2.3双曲线
2．2．1 双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．
◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集P?MMF1?MF2?2a． （ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．
??y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程2?2?1?a?0,b?0?．
ba（iii）例题讲解、引申与补充
FF例1 已知双曲线两个焦点分别为F1??5,0?，F2?5,0?，双曲线上一点P到1，2距
离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．
补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：① 与⊙C：?x?2??y2?2内切，且过点A?2,0?；② 与⊙C1：x2??y?1??1和⊙C2：x2??y?1??4都外切；③ 与⊙C1：
222?x?3?2?y2?9外切，且与⊙C2：?x?3??y2?1内切．
2解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆
M的半径为r．
① ∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MC?r?2，MA?r，因此有
MA?MC?2，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程
2y2是2x??1x??2；
72??② ∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴MC1?r?1，MC2?r?2，因此有
MC2?MC1?1，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，∴M的轨迹方程
是4y2?4x?1?y?3?；
??34??2③ ∵eM与eC1外切，且eM与eC2内切，∴MC1?r?3，MC2?r?1，因此MC1?MC2?4，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，∴M的轨迹
x2y2方程是??1?x?2?．
45例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速
为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为
． 340m/s；相关点均在同一平面内）
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A??1020,0?，
B?1020,0?，C?0,1020?．
设P?x,y?为巨响发生点，∵A、C同时听到巨响，∴OP所在直线为y??x……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，∴PB?PA?4?340?1360?m?．由双曲线定义知，
a?680，c?1020，∴b?3405，∴P点在双曲线方程为
x2y2??1?x??680?……②．联立①、②求出P点坐标为226805?340P?6805,6805．即巨响在正西北方向68010m处．
探究：如图，设A，B的坐标分别为??5,0?，?5,0?．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为现？
探究方法：若设点M?x,y?，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是
??4，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发94，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的9轨迹方程．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件（a）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b?c2?a2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例
子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．
练习：第60页1、2、3、
作业：第66页1、2、
2．2．2 双曲线的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）双曲线的简单几何性质
y2x2 ①范围：由双曲线的标准方程得，2?2?1?0，进一步得：x??a，或x?a．这
ba说明双曲线在不等式x??a，或x?a所表示的区域；
②对称性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
x2y2b④渐近线：直线y??x叫做双曲线2?2?1的渐近线；
aba⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e?（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线9y?16x?144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实半轴长、
22c叫做双曲线的离心率（e?1）． a