考查角度1 统计案例

分类透析一 统计图表与数字特征分析

例1 从某食品厂生产的面包中抽取100个,测量这些面包的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量[105[115指标 [75,[85,[95,,115,125值分85) 95) 105) ) ] 组 频数 8 22 37 28 5

(1)在相应位置上画出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种面包质量指标值的平均数X(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定”?

分析 (1)根据题设中的数据,可画出频率分布直方图; (2)利用平均数的计算公式,可求得平均数X;

(3)计算质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值,再做出判断.

解析 (1)画图.

(2)质量指标值的样本平均数为

=80×0.08+90×0.22+100×0.37+110×0.28+120×0.05=100.

所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为100. (3)质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值为0.22+0.37+0.28+0.05=0.92,

由于该估计值大于0.9,故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定”.

方法技巧 在频率分布直方图中,小矩形的高表示“频率/组距”,而不是频率;利用频率分布直方图求平均数时,平均数是频率分布直方图的“重心”,可以估计为频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 分类透析二 线性回归的综合应用

例2 某市为了引导居民合理用水,居民生活用水实行二级阶梯式水价计算办法,具体如下:第一阶梯,每户居民月用水量不超过12吨,价格为4元/吨;第二阶梯,每户居民月用水量超过12吨,超过部分的价格为8元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照

[0,2],(2,4],…,(14,16](全市居民月用水量均不超过16吨)分成8组,制成了如图①所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中字母a的值,并求该组的频率.

(2)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的中位数m的值(保留两位小数).

(3)图②是该市居民张某2018年1~6月份的月用水费y(元)与月份x的散点图,其拟合的线性回归方程是 =2x+33.若张某2018年1~7月份水费总支出为312元,试估计张某7月份的用水吨数.

分析 (1)根据矩形面积和为1可得结果; (2)利用m左右面积都是列方程可得结果;

＾

(3)根据回归直线过样本点的中心,算出前六个月平均费用,总费用减去前六个月的费用和即可得结果.

解析 (1)∵(0.02+0.04+0.08+a+0.13+0.08+0.03+0.02)×2=1, ∴a=0.10.

故第四组的频率为0.1×2=0.2.

(2)∵0.02×2+0.04×2+0.08×2+0.10×2+(m-8)×0.13=0.5,

∴m=8+ -

≈8.15.

(3)∵ =

=3.5,且 =2x+33,

＾

∴ =2×3.5+33=40.

∴张某7月份的用水费用为312-6×40=72(元), 设张某7月份的用水x吨, ∵12×4=48<72,

∴12×4+(x-12)×8=72,解得x=15. 则张某7月份用水15吨.

方法技巧 (1)要能够从统计图表中获取数据来解决问题.

(2)若已知回归直线方程,则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值;若回归直线方程有待定参数,则根据回归直线方程恒过点( , )求参数.

分类透析三 独立性检验的综合应用

例3 某校工会对全校教职工在平昌冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间做了一次调查,得到如下频数分布表: 收看时间 [0,[1,[2,[3,[4,[5,(单1) 2) 3) 4) 5) 6] 位:小时) 收看14 30 16 28 20 12 人数 (1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全2×2列联表:

男 女 合计 体育达人 40 非体育达 30 人 合计 并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关.

(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“体育达人”中任意选取2名做冬奥会知识讲座.求取出的2名“体育达人”中至少有1名女职工的概率.

附表及公式: P(K2 0.10.10.00.00.00.00.0≥k0) 5 0 5 25 10 05 01 .02.73.85.06.67.810.k0 272 06 41 24 35 79 828

附:K=( ( ( ( (其中n=a+b+c+d为样本容量). 分析 (1)根据表格中的数据,计算K2,对照附表,做出判断;

(2)先利用分层抽样方法抽取6名“体育达人”,并确定其中男女职工人数,再利用概率知识求解即可.

解析 (1)由题意得下表: 男 女 合计 体育达人 40 20 60 非体育达30 30 60 人 合计 70 50 120 2

( -

k= ( -

所以有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关.

(2)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工(记作a,b,c,d),2名女职工(记作m,n),

= >2.706.