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图2-2所示。若某人意外接受一笔财产，则其预算约束向外平行移动，因而与效用更高的无差异曲线相切。切点的位置和切点上的斜率有关。切点不同，则可能导致其或者增加工作时间或者减少工作时间，这从根本上说取决于其工资多少及无差异曲线的形状。
图2-2 消费者的收入—闲暇约束线
如图2-2所示，最初的无差异曲线与约束线切于A点，此时他选择的闲暇量为R0。当意外接受一笔财产而使得约束线向外移动以后，代表更高效用水平的无差异曲线则可能是u1（此时闲暇量为R1，即闲暇时间增加，而劳动时间减少了），也可能是u2（此时闲暇量为R2，即闲暇时间减少，而劳动时间增加了）。究竟新的均衡点是B点还是C点，取决于约束线的斜率和无差异曲线的形状。
4．如果你有一辆需要四个轮子才能开动的车子有了三个轮子，那么当你有第四个轮子时，这第四个轮子的边际效用似乎超过第三个轮子的边际效用，这是不是违反了边际效用递减规律呢？
答：不违背边际效用递减规律。
因为边际效用指物品的消费量每增加（或减少）一个单位所增加（或减少）的总效用的量。这里的“单位”指一完整的商品单位，这种完整的商品单位，是边际效用递减规律有效性的前提。比如，这个定律适用于一双鞋子，但不适用于单只鞋子。对于四轮车而言，必须是有四个轮子的车才成为一单位。三个轮子不能构成一辆四轮车，因而每个轮子都不是一个有效用的物品，增加一个轮子才能使车子有用。因此，不能说第四个轮子的边际效用超过第三个轮子。
5．一个风险回避者有机会在以下两者之间选择，在一次赌博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他不赌可以得到325美元，他会怎样选择？如果他得到的是320美元，他会怎样选择？
答：该消费者现在在无风险条件下（即不赌博条件下）可以持有的确定的货币财富是325美元，而在风险条件下即进行赌博的财富的期望值也是325美元（0.25?1000?0.75?100），由于他是风险回避者，他认为持有一笔确定的货币财富的效用大于在风险条件下赌博的期望效用，因而他会选择不赌博。
如果他得到的是320美元，他是否会选择赌博，取决于他的效用函数的形式。如果他是风险回避者，他可能会也可能不会选择赌博；如果他是风险爱好者，他会选择赌博。如果他是风险中立者，他也会选择赌博，因为风险中立者关心的是货币期望值极大，而不管风险多大，显然，在325?320的情况下，他会选择赌博。
6．指出下列期望效用函数所代表的风险偏好类型（风险规避、风险中性还是风险偏爱）：（1）u?100?3c；（2）u?lnc；（3）u?c2；（4）u?ac?bc2（a,b?0）。这里c代表消费。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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答：由于消费者对风险的偏好完全可以由期望效用函数推得，通过直接考察效用函数的
u/?c2?0，则为风二阶导数便可以确定。如果效用函数关于消费量的二阶导数大于0，即?2u/?c2?0，则代表风险中立者的效用函数；小于0，即险爱好者的效用函数；等于０，即?2?2u/?c2?0，则代表风险规避者的效用函数。
u/?c2?0，u代表风险中性偏好； （1）?u/?c?3，?2u/?c2??1/c2?0，u代表风险规避偏好； （2）?u/?c?1/c，?2u/?c2?2?0，u代表风险偏爱偏好； （3）?u/?c?2c，?2u/?c2??2b?0，u代表风险规避偏好。 （4）?u/?c?a?2bc，?2
7．试比较基数效用论与序数效用论两派观点的异同。
答：效用是商品和劳务给消费者带来的满足程度，对于效用是否可加的争论产生了两种既相互区别又紧密联系的理论：基数效用论和序数效用论。对这两种理论的比较如下：
（1）基数效用论和序数效用论的联系 ①都是从市场的需求一方着手，通过推导需求曲线，说明需求曲线上的任一点都表示消费者获得了效用最大化。
②二者都建立在一些相同的假设基础之上，如假设消费者都有一定的收入，其行为都是理性的，都把消费者的行为看作是在既定的收入限制条件下追求最大化效用的过程。
③基数效用论建立在边际效用递减的假设之上，序数效用论也得出了边际替代率递减的结论。它们都以边际效用理论为基础，认为商品的价值或价格是由商品带给消费者的边际效用的大小来决定的。
④它们推导的曲线具有相同的趋势，都符合需求规律，即都得到了一条向右下方倾向的需求曲线。
⑤效用函数的形式基本相同，消费两种商品时的效用函数都可以写作U?U?q1,q2?。并且二者得到的消费者效用最大化的均衡条件有联系，经过适当的数学变换可以得到一样的形式，基数分析与序数分析具有一致性。
（2）基数效用论与序数效用论的区别 ①假设不同。基数效用论假设消费者消费商品所获得的效用是可以度量的，可以用基数（1，2，3，?）表示。每个消费者都可以准确地说出自己所获得的效用值，这样任意两个消费者的消费函数可以比较和加总。边际效用具有递减规律；序数效用论则认为消费所获得的效用只可以进行排序，只可以用序数（第一，第二，第三?）来表示，效用的大小及特征表现在无差异曲线中。
②效用函数形式虽然相同，但含义不同。基数效用论的效用函数指的是可以以基数计量的效用；序数效用论的效用函数则指的是效用指数。
③使用的分析方法不同。基数效用论使用MU即在预算约束下求效用值的最大化作为工具。而序数效用论则使用无差异曲线、预算线作为分析工具。
④均衡条件的表达不同。基数效用论使用表达式为MU／iPi??，即每一单位货币所购买到的任何商品的边际效用相等。序数效用论则表达为MRSxy?MUx／MUy?Px／Py，即两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。
8．两种商品的边际替代率（MRSxy）的含义是什么？为什么它是递减的？
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答：（1）边际替代率是指在维持效用水平不变的条件下，消费者每增加一个单位某种商品的消费数量所必须放弃的另一种商品的消费数量。商品x对商品y的边际替代率为：
MRSxy???y/?x
在保持效用水平不变的条件下，消费者增加一个单位某种商品的消费所带来的效用增加量和相应的另一种商品消费数量减少所带来的效用量必定是相等的，即：?x·MUx??y·MUy，亦即MRSxy???y/?x?MUx/MUy，可见两种商品的边际替代率等于
两种商品的边际效用之比。
（3）边际替代率递减的原因在于，随着商品x消费数量的增加，其所带来的边际效用是递减的，同时，随着y的消费数量的减少，其所带来的边际效用是递增的。因此，随着x消费数量的增加，其所能够替代的y的比例也会越来越少。所以说商品的边际替代率递减是由于消费商品的边际效用递减所造成的。
9．证明无差异曲线互不相交。
证明：用反证法。假设消费者具有满足一般公理（完备性、反身性和传递性）的偏好，且其无差异曲线A和无差异曲线B相交于一点C。其中A和B代表不同效用水平下的无差异商品束集合。
不妨设A代表的效用高于B代表的效用，则对于A上一点D和B上一点E必有D偏好于E；又因为D与C同在A无差异曲线上，可知D无差异于C，依照传递性假设，必有C偏好于E，但C与E又同在无差异曲线B上，必有C无差异于E。引出矛盾，因此，满足一般公理的偏好不会有相交的无差异曲线。
10．如果有一个定义在两商品空间C上的偏好关系满足下列条件：x,y?C，x??x1,x2?，y??y1,y2?，若x1?y1，则x?y，若x1?y1，且x2?y2，则x?y。若x1?y1，x2?y2，则
x?y。这种偏好关系被称为字典排序式的。这种偏好满足完备性、自反性、传递性和连续
性吗？请证明你的判断。
答：字典式偏好显然满足完备性、自反性和传递性，不满足连续性。 现在证明其不满足连续性。
设X中有收敛序列xn?x0，n??，其中x1n递减地趋于x10，另y0??x10,x20?1?则有
xn?y0，?n，也即序列xn,y0??。?n，且xn,y0?x0,y0，当n??时。但y0?x0，
??????，因此?不是X?x,y???，
002中的闭集，从而偏好是不连续的。
11．对于常替代弹性效用函数：u?x1,x2????1x1??2x2?12??1?，证明：
（1）当??0时，该效用函数趋近于u?x1,x2??x１?x2?。 （2）当????时，该效用函数趋近于u?x1,x2??min?x1,x2?。
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?证明：（1）当??0时，此时对效用函数u?x1,x2????1x1??2x2?1?两边变换求极限有：
??ln??1x1???2x2???limu?x1,x2??limexp?lnu?x1,x2???limexp???0??0??0?????
??xlnx1??2x2lnx2?exp?lim11??1x1???2x2???0???????exp??1lnx1??2lnx2??x11x22??1??2?1????（2）当????时，对效用函数u?x1,x2????1x1??2x2?????1?两边变换求极限有：
limu?x1,x2??limexp?lnu?x1,x2?????????ln??1x1???2x2????1x1?lnx1??2x2lnx2??exp?lim?limexp???????????1x1??2x2????????
??最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论： ①当x1?x2时：
???x1???1??lnx1??2lnx2x?limu?x1,x2??exp?lim?2????????????x??1?1???2??x2???????exp?lnx2??x2 ?????x?x上式中倒数第二个等号成立是因为当1?1时，lim?1???。
????xx2?2?②当x1?x2时：
????x2???2??lnx1??1lnx1????x1?limu?x1,x2??exp?lim??exp?lnx1??x1 ???????????x2???????21???x1???当x1?x2时，有u?x??x1?x2?min?x1,x2?。 综上可知：
????limu?x1,x2??min?x1,x2?
三、计算题
1．效用函数为u?x1,x2??min?x2?2x1,x1?2x2?。
（1）当p1/p2为何值的时候，唯一的最优解是x1?0？ （2）当p1/p2为何值的时候，唯一的最优解是x2?0？ 解：令横轴代表x1的消费数量，纵轴代表x2的消费数量。 当x2?2x1?x1?2x2，即x1?x2时，u?x1,x2??x2?2x1；
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