27?3?P(ξ＝3)＝??＝，

?5?125

3

ξ的分布列为

ξ P 考点四 正态分布

【例4】 (1)(2018·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝( ) A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

2

0 8 1251 36 1252 54 1253 27 125(2)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线

C为正态分布N(－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ

2

P(μ－2σ

A.1 193

B.1 359

C.2 718

2

D.3 413

解析 (1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，μ＝2，得对称轴为x＝2，P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6.

(2)对于正态分布N(－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影11

部分的面积为×[P(－3

22

σ

＝＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.

1答案 (1)A (2)B

规律方法 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，

12

σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋

3σ)中的哪一个.

(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).

【训练4】 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，3)，从中随机取一

2

9

件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2

2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)( ) A.4.56% B.13.59% C.27.18%

D.31.74%

解析 依题设，X～N(0，32

)，其中μ＝0，σ＝3. ∴P(－3

2[P(－6

＝1

2(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9＝13.59%. 答案 B

10

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是( ) 14A. 25

B.12 25

3C. 4

3D. 5

47

解析 因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝，P(乙)＝，

5104714

所以他们都中靶的概率是×＝. 51025答案 A

2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45

解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝答案 A

3.(2018·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) 1A. 8

3B. 8

3

5 C. 8

7 D. 8

P（AB）0.6

＝＝0.8.

P（A）0.75

17?1?1

解析 三次均反面朝上的概率是??＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.

88?2?8答案 D

4.设随机变量X服从正态分布N(1，σ)，则函数f(x)＝x＋2x＋X不存在零点的概率为( ) 1

A. 4

1B. 3

2

2

2

1C. 22 D. 3

2

解析 ∵函数f(x)＝x＋2x＋X不存在零点，∴Δ＝4－4X<0，∴X>1，∵X～N(1，σ)，∴

P(X>1)＝，故选C.

答案 C

11

12

5.(2017·上饶模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在19任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，

840则p＝( ) 1

A. 10

B.2 15

1C. 6

1 D. 5

19?1?解析 由题意得(1－p)＋?1－?p＝， 8?8?402

∴p＝，故选B.

15答案 B 二、填空题

6.(2018·福州模拟)若随机变量X～N(μ，σ)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2

5－1

解析 ∵P(X>5)＝P(X<－1)，∴μ＝＝2，

211

∴P(2

22答案 0.3

7.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

解析 设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗). 依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.

根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72

8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，1

且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的

3人数，则P(X＝4)＝________.

解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～

2

B?5，?，

3

??

1?

?

?1??2?即有P(X＝k)＝C5??×???3??3?

kk5－k，k＝0，1，2，3，4，5.

12