01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n取1．数学归纳法的内容如下：一个□03假设当n＝k(k∈N*，第一个值n0(例如n0＝1或n0＝2等)时结论正确，(2)□且k≥n0)04这个命题对n时结论正确，能够证明当n＝k＋1时结论也正确，那么可以断定□∈N*且n≥n0的所有正整数都成立．

05递推的基础，062．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□第二步的作用是□递推的依据．

07演绎推理法的一种，08严格的证明方法，3．数学归纳法实质上是□它是一种□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 它只能□11归纳—猜想—证明的思想方4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的法，既可以□思想方法．

14缺一不可，并且在第二步的推理证明5．用数学归纳法证明命题时，两步□15归纳假设，否则不是数学归纳法． 中必须用□

对数学归纳法本质的理解

数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．

(1)有n个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？

(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度)

(3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)

(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？

(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)

利用②利用②利用②

第一张骨牌第二张骨牌第三张骨牌

――→――→――→…

被推倒被推倒被推倒

运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：

(1)当n＝1时，结论成立；

(2)假设当n＝k时结论成立，证明n＝k＋1时结论也必定成立． 利用?2?利用?2?利用?2?当n＝1时当n＝2时当n＝3时

――→――→――→…

结论成立结论成立结论成立

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做

1111

(1)已知f(n)＝n＋＋＋…＋n2，则f(n)共有________项，f(2)＝________.

n＋1n＋2(2)定义一种运算“*”，对于正整数n，满足以下运算性质：①1] . 1111

(3)设Sk＝＋＋＋…＋2k，则Sk＋1＝________(用含Sk的代数式表

k＋1k＋2k＋3示)．

111

答案 (1)n2－n＋1 2＋3＋4 (2)2×3n－1 (3)Sk＋

11－ 2k＋12k＋2

探究1 用数学归纳法证明等式问题 例1 已知n∈N*，用数学归纳法证明： 111

1－2＋3－4＋…＋11111－2n＝＋＋…＋2n. 2n－1n＋1n＋2

111

[证明] ①当n＝1时，左边＝1－2＝2，右边＝2，命题成立． ②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即 111111111－2＋3－4＋…＋－2k＝＋＋…＋2k.

2k－1k＋1k＋2那么当n＝k＋1时，

1111111111

左边＝1－2＋3－4＋…＋－2k＋－＝＋＋…＋2k＋

2k－12k＋12k＋2k＋1k＋211111111111

－＝＋＋…＋2k＋＋－＝＋＋…＋2k2k＋12k＋2k＋2k＋32k＋1k＋12k＋2k＋2k＋3＋

11

＋＝右边． 2k＋12k＋2

故当n＝k＋1时，命题也成立．

综上可知，命题对一切非零自然数都成立． 拓展提升

用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．

1??1??1??1?n＋1?

?1－16?…?1－n2?＝【跟踪训练1】 用数学归纳法证明：?1－4??1－9?·

2n????????(n≥2，n∈N*)．

证明 ①当n＝2时，

2＋1313

左边＝1－4＝4，右边＝＝，

2×24∴左边＝右边．∴当n＝2时，等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 1??1??1?k＋1?

即?1－4??1－9?…?1－k2?＝2k， ??????那么，当n＝k＋1时，

1?1??1??1???

?1－4??1－9?…?1－k2??1－?k＋1?2? ????????1?k＋1k?k＋2?k＋1?k＋2

1－??＝2k＝ ?k＋1?2?＝2k·?k＋1?22?k＋1??＝

?k＋1?＋1

，

2?k＋1?

即当n＝k＋1时，等式也成立．

根据①②可知，等式对任意n≥2，n∈N*都成立． 探究2 用数学归纳法证明不等式问题 例2 证明不等式1＋

111

＋＋…＋<2n(n∈N*)． 23n

[证明] ①当n＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即1＋

111

＋＋…＋<2k. 23k

则当n＝k＋1时， 1＋

1111＋＋…＋＋ 23kk＋1

2kk＋1＋11

＝ k＋1k＋1

<2k＋

?k?2＋?k＋1?2＋12?k＋1?

<＝＝2k＋1.

k＋1k＋1∴当n＝k＋1时，不等式成立．

由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．