《弹塑性力学》复习提纲

1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？ 研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究

研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。并可用来校核材料力学得出的近似解。 2. 弹性力学有哪些基本假设？ （1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形

变是微小的

3. 弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。

(1)平面问题的平衡微分方程:

平面问题的几何方程：

平面应力问题的物理方程：

(在平面应力问题中的物理方程中将E换为问题的物理方程)

(2)空间问题的平衡微分方程;

，换为就得到平面应变

空间问题的几何方程;

空间问题的物理方程：

4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？

(1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。

(2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。

5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力与平面应变；逆解法与半逆解法。 位移边界条件：若在

部分边界上给定了约束位移分量

=

和，

,则对于此边界=

（在

上的每一点，位移函数u和v和应满足条件上）

应力边界条件：若在

部分边界上给定了面力分量(s)和(s),则可以由边界

上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z

方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：=0 ,=0,=0,注

意到剪应力互等关系，可知=0,=0,这样只剩下平行于xy面的三个应力

分量，即 ， ，它们是x和y的函数，不随z而变化

平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂直于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方向无位移，则任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy面里。 逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程

的应力

函数的Ф，并由式求的应力分

量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。

半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程，求出应力函数的具体表达式；在按式

)由应力函数求的应力分量；

并考察这些应力分量能负满足全部应力边界条件

6. 什么是各向同性体？横观各向同性体？正交各向异性体？极端各向异性体？他们各有多少弹性常数？

弹性对称面：如果在弹性体中存在这么一个平面，该平面两边各点的弹性常数关于它对称，该平面就称为弹性对称面。

各向同性体：如果在弹性体内任意一点沿任意两个方向的弹性性质都相同，则称其为各向同性体。2个弹性常数 横观各向同性体：如果弹性体内存在一个弹性对称面和一个旋转轴，则称其为横观各向同性体。5个弹性常数 正交各向异性体：如果弹性体内存在三个相互正交的弹性对称面，则称其为正交各向异性体。 9个弹性常数

极端各向异性体：如果在弹性体内任意一点沿任意两个方向的弹性性质都相同，则称其为各向同性体。21个弹性常数

7. 什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？应力函数与应力分量

间的关系？如何求解双谐方程？

称为平面问题的应力函数。

是用应力函数表示的相容方程。

8. 由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？ 可以获得诸如：受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解

首先由逆解法或半逆解法求出相应的应力函数表达式，再根据应力函数求出相应的应力分量，再根据本构方程求得应变，然后再由几何方程求得位移。

9. 由弹性力学所获得的受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解答，与材料力学所得到的解答有哪些共同之处和哪些不同之处？由此可以说明哪些问题？ 在弯应力

的表达式中，第一项是主要项，和材料力学的解答相同，第二项

则是弹性力学提出的修正项，对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计，对于较深的梁，则必须注意修正项。

弹性力学和材料力学解答的差别，是由于各自的解法不同。简而言之，弹性力学的解答是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程，物理方程，以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是较精确的。而在材料力学的解法中，没严格考虑上述条件，因而得出的解答时近似的。一般来说，材料力学的解法只适用解决杆状构件的问题，这时他它的解答具有足够的精度，对于非杆状构件的问题，不能用材料力学的解法来求解，只能用弹性力学的解法来求解。

9. 如何推导出极坐标下弹性力学的基本方程？极坐标下弹性力学的基本方程与直角坐标下的方程有哪些区别？ 只需将角码x和y分别换成为

。区别：在直角坐标系中，xy都是直线，

有固定的方向，xy坐标的量纲都是L，在极坐标中在不同的点有不同的

方向，坐标线是直线，量纲是L，是圆弧曲线，坐标为量纲一的量，这些都引起弹性力学基本方程的差异。

10. 极坐标下弹性力学基本方程的通解可以解答哪些问题？受均布压力的圆环、带圆孔的无限大板、半平面体在边界上受集中力、对径受压的圆盘，以及布辛捏斯克解，是如何获得的？这些解答可以解决哪些工程问题？

极坐标下弹性力学基本方程的通解可以解答由径向线和圆弧线围成的例如圆环、圆形、扇形等弹性体受力后的应力、应变及位移问题。 解答获得：先由轴对称条件简化相应的应力函数求得相应的应力分量表达式，在联立简化后的相容方程，求出应力函数和应力分量的具体表达式，再根据各模型的特殊边界条件，求得最终解答。

可以解决的工程问题：隧洞开挖问题、地基沉降问题等

11. 什么是解析函数？复变函数的积分与实函数的积分有哪些共同之处和哪些不同之处？泰勒级数与罗伦级数有哪些共同之处和哪些不同之处？什么是保角映射？什么条件下一个映射是保角映射？ 若函数

在点

的某个领域

内可导，则称它在点

解析。

复积分的基本思想是在一元实函数积分中，把实函数换成复函数，把实轴上

的积分区间换成复平面内逐段光滑的有向曲线，偏得到复函数积分

凡在某区域内处处具有保角性和伸缩率不变形的映射都称为第一类保角映射 对于相交于

的任意两条有向曲线，其夹角大小和方向经过

映射后

都保持不变，这时，称映射在点具有保角性。

14. 空间（3维）问题弹性力学的基本方程与平面（2维）问题的基本方程有哪些区别？

空间（3维）问题弹性力学的基本方程中含有15个未知函数：6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。

平面（2维）问题的基本方程中只含有8个未知函数：3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。

15. 什么是轴对称问题？轴对称问题有哪些特点？轴对称问题弹性力学的基本方程与空间问题相比有哪些不同之处？

所谓轴对称：是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。 相对于非轴对称，轴对称问题的求解过程更为简单，也有希望得到有实际意义的解。

轴对称问题弹性力学的基本方程与空间问题相比，轴对称的方程更为简单。

16. 什么塑性？塑性力学研究的内容与弹性力学有哪些不同？为什么在塑性状态下应力与应变间不再有一一对应关系？塑性力学的特点和基本假设各是什么？

塑性：是材料的一种变形性质或变形的一个阶段，材料进入塑性的特征是当

荷载卸载后以后存在不可恢复的永久变形。

塑性力学研究问题可以分为两个方面：一是根据实验观察所得结果为出发点，

建立塑性状态下变形的基本规律既本构关系，二是应用这些理论和关系求解具体问题，既求物体在荷载等外来因素作用下的应力和变形的分布。

塑性力学远比弹性力学来的复杂，首先塑性力学没有统一的本构方程，因为塑

性变形是一个非常复杂的过程，它是随不同的材料和外界条件而改变的啊，其次是方程是非线性的啊，变形是和加载的历史有关，再此是求解问题是，在物体中弹性区和塑性区往往是共存的，需要决定这两个区域的交界面。

塑性力学的特点：（1）应力---应变关系的多值性（2）本构关系的复杂性 塑性力学的假设：（1）材料是均匀的啊，连续的。（2）各向均匀的应力状态，

既静水应力状态不影响塑性变形而产生弹性的体积变化。（3）在温度不高，时间不长时，可以忽略蠕变和松弛的效应，在应变率不大的情况下，可以忽略应变率对塑性变形的影响。

17. 金属材料的应力应变曲线有哪些类型？岩石的应力应变曲线有哪些类型？这些应力应变曲线之间有哪些共同之处和哪些不同之处？根据这些应力应变曲线可以总结出哪些力学模型？

金属材料的应力应变曲线有两种类型，弹塑性和弹脆性。

岩石的应力应变曲线有5种类型：单一弹性、弹塑性、塑弹性、塑弹塑性、弹粘性。

18. 什么是求和约定？求和约定有什么意义？用什么方法表示导数？如何根据求和约定来简化公式的书写？

求和约定;在同一项中，重复出现两次的字母标号为求和标号，它表示将该

标号依次取为1,2,3,时所得各项取和。例如：

;

求和约定的意义;因为求和标号不再是区分分量的标号，而只是一种约定求

和的标志，所以不论选用哪一个字母都不会改变其含意，即求和标号

可以任意变换字母都不会改变其含意。例如：

导数表示方法： , , 并用?,i表示，这里的逗号表示逗号后的

字母标号所代表的变量求导。

用求和约定简化公式的书写;例如：

表示一线性代数方程组

19. 什么是张量？张量是如何定义的？什么是零阶张量？一阶张量？二阶张

量？

张量：在数学上，如果某些量依赖于坐标抽的选择，并在坐标变换时，其变

换具有某种指定形式，则这些量的总称为张量。

零阶张量：由定义可知绝对标量（与坐标系选择无关）是零阶张量。（标量：

指完全由一个正值或负值的数量所确定的物理量）

一阶张量：矢量是一阶张量，（矢量是指由三个分量所确定的物理量或几何量，

它是和坐标系的选择有关，当坐标变换时，服从一定的规律） 二阶张量：设在给定的坐标系内有具有两个标注的九个分量

,当坐标变换

时，它们在新坐标系关系式

内的九个分量变为 ,若这些量满足变换

则由此九个量的集构成二阶张量。

20. 什么是Bauschinger效应？对于强化材料，正向加载屈服极限提高后再反向加载，会出现什么现象？由Bauschinger效应可以获得哪些结论？

Bauschinger效应：如果在完全卸载后施加相反方向的应力，比如由拉改为压，

则曲线沿

点）

的延长线下降，即开始是成直线关系（弹性变形），但至一定程度（

又开始进入屈服，并有反方向应力的屈服极限降低的现象（

<

， 这种现象称为Bauschinger效应。

结论：即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形后，就带各向异性。 21. 什么是Bridgman 试验？由Bridgman 试验可以获得哪些结论？

Bridgman 试验： Bridgman试验结果指出，弹簧钢在10000个大气压体积缩小约2.2% ，而且这种体积变化是可以恢复的（在各向均匀压缩的情况下），他又用各种钢试件作出轴向拉伸时的应力—应变曲线及轴向拉伸与静水压力同时作用下的应力_应变曲线。两者加以比较，发现各向均压对初始屈服的影响很小，可以忽略不计。

结论:在静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。

22. 什么是理想弹塑性？应变硬化？应变软化？理想弹塑性、弹性-线形应变硬

化和弹性-应变软化模型各可以代表哪些不同类型的材料？ 理想弹塑性体：忽略硬化。

应变硬化：材料在屈服以后，必须继续增大应力才能使它产生新的塑性变形，这种现象称为应变硬化。

应变软化：应力降低，应变增加的现象称为应变软化。

23. 什么是应力张量？应力球张量？应力偏张量？主应力偏张量？把表示一点应力状态的应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，有什么意义？ 应力张量：九个应力分量的整体是一个二阶张量，并写成下面的形式

=

+

应力球张量：它代表的应力状态为三个主应力相等且等于

的应力状态，既表

示各个方向受相同的压应力或拉应力,上式右边第一个部分。 应力偏张量：反映一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，上式右边第二部分。 ，则应力偏张量可表示为：

意义：由于应力球张量主要是和单元体的体积变化有关，至于应力偏张量则主要是和单元体的形状改变有关，既主要是和物体的塑性变形有关。

24. 什么是应力张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？什么是应力偏

张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？

)

则此三次方程的（

）系数应与坐标轴

选择无关，所以，，是三个不变量，分别称为应力

张量的第一，第二，第三不变量。

=

如果取主轴为坐标轴，上式可用主应力表示为

)=（

这里，，，就分别称为应力偏张量的第一，第二，第

三不变量。

25. 什么是等倾面上的应力？八面体剪应力？应力强度？等效应力？

设已知物体内某点的主应力及主方向，通过该点作一特殊平面，使此平面的外法线N与三个主方向成相等的夹角。取主方向为坐标轴，这时从物体内取

出的四面体，每个象限有一个，他们形成一个封闭的正八面体，这些面上的应力就称为八面体应力，即八面体正应力为

(

八面体剪应力为

八面体剪应力为了使用方便将它乘以，并称之为应力强度，用符号来

表示，即=

在某种意义上来说，就将原来的一个复杂应力状态化作成一个具有相同“效应”的单向应力状态，所以又称为有效应力。

26. 什么是屈服准则？为什么需要有屈服准则？金属材料常用的屈服准则有哪

几个？Tresca准则和Mises准则的主要差别是什么？岩土材料常用的屈服准则有哪几个？

判断材料是否处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的判断式，即屈服条件（准则）。

金属材料常用的屈服准则：Tresca准则和Mises准则 Tresca准则和Mises准则的主要差别是：

Tresca准则是指当最大剪应力达到材料所固有的某一值时，材料开始屈服。Mises准则是指当应力强度达到一定数值是材料开始屈服。应力空间内，Tresca条件表示的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在π平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形 ，而Mises条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在π平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。

岩土材料常用的屈服准则：Mohr-Coulomb条件，广义Mises条件和广义Tresca条件。

27. 什么是主应力空间？什么是屈服面？金属材料和岩土材料常用屈服准则的屈服面各有什么样的几何形状？Tresca准则和Mises准则屈服面的形状有哪些差别？ Koulumb准则和Druck-Prager准则屈服面的形状有哪些差别？

主应力空间：如果我们将

取为三个相互垂直的直角坐标轴而构

成一空间直角坐标系，则该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体中某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说，该空间中的一点对应于物体中某点的应力状态，我们把这个空间称为应力空间。 屈服面：屈服函数在应力空间中表示一个曲面。

Tresca准则和Mises准则屈服面的形状主要差别是：应力空间内，Tresca条件表示的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在π平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形 ，而Mises条件表示的屈服曲面是一外接于上

述正六棱柱体的圆柱体，在π平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。

28. 在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义？如何区分加载与卸载？理想弹塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别？什么是中性变载？ （1）理想塑性材料(（

）=0）的加载和卸载准则：在荷载改变的过程中，

应力点如保持在屈服面上，则,此时塑性变形可以任意增长，就称为加

载。当应力点从屈服面移动到屈服面内，则d?<0,表示状态从塑性退回到弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。 （2）硬化材料（

,K）=0）的加载和卸载准则：如果应力变化d

使应力点

从此时瞬时状态所处的后继屈服面向内移，则变化的结果使材料从一个塑性状态退回到一个弹性状态，即为卸载过程。如果应力变化d

使应力点沿后

继屈服面变化，实验证明此过程也不产生新的塑性变形，所以参数K也不变，dK=0，此过程称为中性变载。如果应力

和参数K都变化，使材料从一个塑

性状态过渡到另一个塑性状态，应力点从原来的后继屈服面外移到相邻的另一个后继屈服面时即为加载。

29. 什么是后继屈服面？等向（各向同性）硬化？运动（随动）硬化？混合硬化？根据Bauschinger效应，应该采用什么硬化模型？为什么等向（各向同性）硬化更为普遍？

（1）后继屈服面：在复杂应力状态下，由于会有各种应力状态的组合能达到初始屈服或后继屈服，在应力空间中这些点的集合而成的面就称为后继屈服面。

（2）等向硬化：不考虑静水应力和Bauschinger效应，该模型假定后继屈服面在应力空间中的形状和中心位置O保持不变，但随着塑性变形的增加，而逐渐等向的扩大。

（3）随动硬化：考虑Bauschinger效应，假定材料在塑性变形的方向OP+上被硬化（即屈服值增大），而在其相反方向OP-上被同等地软化了（即屈服值减少），这样在加载过程中，随着塑性变形的发展，屈服面的大小和形状都不变，只是整体的在应力空间中作平移。

（4）混合硬化：把随动硬化模型和等向硬化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状，大小和位置一起随塑性变形的发展而变化。 （5）根据Bauschinger效应，应该采用随动硬化模型 （6）由于等向硬化的模型在数学上处理比较容易，它是广泛采用的硬化模型。 30. 什么是全量（形变）理论？为什么要发展全量理论？什么是简单加载？伊留辛弹塑性小变形理论有哪些假定？其本构方程的形式如何? 适用于哪些条件

下？Nadai理论和Hencky理论有哪些假定？各适用于什么条件？

（1）全量理论：在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系，建立在这个关系上的理论称为全量理论。

（2）简单加载;是指在加载过程中物体内每一点的各个应力分量接比例增长的。

（3）伊留辛弹塑性小变形理论有哪些假定：（1）体积变化是弹性的，即应变球张量和应力球张量成正比。(2)应变偏张量和应力偏张量成比例（3）应力强度是应变强度的确定函数

其本构方程的形式：

; ,；该式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律。

（4）Nadai理论：考虑了有限变形和硬化，但总变形中仍不考虑弹性变形。Hencky理论：不计弹性变形，也不计硬化。

31. 什么是增量（流动）理论？与全量理论有什么区别？为什么要发展增量理论？Lévy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论各有什么假定，各适用于什么条件？

增量理论：在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率）和应力及应力增量（或应力率）之间的关系，这类理论称为增量理论。

Lévy-Mises理论：应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成比例即

(d

式中的系数d决定于质点的位置和荷载水平。

Prandtl-Reuss理论：将Lévy-Mises理论关系式推广到应用塑性平面应变问题，他考虑了塑性状态的变形之中的弹性变形部分，并认为弹性变形服从广义的胡克定律。

32. 什么是塑性势理论？塑性势理论的基本假定是什么？假定塑性势理论等于屈服函数，可以得到什么样的结果？什么是正交法则?

(1)如果我们引进塑性势函数g，由于塑性变形的特点，函数g不仅应力状态有关，而且和加载历史有关，我们用一个硬化参数K表示加载历史，则塑性势函数可表示为g=g(

,K)

(2)屈服函数f=塑性势函数g(即屈服面和塑性势面重合)则得：这

样就把屈服条件和塑性本构关系联系起来考虑，所得到流动法则称为联合流

动法则。

33. 什么是极限荷载？对于三杆所组成的系统，如何计算其变形和极限荷载？变形与加载顺序有无关系？极限荷载与加载顺序有无关系？ 极限荷载：材料发屈服或破坏前所能承受的最大载荷。

对于三杆系统，当三杆所受的载荷均达到极限载荷时，系统达到极限载荷。因此在计算其变形和极限荷载时，先对系统整体进行受力平衡分析，求出杆与杆之间的应力和变形之间的关系，在联立变形协调方程，即可求解。 变形与加载顺序有关 极限荷载与加载顺序无关

35. 对于厚壁筒问题和带圆孔的无限大板，如何计算弹性和塑性状态下的应力以及极限荷载？

弹性状态下的应力以及极限荷载：首先联立轴对称问题下的应力分量表达式和相应的边界条件，求出应力分量的具体表达式。在与极限载荷比较即可。（详见课本4-6节和4-8节）

塑性状态下的应力以及极限荷载：

36. 岩土塑性力学有哪些特点？什么是扩容？剪胀？非稳定材料？弹塑性耦合？什么是压硬性？等压屈服性？什么是帽子模型？为什么要发展帽子模型？什么是相关联的流动法则？非关联的流动法则？ 岩土塑性力学特点：（1）在传统塑性力学中，一般认为体积变化是弹性的，而对岩土类介质则明显不符，试验表明不仅静水压力可以引起岩土塑性体积变化，而且偏应力也可能引起塑性体积变化（称为剪胀）

（2）传统塑性力学的屈服准则是建立在剪切屈服的基础上的，而岩土屈服准则不仅考虑剪切屈服，还要考虑体积应变屈服。 （3）在转统塑性力学中只考虑符合Drucker公设的所谓稳定材料，不允许出现软化阶段，而岩土塑性力学不受稳定材料的限制，也可考虑软化阶段的所谓不稳定材料。（

4）传统塑性力学中，主要考虑塑性势函数和屈服函数相一致的所谓联合流动法则，这时塑性应变增量和屈服面时正交的。而岩土塑性力学中往往还考虑塑性势函数和屈服函数不一致的所谓非联合流动法则，这时塑性应变增量方向和塑性势面正交，而和屈服面不正交。

（5）传统塑性力学中，材料的弹性系数和塑性应变无关，弹，塑性不耦合，而岩土塑性力学中有时要考虑弹性系数随塑性变形的发展而变化的弹，塑性耦合现象。

中南大学

第二章 应力理论和应变理论

2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。

T4解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知

n σx = -10 σy = -4 τxy = -2 2（以上应力符号均按材力的规定） τ°δ°y30°代入材力有关公式得：

303010?30???x??y2??x??y2Oxτxy10cos2???xysin2?x?10?4?10?413?cos60?2sin60??7?3??2?2222??6.768?6.77(MPa)?x??y?10?4?30??sin2???xycos2???sin60?2cos602231??3??2???3.598?3.60(MPa)22

代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ

xy = +2

δy题1-3图?30???x??y2?(?x??y2)cos2???xysin2??10?4?10?413?cos60?2sin60??7?3??2?2222??6.768?6.77(MPa)

?x??y?10?4?30???sin2???xycos2????sin60?2cos602221?3??2??3.5983.60(MPa)22由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E，横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：

c截面的内力：Nz=γ·A·z ；

c截面上的应力：?z?Nz??A?z????z； AA所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：

?z??zE??zE；

则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：

lz???d??l????z?dz??zzz?zEdz??E?zdy?z?z22E；

显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：

l　??d??l??l??l22E???A?l?l2EA?W?l；（W=γAl） 2EAz

odzlzcNzxo题1—6图?500300?800???

0?3002—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =?300?????800?3001100??应力单位为kg／cm2 。 试确定外法线为ni｛111，，｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总333n 。

应力Pn、正应力σn及剪应力τ

解：首先求出该斜截面上全应力Pn在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz Px=

25?3??8?10??????x??xy??xz?n＇=???1?0 3

Py=

23?0??3?10??????yx??y??yz?n＇=???1?0 31?0 3n均为零，也即：

Pz=

??2zx??yz??z?n＇=????8????3??11???10?所以知，该斜截面上的全应力Pn及正应力σn、剪应力τ

Pn =σn = τn = 0

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τxy=-dx-ay；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。 xO解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件： OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0

β代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay 并注意此时：x=0

n得：b=-γ1；a=0；

βOB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0

??xcos???xysin??0则：………………………………（a） ??cos???sin??0y?yx将己知条件：σx= -γ1y ；τ入（a）式得：

xy=-dx

γγ1y； σy=cx+dy-γy代

BAy??1ycos??dxsin??0??????dxcos???cx?dy??y?sin??0

化简（b）式得：d =γ1ctg2β；

化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β

?b??c??1260???32—17.己知一点处的应力张量为6100?10Pa

????000??试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 σy=10×103 τ且该点的主应力可由下式求得：

2?12?10?12?10??223?1.2????????xy????6??102?2??2??2???

317.083?1033?11?37?10??11?6.0828??10??Pa?4.91724?103xy=6×10

3

，

?x??y??x??y?2??

3则显然：?1?17.083?10Pa?2?4.917?103Pa?3?0

σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

tg2???2?xy?x??y??2???6??12???612?102sin2???

cos2??显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）

2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τσ3并求出σ2的主方向。

解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：

zx=b，试计算出主应力σ1、σ2、

?1?a2?b2；?2?0；?3??a2?b2；

设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。

?l21??x??2??l22?yx?l23?xz?l23?xz?0???l21?yx?l22??y??2??l23?yz?l23?zy?0???l21?zx?l22?zy?l23??z??2??l21?yx?l22?zy?0以及：l21?l22?l23?1222?1??2??3?

?4?

l21alb??；22??； l22bl21a由（1）（2）得：l23=0 由（3）得：

将以上结果代入（4）式分别得：l21?1?l?1??22??l21?b222?1?b?1?????a?2?aa?b22；

l22?1?l?1??21??l22?2?1?a?1?????b?2?a?b；

babaa??l21??l22?l22??同理l21??

2222aa2?b2ba?ba?b于是主应力σ2的一组方向余弦为：（?aa?b22，

ba?b，?22，0）；

σ3的一组方向余弦为（?2—20.证明下列等式：

2b2a2?b2，?2a2a2?b22）； 2

（1）：J12=I2+23I1； （3）

：I12??2??ii?kk??ik?ik?； 证明（1）：等式的右端为： I1213??????22?I11?2??2?33?1??3??1??2??3?

?13??221??2??23?2?1?2?2?2?3?2?3?1????1?2??2?3??3?1? ?26??222?461??2??3?6??1?2??2?3??3?1??6??1?2??2?3??3?1??26???21??222??3??1?2??2?3??3?1?? ?16???21?2?1?2??22??22?2?2222?3??3??3?2?3?1??1???16????2?2???21??2????2??33??1????J2

故左端=右端 证明（3）：I12??2??ii?kk??ik?ik? 右端=

12??ii?kk??ik?ik? ?12???2?22z?222x?y???2?xy??yz??zx????x??y??z???x??y??z??? ?12???2x??2y??2z?2??2xy??2yz??2zx???2x??2y??2z?2??x?y??y?z??z?x??? ?????222x?y??y?z??zx??xy??yz??zx??I2

?u?a0?a1x?a2y?a3z2—28：设一物体的各点发生如下的位移。??v?b?0?b1x?b2y?b3z

?w?c0?c1x?c2y?c3z式中a0、a1………c1、c2均为常数，试证各点的应变分量为常数。

证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：

?x??u?x?a1

；

??v?y?b?u?vy??w2；?z??z?c3；?xy??y??x?b1?a2??v?wyz??u?z??y?c2?b3； ?zx??y??w?x?a3?c1；

2—29：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。

（1）：???u??3x2?20??10?2 在（0，2）点处；

??v??4yx??10?2；

?u??6x2?15??10?2??（2）：?w??3z2?2xy??10?2 在（1，3，4）点处

??2v?8zy?10????解（1）：

?u?v?v?u??0?4y?10?2 ??x?6x?10?2 ??y?4x?10?2 ?xy??y?x?y?x在（0，2）点处，该点的应变分量为: ?x??y?0；?xy?8?10?2；

?040?写成张量形式则为：?ij??400??10?2；

????000??

解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。

?x??z??v?u?8z10?2?32?10?2 ?12x10?2?12?10?2； ?y??y?x?u?v?w??0 ?6z10?2?24?10?2； ?xy??y?x?z?v?w???8y???2x??10?2??24?2??10?2?22?10?2 ???z?y?yz??zx??w?u????2y?0?10?2??6?10?2； ?x?z用张量形式表示则为：

?120?3???10?2

?ij??03211?????31124??

2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c均为常数）

?c?x2?y2?cxy0???2cxycy0? (1):?ij????000????

1?222?axy0ax?by????2??1(2): ?ij??0ax2yaz2?by2?? ???2?1?12222??ax?by??az?by?0??2?2???c?x2?y2?zcxyz0???2cxyzcyz0? (3): ?ij????000????解（1）：由应变张量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0 而εx、εy、ε

坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。 将εx、εy、ε

xyxy及ε

yx又都是x、y代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：

22?2?x??y??xy 也即：2c+0=2c 知满足。 ?2??y2?x?x?y所以说，该应变状态是可能的。

解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：

???22???y?2?z??yz??2?2?z?y?y?z???2?z?2?x?2?zx??2?2??x?z?z?x??………………………………（1） 2??x?????zx??xy??yz??????2?x??y?z?x??y?z??2??y?????xy??yz??zx????2???y??z?x?y??z?x??2??z?????yz??zx??xy???????2?z??x?y?z??x?y??22?2?x??y??xy?2??y2?x?x?y

2ax?2ay?0?0?0?0??0?0?0?得：? 不满足，因此该应变状态是不可能的。

0?0?2b?0??0?0?解（3）：将己知应变分量代入上（1）式得：

2cz?0?2cz?0?0?0???0?0? 不满足，因此该点的应变状态是不可能的。 2cy?2cy??2cx?0??

第三章：弹性变形及其本构方程

3-5．试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0＜V＜

1； 2证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：

σ11=σ22=σ33=p σ12=σ23=σ31=0

p，e为体积应变。 e将上述应力分量的值代入广义胡克定律：?ij?2G?ij???ije 得：

如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=

?p?2G?1??e??p?2G?2??e?p?2G???e3??三式相加得：3p??3??2G?e

将p=ke代入上式得：k?1?2G?3?????2G……………………（1） 33由弹性应变能u0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹

性应变能总是正的。）知k＞0，E＞0，G＞0。

因：u0?uor?uod?1211I1?J2?ke2?Geijeij 18k2G2我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由uo的正

定性可推知： k＞0，G＞0。

而又知： E?9kG 所以：E＞0。

3k?G我们将（1）式变化为：

k?

222GV2G?1?2V??6GV2G?1?V?2?1?V?EEG???G?????331?2V3?1?2V?3?1?2V?3?1?2V?2??1?V?3?1?2V??2G?1?V?……………………………………（2） 3?1?2V?由（2）式及k＞0， G＞0 ，E＞0知：1+V≥0，1-2V≥0。 解得：-1≤V≤

1。 212但是由于到目前为止，还没有发现有V＜0的材料，而只发现有V值接近于其极限值

的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为

111和0，所以得：0＜V＜ 或：0≤V≤； 222

3-10．直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为??2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70Gpa.V1=0.35,钢的弹性常数E=210Gpa。试求筒内的周向应力。

解：设铝块受压?1??2??q 而?3?P?40?1031??42?10?44??100?

则周向应变

?铝?1E铝?100????q?r?q???? ??????

QσZQσ1=σ2=qrDS1q?4?10?210q?钢??E钢2?0.2?10?2E钢σα∵ ?铝??钢 q=2.8MN/m2 钢套 ???qD?28MN/m2 2tqvqr?r? ； ??? ； ?z?0 ；

2ttσ1Pσ2σ1=σ1?r?E??1；

4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v=0。

证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。

并且可将一点的应力张量σij和应变张量εij分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。

??ij??m?ij?sij ??????emijij?ij而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。

通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：

???m?3k?m?ke???sij?2Geij?1? 2??? (1) 式中：e为体积应变 e??x??y??z??1??2??3?I1由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力σm确定，由eij中的三个正应力之和为

令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力σm作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。

由单位体积的应变比能公式：uo?uov?uod?31?m?m?sijeij；也可说明物体的体变22只能是由球应力分量引起的。

当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：

uo?uov?uod?0?121?v2?xy??xy 2GE由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。

由于到目前为止还没有v<0的材料，所以，v必须大于零。即得：v>0。

3-16．给定单向拉伸曲线如图所示，εs、E、E′均为已知，当知道B点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。

解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB=ε=εe+εp 故：εp=ε-εe

???????E???11???E??????E?s?E?????s???????ee????

EEEEE??E???E???s?1???s???1????s?1?? EEEE?E????E???????s??1??；

E??

σσsAtg-1E′BCtg-1EOεstg-1Eεε3-19．已知藻壁圆筒承受拉应力?z??s2及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭

转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。

解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）

???0，?r?0，?z??s2；?r??0，??z??；?zr?0；

于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）ρ及扭矩M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：

1?2222?2 ?s??r??????????z????z??r??6??r2????2z??zr????2?1???s???s?1??22?????6???6?????? ???2222?2?????????2s2212121解出τ得：???s2；

τ就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。 任意一点的球应力分量σ

m为：?m?????r??z3??s6

；sz??z??m?；

应力偏量为：s??????m???s6；sr??r??m???s6?s2??s6??s3；

s?r?srz???r??rz?0；sz???z????由增量理论知：d?ij?sijd? 于是得：d???d?s???p?s2p?s6d?；d?rp?d?sr???s6d?；d?zp?d?sz??s3d?；

p?d?srz?0；d?zpd??pr?d?s?r?0；d?rz??d?sz???s2d?

所以此时的塑性应变增量的比值为：

??ppd??p：d?rp：d?zp：d??pr：d?rz：d?z????s?6???s?：????6?s??s：：0：0： ?32?pppppp也即：d??：d?r：d?z：d??r：d?rz：d?z??（-1）：（-1）：2：0：0：6；

3-20．一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，v?1；2讨论下列三种情况： （1）：管的两端是自由的； （2）：管的两端是固定的； （3）：管的两端是封闭的；

分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验σr值。

解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，σr≈0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：

pr??1；?r?0??z??2??3?0 tprvprpr（2）：?????1；?r?0??3；?z?v???????2；

tt2tprpr（3）：?????1；?r?0??3；?z???2；

t2t（1）：???显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：

?max?k??s?解出得：p??1??32???2?pr?s； ?2t2?str；

若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得： （1）：2?s2???1??2????2??3????3??1?解出得：p?222?pr??pr???????? ?t??2t?22?str2s；

222pr??prpr??pr??（2）、（3）：2????????0???0??

2t??2tt??t??解出得：p?2?st； 3r

3-22．给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件： （1）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑性。 （2）：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积b×h，材料为理想弹塑性。

解（1）：由于是藻壁圆管且

t<<1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状r态，即σr=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：

???qrqr??2； ??1；?r?0??3；?z?2tt若采用 Tresca屈服条件，则有：

2qrqr故得：?s?； 或：?s?；

t2t若采用mises屈服条件，则有：

?max??s??s??1??32?????r2?qr； 2t2?s2?6?s2???1??2????2??3????3??1?

??????z????z??r????r????

22?qrqr??qr??qr?3qr； ????????????2t2t2tt2t??????222222222故得：?s?3qrqr； 或：?s?； 2t2t

yy

hphp2 z2xohhMM22

b

解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）

?x?PMy???1 FJz?y??z??2??3?0

且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知y??得：?1??x?h 2P6M；?2??3?0 ?bhbh2若采用Tresca屈服条件，则有：

?max??s?1?6MP??bh?h?s2??1??32?P6M???2?bhbh?1?； ?2??； ?故得：?s?1?6M???P?； 或：s??2bh?h?若采用mises屈服条件，则有：

2?s2?6?s2???1??2????2??3????3??1?故得：?s?222?P6M??2?12?2??2?

?bhbh?21?6MP??bh?h1?6M???P?；或：s??h3bh????； ?一般以σs为准（拉伸讨验）

第五章 平面问题直角坐标解答

5-2：给出??axy；（1）：捡查?是否可作为应力函数。（2）：如以?为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示） 解：将??axy代入???0式

yτyz=-aτxy=-aox4得：????0 满足。 故知??axy可作为应力函数。 求出相应的应力分量为：

22hh22?x????????0?????a； ???0；；xyy?y2?x?y?x2222l上述应力分量?x??y?0；?xy??a在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。

5-4：试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。

3F?xy3?q2???xy?2??y；

4c?3c?2解：首先将函数?式代入???0式知，满足。故该函数可做为应力函数求得应力分量为：

2aPcdxcFblyc?2?3F?2x?x?2???2?y4c?c3F?2??y??q?q?3xy；?y?2?0；

2c?x??2?3F?y2?12F?h2F?h22?2??xy????1????y???y??????；

?x?y4c?c2?2h3?42J4??z?显然上述应力分量在ad边界及bc边界上对应的面力分量均为零，而在ad边界上则切向面

力分量呈对称于原点o的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷q。 显然法向均布载荷q在该面上可合成为一轴向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在该面上则可合成为一切向集中力：

h??6F36F?h2h2F??Fdy????xydy??3??hdy??h2y2dy??y3??h?242?3h2F?h3h3?6Fh2?hh?F3F??3??????????F?3?h?88?4h?22?222?h2h2?h2h26Fh2?y3?h24hh2?hh2

而cd边界则为位移边界条件要求，u=0，v=0，w=0以及转角条件。

由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图示），可解决在自由端受轴向拉伸（拉力为p=2cq）和横向集中力F作用下的弯曲问题。（如图示）

5-6：已求得三角形坝体的应力 为：

??x?ax?by???cx?dy?y ??????dx?ay??xyx?xy???xz??xz??zy??yz??z?0其中γ为坝体的材料容重，γ1为水的容重，试据边界条件求出常数a、b、c、d的值。 xo n

β

β

γy γ BA

y

解：据图示列出水坝OA边界和OB边界面上的应力边界条件： OB边：x=0 , l=cos(180°)=-1 ， m=0 , Tx=γy , Ty=0

1故得：?????x?Tx??1y????xy?Ty?0?a? ?b??c? ?d?OA边：x=ytgβ ，l=cosβ, m=cos (90°+β)=-sinβ , Tx=Ty=0

???xcos???xysin??0故有： ????yxcos???ysin??0将?xx?0?ax?by?by代入（a）式得：b???1；

将：?xyx?0??ay代入（b）式得：???ay??0 得a=0；

2将?x、?xy代入（c）式得：d??1ctg???； 3将?y、?yx代入（d）式得：c??ctg??2?1ctg?；

5-7：很长的直角六面体，在均匀压力q的作用下，放置在绝对刚性和光滑和基础上，不计体力。试确定其应力分量和位移分量。 x q

h

y o bb

解：由题意知，该问题为一平面应变问题。由于不计体力所以平面应力与平面应变的变形协调方程是一样的，故可取一单位长度的直角六面体来研究其应力状态。当求知应力分量函数后，再由平面应变的本构关系求得应变分量，进一步积分再利用有关位移边界条件确定积分常数后求得位移分量。

这里我们采用逆解法，首先据题目设应力函数??ay显然?式满足双调和方程式

2?4??0。相应应力分量为：?x?2a，?y?0，?xy?0 显然直角六面体左右两面的应

力边界条件自动满足。

?q； 2q对于底边：y=0 , l=-1,m=0,Tx=q , Ty=0 同样定出：a??；

2对于项边：y=h , l=1,m=0,Tx=-q , Ty=0 则可定出：a?因此满足该问题所有应力边界条件的解为：

?x??q，?y?0，?xy??yx?0

应这分量为：

?1?v?vq??01?v2v2?1?x??x?q，?y?，xy

EEE

?v2?1?u?Eqx?f?y??A??1?v?vqy?fx?B ?积分得：?v?1??E??w?0??利用位移边界条件确定积分常数：

（1） 当x=0 , y=0 时，u=0 则：A=0 （2） 当x=0 , y=0 时，v=0 则：B=0 （3） 当x=0 时，u=0 则：f (y)=0 （4） 当y=0 时，v=0 则：f1(x)=0 因此知该问题的位移分量为：

?1?v?vqy ； v2?1u?qx； v?w?0

EE

5-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p，试用纯三次式：

??ax3?bx2y?cxy2?dy3的应力函数求解应力分量?

2oαx90°+α αnay解:显然?式满足???0式,可做为应力函数,相应的应力分量为:

???x?2cx?6by?2????y??py?6ax?2by?py?……………………（a）

?x?2????xy????2bx?2cy??x?y?边界条件：

ox边：y=0 , l=0 ,m=-1, Fx=Fy=0 则：2bx=0 得：b=0

-6ax=0 得：a=0

oa边：y?xtg?,l?cos?90?????sin?;m?cos?;Fx?Fy?0

则：?????2cx?6dxtg??sin??2cxtg??cos??0??2cxtg??sin??pxtg??cos??0?a? b??pctg?； 2p2代入(b)式得：d??ctg?；

3由（c） 式得：c?所以（a）式变为：

??x?pxctg??2pyctg2???y??py ???xy??pyctga?

第六章 平面问题的极坐标解

6-3:在极坐标中取??Alnr?Cr2,式中A与C都是常数。（i）：检查?是否可作应力函数？（ii）：写出应力分量表达式？（iii）：在r=a和r=b的边界上对应着怎样的边界条件？

解：首先将?式代入???0式，其中：

4??1?A?2Cr;?rr41??A?2?2C;r?rr?2?A???2C;22?rr???0,???2??0.2????21?1?2??AA??????2C???2C?0故： ???????0; 2??rr?rr2??2??r2r???故：? 式可作为应力函数。应力分量为：

1??1?2?A?r??2??2C;r?rr??2r2?2?A???2??2?2C;?rr1??1?2??r??2??0;r??r?r??

?a??b??c?aA+2Ca2A+2Ca2b对于右图所示圆环，上述应力分量对应着如下边界条件：

当r=a时（内环）：（l=-1, m=0.）

Fr???r?A????2C??;F????r?r?a2a???0;

r?a

当r= b时（外环）：（l=1，m=0.）

Fr??r?A??F???r?r?b?2?2C?;?b?2?0;

r?b6-5：试确定应力函数??cr?cos2??cos2??中的常数c值。使满足题6-5图中的条件：（1）在???面上,???0?r??s;（2）在???? 面上,???0 ?r???s;并证明楔顶不有集中力与力偶作用。

4nαsααoθsxαyn 解：首先将?式代入???0式，知其满足,故可做为应力函数。相应的应力分量为： ?????2cr?cos2??cos2??;??2cr2sin2?;?r???2???4crsin2?;则得:?r???2??2c?cos2??cos2??;?r2?2???4cr2cos2?;2??1??1?2??r????2c?cos2??cos2???????????????a?r?rr2??2?????2?2c?cos2??cos2????????????????????b?

?r2?r?1??1???2??2csin2??????????????????c?r??r?r??2边界条件：当???时，???0.?r??s;则：?2c?cos2??cos2???0得0?0.自动满足

s;????时.???0,?r???s;当?2c?cos??2???cos2???0.

2sin2?s因cos?????cos?,则0?0,2csin??2????2csin2???s得c?;故得：

2sin2?2csin2??s.得:c?sr2?cos2??cos2??;??2sin2??e?

?r?

?s?cos2??cos2??;???s?cos2??cos2??;?r??s?sin2?sin2?sin2?sin2??f?

由（e）式可知，该应力函数在r=0处并不适用 ，所以（f）式也不反映o点处的应力状态。如果我们以a为半径截取一部分物体为研究对象（见右图示），并假设在o点处存在集中力Rx、Ry、及集中力偶Mo,那么这部分物体在Rx、Ry、Mo、以及s、?r和?r?这一力系的作用下应保持平衡状

RyαRxoMoyαsaτrθσrxs态。但事实上，由于s及?r力的作用线都通过o点，?r?及?r、s的分布又都对称为x轴，

?所以当考虑?Mo?F??0,及?Fy?0两平衡条件时，要求Mo?Ry?0否则该物体将不

平衡。

Ry????rsin???r?cos??rd??0;Mo?????rsin???r?cos??r2d??0

??????如果存在Rx ，则由楔形尖项处承受集中载荷的应力的讨论知（8-25）式，在楔形体内就一定存在有随r和?而变化的应力分量?r。然而我们在上述讨论中所得结果（f）中第一式中，并不存在随r而变化的这部分?r应力，所以要求Rx?0。因此知，在楔顶（就题8-5图所示问题）不存在集中力与集中力偶的作用。

???Rx??????rcos???r?sin??rd???2srcos???与边界力s平衡???

?

（F?=0）和大小等于

ccF??的负的切向面力分量.（θ以逆时针转向为正）。如?a2a2果将内圆环上的切向面力分量F?对中心点0取矩，则得：F??2?a?a??c2?2??a?M.故：2ac?M；于是上式得： 2??r?0;???0;?r??M????????????????a? 22?r?M；Fr?0； 22?a①则当r=a时，对于内环边界对应着面力分量：F??当r=b时，对于外环边界对应着面力分量：F??M；Fr?0； 22?b②如果：r=a（内环），r=b→∞.则为一无限大平板上挖有一半径为a的圆孔。在孔壁上作用有切向面力分量：F???M； 22?a③如果：r=a→0，r=b→∞，则为一无限大平板，在o点作用有一集中力偶M。

第七章 柱体的扭转

7-1：试用半逆解法求圆截面柱体的扭转问题的解。

解：圆截面柱体，设其半径为a，则圆截面的边界的方程为：x?y?r?a???a?

2222设柱端作用有扭矩MT。采用半逆解法。据材料力学的有关理论知，该问题的应力解为：

?x??y??z??yx??xy?0;?zy?Ax;?zx??Ay;或?r?????z??zr??rz???r??r??0;?z????z?Ar;所以由边界方程、上述应力分解以及?zx?????????;?zy??或:?z?????;并设?y?x?n?r的应力函数为: 满足?c?0?设边界r?a???r??Br2?a2??????????????????????a???x,y??Bx?y?a???????????????????b?222????

上(a)、(b)式中的B为待定常数。将(a)(b)分别代入应满足的应变协调方程得：

??????1?????2?2?2???2G??????????????c?

r?r?x?y?r2222得：B??G?;故???1G??r2?a2?;212???1G?x2?y2?a2?????d? 2??将(d)式代入MT?22?1?222式得：?dxdyM?2???G?????xdxdy???ydxdy?a??dxdy? T???2?因：

??xdxdy??a44;??ydxdy?2?a44;??dxdy??a;MT?2?G?a42;得:??2MT 4?Ga

???MT2MT2222r?a??x?y?a???????????????????e? 44?a?a????由(e)式求得应力分量如下：

??2M?zx???4Ty;?y?a位移分量为：u????zy????2MT22?zy???x;???????z?zxzy全?x?a4??12????2MT?r;?r?a42MT?zy;4G?a122v??zx?2MT?zx;4?Gaw?0;

或： S?u?v由式: ?xy??2??2MT?zr;4?Gaw?0;

?u?w1???v?w1???w??;?yz????;及上u、v式得:?0,?y?xG?y?z?yG?x?x?w?0。积分得：?y

w?f?y?,w?f1?x? 只能等于一常数w0，而w0就是圆柱体在z方向的刚性位移，略去刚性

只能等于一常数w0,而w0就是圆体在y方向的刚性位移略去,则w?0 位移，则w?0。

7-10：求边长为2a的等边三角形截面柱体的极限扭矩。

d

c g

a

fo e

b

解：做出边长为2a的等边三角形的三棱锥体如右图。显然：

ab?bc?ca?2a,ae?eb?bf?fc?cg?ga?a, eo?fo?go?atg30??3a; 3设:od=h, 则: tg??3h3haK ? 令: tg??K，则: h?3eo3a故: Ms?2V?2?123?2a?23aK?2a3K;上式中K为纯剪屈服应力。 Sh??33433弹性力学-学习指南

一、单选题：（每题2分，共40分）

1. 下列对象不属于弹性力学研究对象的是（ ）

A杆件 B板壳 C块体 D质点 2. 所谓“完全弹性体”是指（ ）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关 C. 物理关系为非线性弹性关系

D. 应力应变关系满足线性弹性关系 3. 下列哪种材料可视为各向同性材料（ ）

A木材 B竹材 C混凝土 D夹层板

4. 按弹性力学规定，图示单元体上的剪应力（ ）

A均为正 Bτ1、τ4为正，τ2、τ3为负 C均为负 Dτ1、τ3为正，τ2、τ4为负

5．在平面应变问题中，?z如何计算？（ ） A?z?0不需要计算 B 由? C由?zz???z????x??y??/E直接求

??(?x??y)求 D ?z?Z

6．在平面应变问题中（取纵向作z轴） A C

?z?0,w?0,?z?0 B ?z?0,w?0,?z?0

?z?0,w?0,??0 D ?z?0,w?0,?z?0

7．图示结构腹板和翼缘厚度远远小于截面的高度和宽度，产生的效应具有局部性的力和力矩是（P2=M/h）（ ）

A P1一对力 B P2一对力 C P3一对力

D P4一对力构成的力系和P2一对力与M组成的力系

8.在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于（ ）

A平衡微分方程 B几何方程

C 物理关系 D平衡微分方程、几何方程和物理关系

9．对图示两种截面相同的拉杆，应力分布有差别的部分是（ ）

A Ⅰ BⅡ C Ⅲ D Ⅰ和Ⅲ

10. 图示承受均布荷载作用的简支梁，材料力学解答: （ ）

?x??6qx3q(l?2x)?h2?2???l?xy,??0,????y?yxy??h3h3?4?

A 满足平衡微分方程 B 满足应力边界条件 C 满足相容方程 D 不是弹性力学精确解

11．平面应力问题的外力特征是（ ）

A 只作用在板边且平行于板中面 B 垂直作用在板面

C 平行中面作用在板边和板面上 D 作用在板面且平行于板中面

12．设有平面应力状态?x?ax?by,?y?cx?dy,?xy??dx?ay??x，其中a，b，c，d均为常数，?为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（ ） A X?0,Y?0 B X?0,Y?0 C X?0,Y?0 D X?0,Y?0

13. 圆环仅受均布外压力作用时（ ）

A ?r为压应力，??为压应力 B ?r为压应力，??为拉应力 C ?r为拉应力，??为压应力 D ?r为拉应力，??为拉

应力

14．某一平面应力状态，已知

?x??,?y??,?xy?0，则与xy面垂直的任意斜截

面上的正应力和剪应力为（ ）

A????,??0 C???2?,???B???2?,??2?D????,???

15. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ ）。

A. 任务 B. 研究对象 C. 研究方法 D. 基本假设 16．下列问题可简化为平面应变问题的是（ ） A墙梁 B 高压管道 C楼板 D 高速旋转的薄圆盘

17. 图示开孔薄板的厚度为t，宽度为h，孔的半径为r，则b点的???（ ） A q B qh/(h-2r) C 2q D 3q

18.用应变分量表示的相容方程等价于（ ）

A平衡微分方程 B几何方程 C物理方程 D几何方程和物理方程

19. 如果必须在弹性体上挖空，那么孔的形状应尽可能采用（ ）

A 正方形 B 菱形 C 圆形 D 椭圆形 20. 图示物体不为单连域的是（ ）

二、填空题：（每题3分，共60分）

1.弹性力学是研究物体在外力作用下，处于弹性阶段的 、 和 。

2.物体的均匀性假定是指物体的 相同。

3．平面应力问题有3个独立的未知函数，分别是 。 4．平面应变问题的几何形状特征是 。

5．已知一平面应变问题内某一点的正应力分量为?x?35MPa,?y?25MPa，??0.3，则?z? 。

6．对于多连体变形连续的充分和必要条件是 和 。 7．已知某物体处在平面应力状态下，其表面上某点作用着面力为X?a,Y?0，该

点附近的物体内部有?xy?0,则：?x? ，?y? 。 8．将平面应力问题下的物理方程中的E,?分别换成 和 就可得到平面应变问题下相应的物理方程。

9. 校核应力边界条件时，应首先校核 ，其次校核 条件。 10. 孔边应力集中的程度与孔的形状 ，与孔的大小 。

11．在常体力情况下，不论应力函数是什么形式的函数，由

确定的应力分量恒能满足 。

12．对于两类平面问题，从物体内取出的单元体的受力情况 差别，所建立的

平衡微分方程 差别。

13. 对于平面应力问题：?z? ，?z? ；对于平面应变问题：

?z? ，?z? 。

14．设有周边为任意形状的薄板，其表面自由并与oxy坐标面平行。若已知各点的位移分量为

u??p1??1??x,v??pyEE，则板内的应力分量

为 。

15.圣维南原理是把物体小边界上的面力，变换为 不同但 的面力。 16．在 情况下，平面问题最后归结为在满足边界条件的前提下求解四阶偏微分方程

?4??0。

17. 平面曲梁纯弯时 横向的挤压应力，平面直梁纯弯是 横向的挤压应力。

18．对于多连体，弹性力学基本方程的定解条件除了边界条件外，还有 。

19．弹性力学分析结果表明，材料力学中的平截面假定，对承受均布荷载的简支梁来说是 。

20. 求薄板内力有两个目的：（1） 薄板是按 设计的；（2） 在板边上，要用 的边界条件代替 的边界条件。 三、判断改错题：（每小题3分，共39分）

1．应变状态

?x?k?x2?y2?,?y?ky2,?xy?2kxy,(k?0)是不可能存在的。

2．在y=a(常数)的直线上，如u=0，则沿该直线必有

?x?0 。

3．图示圆截面截头锥体R??l，问题属于平面应变问题。

4. 三次或三次以下的多项式总能满足相容方程。 5. 曲梁纯弯曲时应力是轴对称的，位移并非轴对称的。

6. 位移轴对称时，其对应的应力分量一定也是轴对称的；反之，应力轴对称时，其对应的位移分量一定也是轴对称的。

7. 体力作用在物体内部的各个质点上，所以它属于内力。 8．在体力是常数的情况下，应力解答将与弹性常数无关。

9. 轴对称圆板（单连域），若将坐标原点取在圆心，则应力公式中的系数Ａ，B 不一定为零。

10．图示两块相同的薄板（厚度为1），在等效的面力作用下，大部分区域应力分布是相同的。

11. 某一应力函数所能解决的问题与坐标系的选择无关。

2?by3?cxy3?dx3y???x,y?ax12. 应力函数，不论a,b,c,d 取何值总能满足相

容方程。

13. 对图示偏心受拉薄板来说，弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。

四、计算题：（每题分数见题后，共161分）

1.某一平面问题的应力表达式如下，试求A，B，C的值（体力不计）

?x??xy2?Ax3,?y??xBxy2,?xy??By3?Cx2y32（5分）

2.试考察 ，能解决图示弹性体的何种受力问题。（10分）

3. （a）平面问题中的应力分量应满足哪些条件？ （b）检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答. бx = 4x2,бy = 4y2 , τ

xy

=- 8xy

（c）在平面应变状态下，已知一组应变分量为

为非零的微小常数，试问由此求得的位移分量是否存在？（15分） 4．在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：

(a) σx?Ax?By, σy?Cx?Dy, ?xy?Ex?Fy;(b) σx?A(x2?y2), σy?B(x2?y2), ?xy?Cxy;（15分）

5．列出图示问题的边界条件。（16分）

6. 列出下图所示问题的全部边界条件(

，单位厚度)。在其中的小边界上，

采用圣维南原理改用积分的应力边界条件来代替。 （20分）

7.矩形截面的柱体受到顶部的集中力2F和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数Φ?Ay2?Bxy?Cxy3?Dy3求解其应力分量。（20分）

8.半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数Φ= ρ2(Bsin2φ+Cφ)求解应力分量。（20分）

9.图示的三角形悬臂梁，在上边界y = 0受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数

Φ?C[ρ2(α?φ)?ρ2sinφcosφ?ρ2cos2φtanα],求出其应力分量。（20分）

qo???xy

10.挡水墙的密度为ρ1，厚度为b,如图所示,水的密度为ρ2，试求应力分量。（20分）

参考答案

一、

1-5 D B C C C 6-10 D D D A D 11-15 A D A A B 16-20 B D B C C 二、

1.应力，应变，位移 2.各点的弹性常数 3.σx, σy,?xy 4.很长的等截面柱体 5.18Mpa

6.几何方程，位移单值条件 7.a/l，0（l是斜面的方向余弦） 8.E/(1??2),?/(1??) 9.主要边界，次要边界 10.有关，几乎无关 11.平衡微分方程

12.有，无 13.0，-μ（σx－σy）／z，μ（σx－σy），0 14.?x??p,?y??p,?xy?0 15.分布，静力等效 16.不计体力或体力为常数 17. 产生，不产生

18.位移单值条件 19.不正确的 20. 内力，内力，应力 三、

1.×所给应变分量满足相容方程，所以该应变状态是可能存在的。 2.√因为u与x无关，所以?x??u|(x,a)?0。 ?x3.×对于平面应变问题，物体应为等截面的柱体。 4.√相容方程中的每一项都是应力函数的四阶导数。

5.√各截面受相同的弯矩，因此，各截面的应力分布相同，但转角与?有关。 6.√应力轴对称时，应力分量与?无关，位移分量通常与?有关。但约束也为轴对称时，位移分量也与?无关，此时为位移轴对称情况。

7. × 体力是其他物体作用于研究对象体积内的的作用力，因此属于外力。 8.×如果弹性体是多连体或者有位移边界，需要通过胡克定理由应力求出应变，再对几何方程积分求出位移，将其代入位移边界和位移单值条件，并由此确定待定常数时，将与弹性常数有关。

9.× 若A，B存在，当r?0时，则必产生无限大的应力，这显然不合理。 10.×应用圣维南原理（作静力等效替换）影响的区域大致与构件的横向尺寸相当。因此，对于跨度与截面高度相当的深梁，显然是不能用静力等效边界条件的。 11.×三次及三次以上的应力函数所能解答的问题与坐标系的选取有关。 12.√代入相容方程检验。

13.√ 端部法向面力必须沿截面高度按线性规律分布于端部，否则得到的是圣维南近似解。 四、

1、解：将题给应力分量表达式代入平面问题的平衡微分方程，得：

111A?,B??,C?

6322. 解：本题应按逆解法求解。

首先校核相容方程，▽4Φ = 0是满足的。 然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：

qρcos3φ,aqρσφ?cos3φ,aqρτρφ?sin3φ。a

σρ?? 再求出边界上的面力：

???30?面上，??a面上,???0，?????????qcos3?,???q?;a?qsin3?。

3. (a) 平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、多连体中的位移单值条件

(b) 代入相容方程，不满足相容方程，不是可能的解答 (c) 代入相容方程，不满足相容方程，由此求得的位移分量不存在 4. 解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：

（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件。 （a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F, D=-E 此外，还应满足应力边界条件。

（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A + B = 0

为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =－C/2 上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。 5. 解：在主要边界x= 0，b，应精确满足下列边界条件：

x?0 σx???gy, ?xy?0;x?l σx?0, ?xy ??q。在小边界y = 0，列出三个积分的边界条件，当板厚??1时，

3F,?02b3F (?)xdx??b,?0yy?04bF(?)dx??。?0yxy?02b(?y)y?0dx??对于y = h的小边界可以不必校核。

6.（1）,

（2）（

,（4）

,

,

3

）

(也可用三个积分的应力边界条件代替)

7. 解：应用上述应力函数求解： (1)代入相容方程，

满足。

(2)求应力分量，在无体力下，

σx?A?6Cxy?6Dy,σy?0,

?xy??(B?3Cy2)。（3）考察边界条件，在主要边界(y??b/2),

y??b/2, σy?0, 满足； ?xy3??q, B?Cb2?q.4(a)

在小边界x= 0,

?h/2?h/2(σx)x?0dy??F， b/2-b/2 (Ay?3Dy2)F??F,得A ?? .b

??h/2?h/2(σx)x?0ydy??M,b/2-b/2y2 (A?2Dy3)2h/2?h/2??M,得D??2M;3b

(?xy)x?0dy??F， b/2-b/2 ?(By?Cy3)1F??F，得B?Cb2?。(b)4b再由(a),(b)式解出

C?2F13F(q?), B??(q?). b2b2b代入，得应力解答，

F12F12M??2(q?)xy?3y,?bbbb??σy?0,?

?13F6F2??xy?(q?)?2(q?)y。?2bbb?σx??8. 解：首先检验Φ，已满足▽4Φ = 0。由 Φ 求应力，代入应力公式得

????2Bsin2??2C?,???2Bsin2??2C?,

再考察边界条件。注意本题有两个φ面,即φ= ±π/2，分别为±φ面。 在±φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

?????2Bcos2??C。

因此，有

(??)????2?0,(???)????2??q,得C?0;得B??q2。

代入公式，得应力解答，

???qsin2?,????qsin2?,

9. 解：应力函数Φ应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数

C?q2(tan???)。????qcos2?。

得出的应力解答是

q?(α?φ?sinφcosφ?tanαsin2φ),?tanα?α?q?2σφ?(α?φ?sinφcosφ?tanαcosφ),?tanα?α?q?τρφ?(sin2φ?tanαsinφcosφ)。?tanα?α? σρ? 在截面 mn上，正应力和切应力为

q?(α?φ?sinφcosφ),??tanα?α?q2?τxy??sinφ。?tanα?α? σx?10、 解：用半逆解法求解。 （1） 假设应力分量的函数形式。

因为在 y=-b/2边界上，σy=0，y=b/2边界上，σy=ρ2gx，所以可假设在

区内σy沿x 向也应是一次式变化，即 σy = x f ( y )

（2） 按应力函数的形式，由 σy 推测 Φ 的形式，

?2Φ σy?2?xf(y),?x?Φx2则 ? f(y)?f1(y) ,? x2x3 Φ?f(y)?xf1(y)?f2(y).6

（3） 由相容方程求应力函数。代入▽4Φ = 0得

x3d4fd4f1d4f2d2f?x??2x?0.44426dydydydy 要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f?0 , 得 f?Ay3?By2?Cy?D;4dyd4f1d2fA5B4?2?0, 得 f??y?y?Gy3?Hy2?Iy;142dydy106d4f2?0 , 得 f2?Ey3?Fy2.4dy

代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。 （4）由应力函数求解应力分量。将Φ代入式(2-24) ,注意体力fx=ρ1g，fy=0，求得应力分量为

?2ΦB σx?2?xfx?x3(Ay?)?y3 ?x(?2Ay3?2By2?6Gy?2H)?(6Ey?2F)??1gx,?2Φσy?2?yfy?x(Ay3?By2?Cy?D),?x?2Φx2τxy????(3Ay2?2By?C)?x?y2A2B3 ?(y4?y?3Gy2?2Hy?I).23

（5）考察边界条件：

主要边界y = ± b / 2上,有

(σy )y?b/2b3b2b???2gx, 得 x(A?B?C?D)???2gx; (a)842b3b2b?0, 得 x(?A?B?C?D)?0;842(b)(σy )y??b/2x23b2(?xy )y??b/2?0, 得 ? (A ?Bb?C)24b4b33b2 ?(A?B?G?Hb?I)?0.32124

由上式得到

3b2A ?Bb?C?0 (c,d)4b4b33b2A?B?G?Hb?I?0 (e,f)32124

求解各系数，由

b21(a)?(b)得 B? D???2g, 42b3b1(a)?(b)得 A?C???2g , 8221(c)?(d)得 B ?0, D? ??2g , 23b2(c)?(d)得 A?C?0。 4

由此得

A?23?g, C???2g。 23b2b

又有

(e)?(f)得 H?0，b43b2(e)?(f)得 A?G?I?0 .324

代入 A ,得

b3b2I??2g?G . 164(g)

在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：

???b/2?b/2b/2(σx )x?0dy?0, 得 F?0 ;(σx )x?0ydy?0, 得 E?0 ;bb2(?xy )x?0dy?0, 得 I??2g?G . (h)804

?b/2b/2?b/2 由式(g),(h)解出

I??b1?2g, G??2g . 8010b

代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：