24.【答案】解：（1）如图1，过A作AN⊥OB于N，

过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，

Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10， ∴ON=OA=5，AN=5，

同理得：CD=5，BD=5， ∵四边形OACB是平行四边形， ∴OB∥AC，

∴MQ=BD=5，

当a=2时，CQ=2，OP=4， ∴BM=DQ=5-2=3，

∴PM=PB+BM=16-4+3=15， Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ==10（cm）；

=（2）分两种情况：

①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形， ∴PB=CQ， 即16-2a=a， a=；

②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，

∴PB=CQ

即2a-16=a，

a=16，此时Q与A重合， 综上，a的值为或16；

（3）分三种情况：

①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，

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∴PB=QD， 16-2a=a-5， 3a=21， a=7；

②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R， ∵C与C'关于PQ对称， ∴PQ是CC'的垂直平分线， ∴PC=PC'，CQ=C'Q， ∴∠PCC'=∠PC'C， ∵AC∥OP，

∴∠PC'C=∠QCC'， ∴∠QCC'=∠PCC'， ∵CC'⊥PQ， ∴PC=CQ=a， ∵OP=2a， ∴BP=2a-16，

Rt△BCR中，∠CBR=60°， ∴∠BCR=30°， ∵BC=10，

∴BR=5，CR=5，

∴PR=5-（2a-16）=21-2a， 由勾股定理得：a=14+2，

（舍）或14-2；

③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、CC'、C'Q， Rt△PBR中，∠PBR=60°， ∴∠BPR=30°， ∵PB=2a-16， ∴BR=BP=a-8， 同理得：CR=CQ=a， ∵BC=BR+CR， ∴a-8+a=10，a=12，

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综上，a的值为7或14-2【解析】

或12．

（1）如图1，作辅助线，构建直角三角形，计算PM和MQ的长，利用勾股定理可得PQ的长； （2）分两种情况：

①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形， ②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形， 分别根据PB=CQ列方程可得结论；

（3）存在三种情况：①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，

②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R， ③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、CC'、C'Q， 分别根据对称性和直角三角形的性质列方程可得结论．

本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，对称性等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论和数形结合思想的应用是解决问题的关键．

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