···333???????×59049。
k个92013个3k
我们把3转÷×3?3?··333化为99?9?··9993，于是33?3?··33359049=（999···999???·?????·?????·?????????÷3）×
2013个32013个92013个32013个959049=999···999???????×59049÷3=（1000···000???????-1）×19683=19683×1000···000???????-19683
2013个92013个02013个0=19683000···000???????-19683=19682999···999???????80317
2013个02008个9【1】计算666···666???????×9×333···333???????的乘积是多少？
2009个62013个3k
【分析与解】我们可以把666···666???????或333···333???????改写成999···999???????=10-1的形式，但是为了简便计算
2009个62013个3k个9多位数的减法，我们改写这个多位数。
666···66600···000???????×9×333···333???????=333···333???????×2×3×999···999???????=1999···999???????8×（10???????-1）
2009个62013个32009个32013个92008个92013个0=1999···999???????8×1000···000???????-1999···999???????8=1999···999???????8 ???????8000···000???????-1999···9992008个92013个02008个92008个92013个02008个9=1999···999???????79998000···000???????2。
2008个92008个0【2】计算111···111???????-222···222???????=A×A，求A。
2014个11007个2【分析与解】此题的显著特征是式子都含有111···111???????，从而找出突破口。
n个1111···111???????-222···222???????=111···111???????000···000???????-111···111???????=111···111???????×（1000···000???????-1）
2014个11007个21007个11007个01007个11007个12
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1007个0=111···111???????×999···999???????=111···111???????×111···111???????×3×3=（111···111???????×3）=A。
1007个11007个91007个11007个11007个1所以，A=333···333???????。
1007个3【3】计算666···666???????×666···666???????×25的乘积数字和是多少？
2014个62013个6【分析与解】我们还是利用999···999???????=1000···000???????-1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成
k个9k个0999···999???????，于是我们就创造条件使用：
k个9666···666???????×666···666???????×25=（6×111···111???????）×（6×111···111???????）×25
2014个62013个62014个12013个1=4×111···111???????×9×111···111???????×25=111···111???????×999···999???????×100
2014个12013个12013个12014个9=111···111???????×（1000···000???????-1）×100=（111···111???????000···000???????-111···111???????）×100
2013个12014个02013个12014个02013个1=111···111???????09888···888???????900
2012个12012个8 第8页