设函数f(x)?13mx?(4?m)x2，g(x)?alnx，其中a?0． 3（1）若函数y?g(x)图象恒过定点M,且点M在y?f(x)的图象上,求m的值； （2）当a?8时,设F(x)?f'(x)?g(x),讨论F(x)的单调性； （3）在(1)的条件下,设G(x)???f(x),x?1,曲线y?G(x)上是否存在两点P、 Q,使?OPQ (O为

?g(x),x?1原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中 点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由．

22. （本小题满分10分）

已知曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线错误!未找到引用源。过点错误!未找到引用源。且倾斜角为450，直线l与曲线C分别交于

M,N两点.

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）若错误!未找到引用源。成等比数列,求错误!未找到引用源。的值．

2019-2020学年江西省南康中学高二下学期第三次大考

数学（理）试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 C 6 A 7 A 8 D 9 C 10 D 11 C 12 B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上. 13、 4或6 14、

5 15、33 16、(5,??) 232三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)f(x)?由x?[??3131+cos2x1sin2x?cos2x??sin2x???sin(2x?)?1 222226?6?[??5?1212,]，?2x?2?2?3,3]

?f(x)的最小值为?1?3,最大值0.

(Ⅱ)由f(C)?0即得f(C)?sin(2C?则2C??6)?1?0，而又C?(0,?)，

?6?(??11?6,6),?2C??6??2，?C??3，则由

b?2ab?2a??即? ?22222c?a?b?2abcosC3?a?b?ab??解得a?1,b?2.

18、解：（Ⅰ）设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上（含9环，下同）”， 则P(A)?1?0.1?0.1?0.8.

甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为 P0?C3g0.8g(1?0.8)?0.008.

所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率

P?1?P0?0.992. ……6分 （Ⅱ）记事件B表示“乙运动员射击一次，击中9环以上”， 则P(B)?1?0.1?0.15?0.75.

因为X表示2次射击击中9环以上的次数，所以X的可能取值是0,1,2. 因为P(X?2)?0.8?0.75?0.6;

P(X?1)?0.8?(1?0.75)?(1?0.8)?0.75?0.35;

003 P(X?0)?(1?0.8)?(1?0.75)?0.05. 所以X的分布列是

X 0 1 2 P 0．05 0．35 0．6

所以EX?0?0.05?1?0.35?2?0.6?1.55. 19. 证明:(1)因为等边△ABC的边长为3,且ADDB?CEEA?12, 所以AD?1,AE?2. 在△ADE中,?DAE?60o,

由余弦定理得DE?12?22?2?1?2?cos60o?3. 因为AD2?DE2?AE2,

所以AD?DE. ………………………3分

折叠后有A1D?DE,因为二面角A1?DE?B是直二面角,

所以平面A1DE?平面BCED ,又平面A1DEI平面BCED?DE,

A1D?平面A1DE,A1D?DE, 所以A1D?平面BCED.……5分

(2)由(1)的证明,可知ED?DB,A1D?平面BCED.

以D为坐标原点,以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角 坐标系D?xyz如图 ,设PB?2a?0?2a?3?, 则BH?a,PH?3a,DH?2?a

所以A?2?a,3a,0?,E?0,3,0?,所以uPAuur1?0,0,1?,P1??a?2,?3a,1? ,

因为ED?平面ABD, 所以平面Auuur11BD的一个法向量为DE??0,3,0? , ……………9分uuuruuu

因为直线PA60o, 所以sin60o?uPArPAuur1gDEuuur?3a?31与平面A1BD所成的角为, 1DE4a2?4a?5?32a?54 ,即PB?2a?52,满足0?2a?3,符合题意,所以在线段BC上存在点P

使直线PAo1与平面A1BD所成的角为60,此时PB?52 . ………………………12分

3y2x220．解：（1）椭圆C的离心率为2，则a?2b，设椭圆C的方程为4b2?b2?1

∵椭圆C过点(1,3)，∴

324b2?14b2?1，∴b?1，a?2 解得

y2∴椭圆C的标准方程为?x2?1

4（2）由题意知，|m|?1.

易知切线l的斜率存在,设切线l的方程为y?kx?m,

?y?kx?m,?222由?y2得(k?4)x?2kmx?m?4?0 2??x?1?4设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)，则

2kmm2?4 x1?x2??2,x1x2?2k?4k?4又由l与圆x?y?1相切,所以22

|m|k2?1?1,k2?m2?1.

所以|AB|?1?k24k2m?4(m2?4)?43|m|.

2(x1?x2)?4x1x2?(1?k)[2 ?2]2m?3(k?4)k?422

S?AOB?S?AOB?23m1AB?2,|m?(??,?1]U[1,??) 2m?32323??1(当且仅当m??3时取等号) 33m?2mmm

所以当m??3时，S?AOB的最大值为1.

21．解：(1)令lnx?0,则x?1,即函数y?g(x)的图象恒过定点M(1,0),

则f(1)?1m?(4?m)?0，∴m??3 ． 32(2)F(x)?mx?2(4?m)x?8lnx,定义域为(0,??),

82mx2?(8?2m)x?8(2mx?8)(x?1)F?(x)?2mx?(8?2m)? =. =

xxxQx?0,则x?1?0,

?当m?0时,2mx?8?0,F?(x)?0, 此时F(x)在(0,??)上单调递增,