21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））

处的切线与x轴平行．

（1）求k的值；

（2）求f（x）的单调区间．

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；

（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．

【解答】解：（1）因为函数

，所以

=，

因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行， 所以f′（1）=0，即

，解得k=1；

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 由

，

令g（x）=，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，

所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数． 故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

22．如图，椭圆

的离心率为

，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面

积为8．

（Ⅰ）求椭圆M的标准方程； （Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求

的最大值及取得最大值时m的值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程； （Ⅱ） 通过

，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的

m的范围，①当取得最大值

时，求出

．③当﹣1≤m≤1时，

取得最大值取得最大值

．利用由对称性，推出．求

，

的最大值及取得最大值时m的值．

【解答】解：（I）

矩形ABCD面积为8，即2a?2b=8…② 由①②解得：a=2，b=1， ∴椭圆M的标准方程是

．

…①

（II）

由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

， ．

，

．

当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1． ①当时，有

，

，

其中t=m+3，由此知当②由对称性，可知若③当﹣1≤m≤1时，由此知，当m=0时，综上可知，当

，即

，则当，取得最大值

． 取得最大值

．

时，

取得最大值，

时，

．

取得最大值．

或m=0时，