1.用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( ) 个 个 个 个 答案 B 解析
利用树状图考察四个数位上填充数字的情况,如:
2
?1
??3 ?2?31??2 1?
21??3 ?3?1
2 ???3
????????????????????
,共可确定8个四位数,但其中不符合要求的有2
个,所以所确定的四位数应有18个,故选B.
2.某学习小组男女生共8人,现从男生中选2人,女生中选1人,分别去做3种不同的工作,共有90种不同的选法,则男,女生人数为( ) ,6 ,5 ,3 ,2 答案 B
解析 设男生人数为n,则女生人数为8-n,由题意可知CnC8-nA3=90,即CnC8-n=15,解得
21
3
21
n=3,所以男,女生人数为3,5,故选B.
3.将甲,乙等5位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( ) 种 种 种 种 答案 A
解析 先将5个人分成三组,(3,1,1)或(1,2,2),分组方法有C+C将三组全排列有A3=6(种),故总的方法数有25×6=150(种).
4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班1位班主任),要求这3位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有( ) 种 种 种 种
3
3
5
221425
CC
=25(种),再2
答案 B
解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有,所以共有两种情况,1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有C5C4A3=180(种)不同的选派方法,若选出的3位教师是2男1女则共有C5C4A3=240(种)不同的选派方法,所以共有180+240=420(种)不同的方案,故选B.
213
123
a71
5.若二项式(2x+)的展开式中3的系数是84,则实数a等于( )
xx 答案 C
解析 二项式(2x+)的通项公式为Tk+1=C7(2x)
1
ax7k7-k()=C72
axkk7-kk7-2kax,令7-2k=-3,得
25
k=5.故展开式中3的系数是C572a=84,解得a=1.
x6.(x-1)-4x(x-1)+6x(x-1)-4x(x-1)+x等于( ) A.-1 C.(2x-1) D.(1-2x) 答案 B
解析 (x-1)-4x(x-1)+6x(x-1)-4x(x-1)+x=((x-1)-x)=1.
7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲乙中两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( ) 种 种 种 种 答案 C
解析 A7-A5=720(种).
8.如图,花坛内有5个花池,有5种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种一种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案的种数为( )
4
44
3
2
2
3
4
4
4
5
432234
答案 D
解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉,方法有A5种,若5个花池栽了4种颜色的花卉,则2,4两个花池栽同一种颜色的花,或3,5两个花池栽同一种颜色的花,方法有2A5种;若5
4
5
个花池栽了3种颜色的花卉,方法有A5种,所以最多有A5+2A5+A5=420(种).
152a9.(x+)的各项系数和是1 024,则由曲线y=x和y=x围成的封闭图形的面积为______.
3543
ax答案
5
12
2
y=x??1515
1解析 设x=1,则各项系数和为(1+)=1 024=4,所以a=,联立?
a3
??y=x32
可得交
点坐标分别为(0,0),(1,1),所以曲线y=x和y=x围成的封闭图形的面积为?1(x-
1313?0
?341??x)dx=?x3-x3??
3??0?4
2
1
315
=-=. 4312
10.圆上有10个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为______. 答案 120
解析 圆上任意三点都不共线, 因此有三角形C10=120(个).
11.一排共有9个座位,现有3人就坐,若他们每两人都不能相邻,每人左右都有空座,而且至多有两个空座,则不同坐法共有________种. 答案 36
解析 可先考虑3人已经就座,共有A3=6(种),再考虑剩余的6个空位怎么排放,根据要求可产生把6个空位分为1,1,2,2,放置在由已经坐定的3人产生的4个空中,共有C4=6,所以不同的坐法共有6×6=36(种).
12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有________种. 答案 24
解析 先把甲、乙捆绑在一起有A2种情况,然后对甲、乙整体和戊进行排列,有A2种情况,这样产生了三个空位,插入丙、丁,有A3种情况,所以着舰方法共有A2A2A3=2×2×6=24(种). 13.实验员进行一项实验,先后要实施5个程序(A,B,C,D,E),其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序C或D在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有______种. 答案 24
解析 依题意,当A在第一步时,共有A2A3=12(种);当A在最后一步时,共有A2A3=12(种).
23
23
2
222
2
2
2
3
3
所以实验的编排方法共有24种.
14.用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数,满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为________. 答案 288
解析 从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有A3=6(种),先排3个奇数,有A3=6(种),形成了4个空,将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中,方法有A4=12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432(种).若1排在两端,1的排法有A2A2=4(种),形成了3个空,将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中,方法有A3=6(种),根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144(种),故满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为432-144=288(种).
212
23
2
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
典例精析
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 在1到20这20个整数中,任取两个数相加,使其和大于20,共有 种取
法.
【解析】当一个加数是1时,另一个加数只能是20,有1种取法; 当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,有2种取法; 当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,有3种取法; ……
当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,19,20,有10种取法; 当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,19,20,有9种取法; ……
当一个加数是19时,另一个加数只能是20,有1种取法.
由分类加法计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法. 【点拨】采用列举法分类,先确定一个加数,再利用“和大于20”确定另一个加数. 【变式训练1】(2010济南市模拟)从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )