小学奥数讲座（一） 第1讲 计算综合（一）

【内容概述】

繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题。 1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”。找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母。

2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数，所以需将带分数化为假分数。 3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观。 4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可。 【典型问题】

711?4?26?27 【1】计算：18135813?3?34167117123?4??26?27=46?27=12?23=417 【分析与解】1813548131?128812813?3?341633【2】计算：1?1?111?12013

【分析与解】1?1?111?12013=1?201220131=1-=

2013402540251?2012【3】已知

1?112?1x?14=

8，则x等于多少？ 11【分析与解】方法一：

1?112?1x?14=1?112?44x?1=

8x?681==，交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1.25。 4x?112x?7111?8x?6方法二：有1+

2?11x?14=

113=1+，所以2+881x?14=

8213=2+；所以x+=，那么x=1.25。 3342 第1页

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【4】求4、43、4443、44443、4444443、4444443、44444443、444444443、4444444443这10个数的和。 【分析与解】方法一：4+43+443+4443+44443+444443+4444443+44444443+444444443+4444444443

=4+（44-1）+（444-1）+（4444-1）+（44444-1）+（444444-1）+（4444444-1）+（44444444-1）+（444444444-1）+（4444444444-1）=4+44+444+4444+44444+444444+4444444+44444444+444444444+4444444444-9 ==

4×（9+99+999++9999+99999+999999+9999999+99999999+999999999+9999999999）-9 94×[（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）+（1000000-1）+（10000000-1）+（100000000-1）94×11111111100-9=4938271591。 9+（1000000000-1）+（10000000000-1）]-9=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为3×9+4=31；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36+3=39；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32+3=35；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28+3=31；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24+3=27；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20+2=22；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16+2=18；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12+1=13；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为8+1=9；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4。所以，这10个数的和为4938271591。

5.如图，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？

【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：3×（=1+0.75+1.8+2.625=6.175=67 4011++0.6+0.875）34【6】我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.5○2.9=2.9○3.5=3.5。符号“△”表示

23155）?（○0.4）33384选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9。请计算： 1235（○0.3）?（△2.25）3104（0.625△23155155）?（○0.4）0.625?33384384=5×155÷27=25 【分析与解】=12351838412256（○0.3）?（△2.25）?2.2531043（0.625△【7】规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，（5）=4×5×6，（10）=9×10×11，?如果那么□应填的数是多少？ 【分析与解】□=（【8】从和式+

12116?17?18111（17）-）÷=-1=-1=。

5（16）（17）（17）（16）15?16?17111-=×□，

（16）（17）（17）11111++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1？ 4681012第2页

小学奥数讲座（一）

【分析与解】因为

111111111+=，所以、、、的和为l，因此应去掉与。 612424612810【9】如图排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如

1.892915929。那么在所有这种数中。最大的一个是多少？

【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918??较大，于是最大的为9.291892915。 【10】请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”。 【分析与解】有

114111111+=，+=，+=。 6101510156351410.

.

评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢？ 注意到

11a?c11a?c1+=，当a+c=b时，有+==。 a?bc?ba?b?ca?bc?ba?b?ca?c当a、b、c两两互质时，显然满足题意。

显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，

那么有2+c=b，显然b、c为一对孪生质数。 即可得出一般公式：【11】计算：（1-【分析与解】（1-=

111+=，c与c+2均为质数即可。

2?（c?2）c?（c?2）2?c111）×（1-）×?×（1-）

2?23?310?10111（2?1）?（2?1）（3?1）?（3?1）（10?1）?（10?1））×（1-）×?×（1-）=××?× 2?23?310?102?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?111?1111==。

2?2?3?3?4?4?5?5?6?6?7?7?8?8?9?9?10?102?102011?66?12?67?13?68?14?69?15?70×100。问a的整数部分是多少？

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?66?12?67?13?68?14?69?15?70×100

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69【12】已知a=

【分析与解】a==

11?（65?1）?12?（66?1）?13?（67?1）?14?（68?1）?15?（69?1）×100

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?1511?12?13?14?15）×100=100+×100。

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?65?12?66?13?67?14?68?15?6910011?12?13?14?1511?12?13?14?15×100＜×100=，所以a＜

65（11?12?13?14?15）?6511?65?12?66?13?67?14?68?15?69=（1+因为100+

10035=101。 656510011?12?13?14?1511?12?13?14?15×100＞×100=，所以a＞

69（11?12?13?14?15）?6911?65?12?66?13?67?14?68?15?69同时100+

10031=101。 6969第3页

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综上有1013135＜a＜101，所以a的整数部分为101。 6965359597991××?×××与相比，哪个更大，为什么？ 46969810010123595979924696981001××?×××=A，×××?×××=B，有A×B=46969810035797991012【13】问×

12【分析与解】方法一：令××

3595979924696981001××?×××××××?×××=。 4696981003579799101101而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A， 有A×A＜A×B=即×

121111111＜=×，所以有A×A＜×，那么A＜。 10110010101010103595979911××?×××与相比，更大。 469698100101012359597993595979913521××?×××，则A=×××?×××××××?×4696981002469698100246方法二：设A=×

9597991?1?3?3?5?5?···?95?95?97?97?99?99××=，显然有： 96981002?2?4?4?6?6?···?96?96?98?98?100?100A×100=

2

1?1?3?3?5?5?···?95?95?97?97?99?991?3?3?5?5?···?95?95?97?97?99?99?100×100=，

2?2?4?4?6?6?···?96?96?98?98?100?1002?2?4?4?6?6?···?96?96?98?98?100?1001?33?55?795?9797?99199?10022

、、、?、、、都是小于1的，所以有A×100＜1，于是A＜，即A2?24?46?696?9698?98100100?100＜

1。 10【14】下面是两个1989位整数相乘：111??111??111????×111????。问：乘积的各位数字之和是多少？

1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变。因为111??111??111????能被9整除，所以将一个111????乘以9，

1989个11989个1另一个除以9，使原算式变成：

999??999??000?0123456789?0123456789????×1234567890?????????????=（1000????-1）×1234567890?????????????

1989个91988位数1989个01988位数=1234567890??000?0123456789?0123456789?????????????000????-1234567890?????????????

1988位数1989个01988位数=1234567890?0123456789??9876543209?????????????123456789876543209????????????87654321。

1988位数1980位数得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×220+（9+8+7+6+5+4+3+2）×220+（1+2+3+4+5+6+7+8）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=17901。 评注：111111111÷9=12345679；

M×999，可以利用上面性质较快地获得结果。 ??999??999????的数字和为9×k（其中M≤999????）

k个9k个9第2讲 计算综合（二）

【内容概述】

本讲主要是补充[计算综合（I）]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算. 1.n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]÷3；

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