(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
n（AB）
.
n（A）
【训练1】 (2018·包头调研)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) 3A. 5
5B. 9
1 C. 10
2 D. 5
3
解析 第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝，
5C61
第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝2＝，
C1031
P（AB）35
∴P(B|A)＝＝＝. P（A）39
5答案 B
考点二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 (2018·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率23
分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
35(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
2
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P(E)
3132
＝，P(F)＝，P(F)＝，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立. 355(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F， 122于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，
3515
213
故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝. 1515
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(EF)1221331＝×＝，P(X＝100)＝P(EF)＝×＝＝， 3 51535155
2
P(X＝120)＝P(EF)＝×＝， P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝.
5
22
352335
415615
25
故所求的分布列为
X P 0 2 15100 1 5120 4 15220 2 5规律方法 (1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算. (2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【训练2】 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
解析 记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128. 答案 0.128
考点三 独立重复试验与二项分布(易错警示)
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
6
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
X服从超几何分布.①
C2863
P(X＝0)＝2＝，
C40130C12C2828
P(X＝1)＝2＝，
C4065C1211
P(X＝2)＝2＝，
C40130∴X的分布列为
21
12
X P 0 63 1301 28 652 11 130123＝. 4010
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件3??数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B?2，?，②
?10?3??P(Y＝k)＝C2?1－??10?
k2－k3k??， ?10???
2
49?7?所以P(Y＝0)＝C·??＝，
?10?100
02
P(Y＝1)＝C1·＝， 2·
9?3?P(Y＝2)＝C·??＝. ?10?100
22
3107211050
2
∴Y的分布列为
Y P 0 49 1001 21 502 9 100规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是
7
一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
易错警示 1.对于①，超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取，各次抽取不独立，而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取，各次抽取是独立的，故①处不要误作二项分布来处理；对于②，当超几何分布所对应的总体数量很大时，可近似为二项分布来处理，这一点不易想到.
2.这两个分布列的期望是相等的，请思考这是否是巧合呢？
【训练3】 (2018·河北“五个一”名校联盟二模)空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.
解 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4， 63∴该样本中空气质量为优良的频率为＝，
105
3
从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.
53
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，
5
ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B?3，?.
8?2?∴P(ξ＝0)＝??＝，
?5?12536?3??2?P(ξ＝1)＝C????＝，
?5??5?125
13
??
3?5?
3
2
?3?P(ξ＝2)＝C???5?
23
22
??＝54， ?5?125??
8