第一单元分析
升和毫升是容量单位，经常用来计量容器里容纳的液体或粉末状、颗粒状物体的体积。小学数学以往总是把升和毫升与其他常用体积单位一起，编排在高年级教学。本单元教材在教学体积之前先教学升和毫升，是因为这两个计量单位在日常生活中的应用极为广泛，几乎随时随地都可能接触到。尽量早一些教学升和毫升，既方便学生生活，又为以后教学体积积累感性认识。由于升和毫升在体积之前教学，因此采取直观认识、直观感受为主的教学方法。教学目的是让学生初步了解容量的含义以及计量单位，感受1升和1毫升的实际意义，会进行升和毫升的简单换算。感受1升和1毫升的实际意义，形成有关1升和1毫升的表象是教学重点。全单元编排四道例题，内容的具体安排如下表：例题教学内容练习编排例1容量的含义，计量容器的容量需要统一的单位例2容量单位“升”，1升的实际意义例3容量单位“毫升”，1毫升液体大约有多少例4升和毫升的进率，简单的换算
练习一
（一） 以已有的生活经验为基础，形成初步的“容量”概念
“容量”指的是容器里最多能容纳的物体的体积。为了在尚未认识体积之前先形成初步的容量概念，例1作了很细致的安排。创设了大小不同的茶杯、大小不同的冷水壶等容器盛水的直观情境，提出三个很现实的问题，引导学生联系容器里存水的事实，感受容量的含义、比较容量的大小，产生统一容量单位的需要。
1. 联系茶杯里盛水的事实，教学容量的含义。
学生都知道玻璃杯里能盛水，玻璃杯有大有小，盛的水就有多有少。例题提出的第（1）个问题“看看两个玻璃杯，说说哪一个能盛的水多”，引导学生观察情境图里的两个玻璃杯，把注意力集中到玻璃杯盛水的事实上。由大卡通“玉米”告诉学生：图中比较高的那个玻璃杯能盛的水多，这个玻璃杯的容量比较大。这里第一次出现“容量”这个词，把新的数学概念和已有的生活经验密切联系起来，有利于学生初步感受“容量”的含义。教学要注意两点：一是情境中的两个玻璃杯都是空的，里面没有盛水，“哪一个玻璃杯能盛比较多的水”是直觉条件下的想象与判断。通过这样的想象，容易体会“杯子容量”的含义。二是要用较多的时间去领悟“玉米”卡通说的哪句话，抓住“盛的水多”和“容量比较大”的内在联系，意义接受“容量”这个概念。
2. 直观判断和倒水实验相结合，教学“容量有大小”。
例1的第（2）个问题是“哪一个冷水壶的容量大一些”，进一步体会“容量”的含义。画面里有两个冷水壶，一个大些、一个小些，学生凭直观能够指出哪一个冷水壶的容量大些。教材要求验证作出的判断，在一个壶里盛满水，往另一个壶里倒，通过这样的实验来感受“冷水壶的容量”指的是什么，体会冷水壶“容量有大有小”，并证实自己的判断。为了深入体验“容量”的含义，教学这个问题可以按四步进行：第一步让学生说说“冷水壶的容量”是什么意思，引导他们把“容量”这个比较抽象的概念回归到“能盛多少水”的现实层面上，通过概念的具体化再次体会容量的含义。第二步让学生猜一猜哪个冷水壶的容量大些，调动他们的积极性。为了便于学生区分和表述，情境图里的一个冷水壶是红把手，壶体上刻了花；另一个冷水壶是黑把手，壶体上没有花。第
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三步通过倒水实验验证猜想，先在一个壶里盛满水，再把这壶水往另一个壶里倒：或是红把手壶里的水倒满黑把手壶后还剩下一些，或是黑把手壶里的水全部倒入红把手壶后尚没有满。这些倒水实验应让学生自己想出来并亲自实施，一边操作一边把“壶里盛的水”和“壶的容量”联系起来，反复感受“容量”的含义。第四步确认问题的答案，并作出解释：因为红把手壶里能盛的水多，所以它的容量大。
配合例1和例2的“练一练”第1题，在一个杯子里装满水，把这杯水分别往另两个杯子里倒，分别出现倒不满、倒不下的情况，根据这些现象判断三个杯子的容量谁最大、谁最小，让学生继续体会“容量”的含义。
3. 准确测量或计算容器的容量，需要使用统一的容量单位。
例题的第（3）个问题“（红把手水壶）的容量是多少？”让学生体验测量容器的容量需要统一的容量单位。教学可以分三步进行：首先让学生说说“水壶的容量是多少”这句话的意思，用“水壶能容纳多少液体”来解释，再次在抽象概念具体化的过程中体会“容量”的含义，并思考测量水壶容量的方法。其次观察教材插图，如果把一壶水倒入较小的杯子，刚好5杯；倒入较大的杯子，刚好4杯。最后体会用不同的单位测量冷水壶的容量，其结果的表达不同，为了便于测量和交流，应该使用统一的计量单位。
通过上面的分析可以看到，这道例题的教学重点是“容量”的概念。学生初步认识容量的线索是“感性材料——数学含义——概念的具体化”，教材设计的一系列活动都承载在这条认知线索上，都是为概念教学服务的。
（二） 教学升和毫升，让学生体会它们的实际意义
教学升和毫升各编排一道例题，都设计了从实际生活引出单位名称、体验1个单位有多少、自制简易量器、测量常见容器的容积等教学活动。
1. 现实背景中出现升和毫升，引出容量单位。
例2呈现了瓶装酱油、食用油、果汁和桶装纯净水等图片，在每一幅图的旁边都标注了“×升”或“×L”，表示有关容器里装了多少液体。例3呈现了瓶装的饮料、药水等图片，在图片旁边标注了“×毫升”或“×mL”。这两道例题让学生在现实的情境中，体会升和毫升都是常用的表示液体有多少的计量单位，在日常生活中经常应用。同时体会这两个单位有各自的使用场合，升是比毫升大的容量单位，较大的容器、较多的液体常用“升”作计量单位，较小的容器、较少的液体常用“毫升”作单位。
教学这两道例题，要让学生看图说说瓶里各装了些什么，装了多少，分别使用了什么计量单位；想想生活中这些瓶实际有多大、这些液体实际有多少；议议这两道例题为什么使用不同的计量单位。从而对升和毫升分别产生鲜明的第一印象。
2. 设计多种活动，让学生感受1个单位的液体有多少。
学生知道升和毫升是计量液体有多少的单位以后，会希望知道1升、1毫升液体各有多少，教材及时满足他们的需要。例2用量杯量出1升水，把这些水倒入棱长1分米的正方体容器里，正好装满，没有剩余。这个现象让学生知道，这样的正方体容器盛的水是1升。设计这个实验有两点原因：一是学生对正方体比较熟悉，又知道1分米是多长，所以对棱长1分米正方体容器的大小有感性经验，正是这点经验能帮助他们感受1升的实际意义。二是在实验中带出了计量液体有多少的常用工具——“量杯”，它能方
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便且准确地测量液体有多少，在后面的教学中还会使用量杯。在这个实验中，1升水是从量杯里看出来的，棱长1分米的容器是制作的或选择的，由于还没有教学体积的知识，所以还不能揭示1升就是1立方分米。例3使用的滴管，也是计量液体有多少的工具。先用滴管吸入1毫升水，看看有多少，感受1毫升水很少。再把滴管里的水滴在手心上，数数大约是几滴，进一步体会1毫升水有多少。
教材设计的实验与操作，能帮助学生体会1升和1毫升的实际意义，能使获得的知识印象深刻、记忆牢固。实验与操作必须在教学中得到落实，有条件的学校可以安排学生分小组进行，不具备条件的学校也应该由教师演示给学生看。在实验与操作中，要引导学生关注其中的数学内容，仔细体会通过实验能够知道什么、得出什么。
3. “动手做”指导学生制作并使用简单的量器。
量杯、滴管等计量液体有多少的工具，使用方便、测量准确。但是，一般家庭里不会有这些工具。本单元的“动手做”指导学生制作并使用1升的量器。
教材图文结合，示范做量器的方法：选择一个上下一样粗细的瓶，往瓶里倒入1升水；在瓶上贴一张纸条，在1升处做上记号；把1升处以下的部分平均分成4份，分别做上14升、24升、34升等记号。用这个量器能够比较准确地量出1升、14升、24升、34升水。
使用自己制作的量器，体验1升水有多少：用1升的量器量出1升水，分别倒入大小不同的盆里、锅里，看看水面在哪里，体会1升水有多少，并估计各个容器的容量大约各是多少。
除了上述的制作量器，教材里还有许多感受1升或若干毫升的活动。如，量出1升水，倒入同样大的纸杯中，看看能倒满几杯，既体验1升水有多少，又体验1个纸杯能盛多少水。又如，把50毫升水分别倒入一个碗里、一个茶杯里、一个圆柱形容器里，看看水面各在哪里，体验50毫升水是多少。再如，倒100毫升饮料，数一数多少口能够喝完，算一算喝一口大约多少毫升，体验100毫升是多少。
4. 设计一些活动和练习题，帮助学生积累生活常识，在应用知识的过程中形成初步的升与毫升的观念。
组织学生应用学到的知识，既体现了数学有广泛的应用价值，又能在应用中进一步加强对知识的理解。教材多角度、多渠道地引导学生应用升和毫升解决实际问题。
（1） 留心观察，采集数据。
配合例2的“练一练”第2题，说说图画里标注的热水器、电饭煲、热水瓶的容量各是多少升；配合例3的“练一练”第1题，说说图画里标注的针筒、输液袋、口服液瓶里各装了多少毫升液体；练习一第11题，阅读儿童止咳糖浆的使用说明书；第12题，到商店去看一看，哪些商品用升作计量单位，哪些商品用毫升作计量单位。学生通过上面的活动，能够了解常见容器的容量，丰富生活常识，积累生活经验。
（2） 合理选择，正确使用。
练习一第3题，说出压力锅、洗脸盆、洗菜池、浴缸的容量各是多少升；第6题，说出1小瓶药水、1盒牛奶、1瓶墨水、1瓶果汁各是多少毫升。这些都是生活中经常使用的容器和经常接触的商品，应该让学生知道它们的容量大约是多少。考虑到学生直接
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说出各个容器、各个商品的容量会有困难，教材采用“选择题”的形式呈现，在三个备选答案中选择一个比较恰当的数据，作为相关的容量。选择数据不能是随意的，应该有思考地进行。如洗脸盆的容量，可以这样想：1升水放在盆里，水面大约在哪里？10升水放在盆里会怎样？这个盆能盛100升水吗？经过这些思辨，选择的答案才会合理，学生头脑里的“升”与“毫升”的概念才会越来越清楚。
练习一第7题，计量热水瓶、奶瓶、水杯、水桶的容量，用升作单位还是用毫升作单位？第8题计量一鱼缸水、一瓶酱油、一锅水、一汤勺水各有多少，采用升作单位还是采用毫升作单位？回答这些问题，要利用自己头脑里的1升、1毫升的概念，还要联系对这些容器的了解，才能作出恰当的判断。如，热水瓶的容量比1升大，计量热水瓶容量用升作单位比较恰当；汤勺很小，一汤勺水远没有1升，用毫升为单位比较适当。为此，教材在练习一第2题就安排学生判断陶瓷汤罐、易拉罐、烧水壶、牛奶瓶等容器的容量，哪些比1升大、哪些比1升小的练习。
5. 教学升与毫升间的进率，进行简单的换算。
例4教学升与毫升的进率，并在“练一练”和练习一里安排部分练习题，巩固和应用进率的知识。
例题呈现两个同样的较小量杯，每个量杯里都盛了500毫升水。先算出2杯水一共1000毫升，再把这2杯水倒入一个较大的量杯里，看出一共有1升水。这些水是1000毫升，也是1升，由此得出“1升=1000毫升”。可见，升与毫升的进率是通过实验得出的，教学要组织学生开展上述实验，并进行有关的推理，体验升与毫升之间的进率关系。
应用进率进行的换算比较简单。配合例4的“练一练”第3题，把4升和9升分别换算成毫升为单位的数量，把2000毫升和5000毫升分别换算成升为单位的数量。这些换算都很容易，与第一学段把5千米换算成5000米，把3000克换算成3千克很相似，学生有能力独立进行升与毫升的换算。教学时，应该要求学生利用1升=1000毫升或1000毫升=1升推理出结果，并说出自己的思考过程。
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第二单元分析
本单元在两、三位数除以一位数的基础上编排，重点教学两、三位数除以两位数的笔算（一些比较容易的两、三位数除以两位数，可以口算）。从除数是一位数的除法到除数是两位数的除法，其间有相当大的跨越。为了便于学生掌握两、三位数除以两位数的笔算，教材穿插安排了相应的口算、估算以及解决实际问题的教学。全单元编排八道例题、四个练习，还有全单元内容的整理与练习，具体安排见下表：
例1几十（含几百几十）除以几十的口算与竖式的写法 两、三位数除以几十商是一位数的除法笔算 例2三位数除以几十商是两位数的笔算 除数是整十数的除法法则 例3除数是两位数的除法的试商 例4用连除解决的两步计算实际问题 例5、例6除数是两位数的除法的调商 例7商不变规律
例8应用商不变规律进行除法计算 全单元内容的整理与练习
两、三位数除以两位数的除法是有计算法则的，主要讲述除的顺序（先除什么、再除什么），以及商的位置（商的十位在哪里、个位在哪里）。除数是整十数的除法法则适用于所有除数是两位数的除法，在例2里形成的除数是整十数的除法计算法则，在例3、例4里可以直接应用于除数是一般两位数的除法。
除数是两位数的除法要转化成除数是整十数的除法进行试商，学生需要先掌握除数是整十数的除法，以此为基础才能学会除数是两位数的除法试商。
笔算两、三位数除以两位数，试商和调商是教学重点，也是教学难点。人们已有的试商方法很多，把除数看成最接近的整十数，是最常用、最基本的试商方法。学生有找到某个两位数最接近几十的能力，只需要一道例题就能完成试商方法的教学。初商有时会过大或过小，这就要调商。初商过大与过小的表现不同，调商的方向与方法也不同。因此，需要两道例题来教学调商的两种情况。
小学阶段整数除法的教学到本单元就要结束了，应用除法解决稍复杂的实际问题，有利于学生掌握两、三位数除以两位数的除法。探索、发现并简单应用除法的“商不变规律”，能进一步提高学生的除法计算能力，也为以后教学小数除法储备基础知识。
（一） 教学两、三位数除以几十商是一位数的除法，先口算出商，再写出竖式，作了细致的安排
例1的被除数是两位数，除数是整十数，商是一位数。以最容易的几十除以几十（60÷20）为起点，逐步发展到几十几除以几十（96÷20）、几百几十除以几十（150÷30）、非整十的三位数除以几十（114÷30）的竖式计算，帮助学生逐步学会求商的思考方法，初步学会用竖式计算除法。
1. 几十除以几十是两位数除以两位数里最容易的计算，也是最基本的计算。掌握这些计算，将为全单元的教学打下坚实的基础。
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例1教学60÷20，“试一试”带出96÷20和150÷30，这些除法既要口算出商，还要写出竖式。必须看到，“口算”是这些除法求商的主要方法，“竖式”是在口算出商以后才写出的。学生掌握这些口算，学会写出竖式，才能理解商在竖式上的位置，才能学习后面的两、三位数除以两位数的试商与调商。
学生看到除法60÷20，一般都能够说出商“3”。如果整理得出商的思路，一些人会像“萝卜”卡通那样“算除法、想乘法”：因为20×3=60，所以60÷20=3；一些人会像“辣椒”卡通那样“从表内除法类推”：因为6÷2=3，所以60÷20=3。这些思路都正确可行，前一种思路利用乘、除法的关系，比较严密；后一种思路由于还没有学习除法的商不变规律，暂时只能类比推理。配合例1的“练一练”编排四个计算题组，引导学生从表内除法类推出相应的几十（几百几十或几百）除以几十的商，掌握口算求商的方法。不要把“萝卜”与“辣椒”的算法对立起来、隔裂开来，因为利用乘法口诀计算表内除法就在“算除法、想乘法”。
计算60÷20还要写出竖式。学生已经会笔算两、三位数除以一位数，联系已有的经验，能够把被除数和除数写成20）60。教学这个竖式要把力量放在“3为什么写在个位上”。教材通过“茄子”卡通提出这个问题，让学生注意“3”是一位数，应该写在商的个位上。如果“3”不写在个位上，就不表示3，而是30或其他数了。
2. 两位数除以几十、几百几十除以几十（商是一位数）的计算，仍然要先口算出商，再写出竖式。
“试一试”计算96÷20，得出它的商，可以想“20×（4）的积既小于96，又最接近96”；也可以想“9÷2商（4）”。这些都是已有的经验，学生应该能这样思考和求商。教材让学生完成竖式，利用“□”规定商的书写位置，以及把商与除数相乘，并算出余数，引导学生把除数是一位数的除法计算经验迁移到两位数除以几十的上面。
“试一试”还要计算150÷30，学生得出商“5”不会有困难。教材突出竖式中商的位置，利用“□”指出“5”应写在个位上，接下来的商乘除数就让学生自主完成了。
还要注意的是，教材要求验算96÷20和150÷30的计算。在两、三位数除以一位数里，通常用“商×除数”或“商×除数+余数”来检验除法计算。现在仍然用这些方法进行验算。验算不仅是一种良好的习惯与态度，还是一种重要的学习策略。对于已经知道算法的计算，验算能保证计算正确；在探索新的算法时，验算能检验新算法是否正确。
3. 加强最基本的求商练习。
口算出两位数除以几十以及三位数除以几十（商一位数）的商，是两、三位数除以两位数除法的基本功。学生必须正确地、比较熟练地口算出两、三位数除以几十的商。练习二的第1、2、3题为此而编排，这三道题的共同点在于口算出商。第2、3两题在得出商以后还写出竖式，有助于学生熟悉两、三位数除以两位数的竖式的写法，体验商的位置。
（二） 商是两位数的除法一般采用笔算，着重教学除的顺序以及商的位置，并且结合商是一位数的除法，初步形成两、三位数除以两位数的计算法则
例2计算380÷30，它的商是两位数，应分两步分别得出商的十位上和个位上的数。
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“试一试”计算425÷30和425÷50，它们的商分别是两位数和一位数，从这两题得出两、三位数除以几十的计算法则。
1. 教学商是两位数的除法，先估计商大约是多少，再进行笔算。
例1及其“试一试”的商都是一位数，可以直接在个位上写商。例2和例1不同，380÷30的商是两位数，为了克服思维定势的负面影响，教材先安排估计380÷30的商大约是多少，通过估计知道商是十几，激活两、三位数除以一位数商是两位数的计算经验，理解380÷30应该分两步除。
估计380÷30的商大约是多少，要找到商所在的范围，其思考和表述应该是多样的和富有个性的。如，因为30×10＜380，所以380÷30的商可能比10大；因为30×20>380，所以380÷30的商比20小；因为380÷30的商比10大，比20小，所以商是十几。无论哪一种估计，其结果都应聚焦于“380÷30的商是两位数”。于是联系两位数除以一位数，商是两位数的计算经验，明白380÷30应该分两步除，先得出商十位上的数，再得出商个位上的数。
例题笔算380÷30，已经写出的竖式上，商的十位上是1，要求学生思考并解释“（这里的）1为什么写在十位上”。既可以从“38个十除以30得1个十”来说明，也可以从“380÷30的商是十几（即一个十和几个一）”来说明。被除数十位上余下来的数要和个位上的数合起来继续除，是已有的经验。因此，让学生思考“接下去怎样算”并继续完成竖式计算。
2. 计算教学应该尽量形成计算法则，在“得出法则、理解法则、应用法则”的过程中发展智力，培养能力。
四则计算是有法则的，法则高度概括了计算的步骤、方法与要领，是后面进行同类计算的操作依据。新课程主张让学生在探索算法的实践中形成法则，不仅知道法则所说的计算行为，而且懂得为什么这样计算的道理。所以，教材没有把除法法则直接呈现出来，而是把总结法则的机会留给学生，通过“和同学说一说，除数是整十数的除法可以怎样计算”，引导学生初步得出法则。一方面可以应用法则计算同类型的除法，另一方面作为两、三位数除以两位数计算法则的孕伏。
“试一试”给出的425÷30和425÷50，分别是例2和例1教学的除法。让学生计算这两道题，既消化商是两位数的除法计算方法，又重温商是一位数的除法计算。比一比这两道题的计算，从商的位数不同，追溯到除的步骤不同，根据被除数425的前两位“42”比除数30大、比除数50小，判断每一道除法题的第一步应该怎样做，由此得出除数是两位数的除法法则。教学可以抓住三位数除以整十数的计算要点，突出“怎样除”和“商写在哪里”，概括出计算法则。三位数除以整十数的算法一般表述成两句话：先用被除数前两位上的数除以除数，商写在十位上面；如果被除数前两位上的数比除数小，就用三位数除以除数，商写在个位上面。
3. 设计多种形式的练习题，帮助学生逐步掌握计算法则。
（1） “练一练”口答350里面最多有（）个40，542里面最多有（）个80，进一步提高求商的能力。这是本单元最基本的能力，教学应该经常安排训练。让学生先说出“最多有几个几十”，再写竖式计算，体会像这样的口答是求商的思考方法。
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（2） 练习二第6题“填□完成竖式计算”，“扶”着学生按计算法则完成商是两位数的笔算。初步进行商是两位数的除法计算，给学生适当的“扶”，能避免不必要的错误与麻烦。
（3） 练习二第7题给出三个计算题组，如324÷20和324÷60等。每组中一道除法的商是两位数，另一道除法的商是一位数。让学生“算一算、比一比”每组的两道题，体会三位数除以整十数，什么情况下商是两位数，什么情况下商是一位数，什么情况下要先除被除数的前两位，什么情况下要除被除数的前三位，从而较好地理解和掌握法则。
（4） 练习二第10题编排乘、除法口算题组，如400÷50和50×8；280÷70和70×4等。通过口算能再一次体验乘、除法之间的联系，提高口算能力，尤其是几百除以几十、几百几十除以几十的求商能力。
（5） 练习二第11题，先说出两、三位数除以整十数的商是几位数，再计算。如820÷40、624÷80等。根据被除数前两位上的数比除数大还是比除数小，按计算法则确定商是两位数还是一位数，一方面能熟练掌握法则，另一方面培养了估计的习惯。
（三） 优化试商和调商的教学方法，引导学生主动开展试商和调商的活动，培养解决问题的能力
除法的试商和调商，既是计算知识，更是计算技能。计算知识转化成计算技能，首先要使新的计算与已有认知结构发生有意义的联系，与相关的知识经验相融合，其次要经过必要的训练，使计算知识逐渐内化成个体自主计算的程序。这两点是例3、例5、例6三道例题以及练习配制的编写思想。
1. 优化试商的教材结构，引导学生主动试商。
例3教学两、三位数除以两位数竖式计算的试商。这个内容历来是除法教学的一个难点。过去，往往采用学生被动接受的教学方式，教师把试商的方法讲给他们听，示范给他们看，让学生在模仿中学习试商。结果是，一些数感较强、能够直接看出商的学生“被迫”按照规定的程序去试商，一些求商能力差的学生仍然没有学会试商。本单元教材优化试商的教学方法与过程，分以下四步进行。
第一步，按教材提示尝试计算96÷32，初步体会试商方法。例3在列出除法算式以后，由“白菜”卡通告诉学生“32接近30，把32看作30来试商。”并在竖式中除数的上面写出“30”，要求学生完成相应的计算。这一步教学要注意两点：（1） 把除数32看作30试商的意思是，把96÷30的商作为96÷32的商，看行不行。所以，96÷30商是3，96÷32的商也看作3。（2） 商“3”必须与除数32相乘，不能和30相乘，因为现在算的是96÷32。有些学生可能会直接看出96÷32商3，教学应该帮助他们获得这样的体验：看出96÷30的商更加容易，从96÷30的商是3，判断96÷32的商可能也是3，是一种试商方法，像这样的试商方法可以应用于其他两、三位数除以两位数的除法计算。
第二步，“试一试”独立计算192÷39。被除数从两位数变成三位数，除数从32变成39。教材通过“茄子”卡通提示学生“39接近几十？可以把39看作几十来试商？”引导学生从192÷40商4，得出192÷39也可能商4。再次经历把除数看成最接近的整十数试商的过程，体验试商的方法。
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第三步，回顾例3和“试一试”的求商过程，总结两、三位数除以两位数的计算方法。这里的总结，一方面是如何试商，另一方面是计算两、三位数除以两位数的除法法则。试商方法是新知识，应该认真总结。除数是两位数的除法，可以利用除数是整十数的除法求商，正像“萝卜”卡通所说的“把除数看作和它接近的整十数试商”。两、三位数除以两位数的计算法则，与两、三位数除以整十数的法则完全相同，要把以前形成的两、三位数除以整十数的计算法则扩展到两、三位数除以两位数的上面。正像“番茄”卡通说的“先用被除数的前两位除以除数”，以及“蘑菇”卡通说的“如果被除数的前两位比除数小，就用前三位除以除数。”
第四步，在“练一练”里进行试商练习。教材安排97÷23、240÷57等四道两位数除以两位数或三位数除以两位数的除法。在每一道题的除数上面写出了与它最接近的整十数，让学生看着97÷20、240÷60等式子进行试商，内化试商的方法。练习三第1题配合例3编排，给出四道两、三位数除以两位数的计算题，要求“先说说把除数分别看作几十来试商，再完成竖式计算”，让学生进一步体会试商是计算除法的重要步骤。第4题编排了像99÷33、99÷38，510÷87、510÷82这些题组，同组两题的被除数相同，除数不同。一题用“四舍”把除数看作整十数，另一题用“五入”把除数看作整十数，是除法试商的综合练习。
2. 优化调商的问题情境，引导学生主动调商。
如果试商试出的初商过大或过小，都需要调商。调商作为试商的延续与发展，能保证除法计算的正确进行，也能有效提高学生的计算能力。
当被除数小于除数与初商的乘积时，则初商过大，应该调小一些；当余数大于或等于除数时，则初商过小，需要调大一些。教材没有把这些知识机械地灌输给学生，而是通过具体情境和现实问题，让学生在识别除法计算中的一些不妥当现象以及解决这些问题的过程中，主动进行调商活动。
在除数是一位数的除法中，学生已经知道余数必须比除数小；如果遇到商乘除数的积比被除数大，知道“不够减”。这些都是教学调商可以利用的资源。
教材注意到调商是教学难点，把需要调商的两种情况分开编排，以分散难点。先安排一道例题把过大的初商适当调小，再安排一道例题把过小的初商适当调大。两道例题各编排“练一练”，并且在练习四里安排调商的综合练习。
例5在“34人一共借书272本，求平均每人借多少本”的问题情境中，尝试计算272÷34。让学生自己发现问题、自己解决问题，经历如下的过程：把除数34看作30试商，得到初商9；把初商和除数相乘，得到的积306比被除数272大。这表明初商过大，于是把商改成8，完成这道除法计算。
可以从两个方面理解“初商过大”。一是联系实际问题来理解：272本书平均分给34人，如果每人分得9本，需要306本，超过一共借的272本，所以商不是9，而是8。二是联系除法计算经验来理解：如果商乘除数的积大于被除数，表明商大了，应该调小一些。
例6在“36人一共借书252本，求平均每人借多少本”的问题情境中，尝试计算252÷36。发现并解决发生的问题，经历如下的过程：把36看作40试商，得到初商6；
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初商与除数相乘，用被除数减这个乘积，得到余数36；观察余数与除数，发现余数等于除数。这表明初商过小，于是把商改成7，完成这道除法计算。
学生也可以从两个方面来理解“初商过小”。一是联系实际问题的理解：252本书平均分给36人，每人分得6本，分掉216本，剩下36本，每人还可以再分得1本，即每人分得7本。二是根据除法计算经验理解：如果余数等于或大于除数，表明商小了，应该调大一些。
还应该联系试商，帮助学生理解初商过大或过小的原因。试商时，如果把除数看作比它小的整十数（如32看作30、64看作60），由于除数看小了，商可能会变大了；如果把除数看作比它大的整十数（如37看作40、88看作90），由于除数看大了，商可能会变小了。这些理解，有利于学生更好地试商与调商，还发展了他们的数感。
练习四里的几个题组需要注意。
第1题、第5题、第9题都设计了题组，每组两道除法题。同组两题的试商方法相同（或相近），初商相同，其中一道题不需要调商，另一道题需要调商。这些题组让学生明白：计算每一道除法都应该试商，有些题的初商就是所求的商，有些题的初商需要适当调整。
第11题编排三个题组，同组两道除法题的被除数相同，除数不同。其中一道题的除数要“四舍”看作整十数进行试商，初商要调小；另一道题的除数要“五入”看作整十数进行试商，初商要调大。这些题组有助于学生全面掌握试商方法和调商方法。
第16题编排三个题组，要求学生“说说商的最高位可能是几”，即某题的商如果是两位数，则说出商的十位上可能是几；某题的商如果是一位数，则说出商可能是几。有时，试商得到的初商不需要调整，则商的最高位上就是这个商。如612÷18的商的最高位上是3（61÷20商3，不需要调商）；186÷56的商是3（186÷60商3，不需要调商）。有时，得到的初商需要调整，回答商的最高位上的数，可以是初商，也可以是调整以后的商。如，552÷18的商的十位上可能是2（55÷20商2），也可以回答是3（调商以后是3）；604÷23的商的十位上可能是3（60÷20商3），也可以回答是2（调商以后是2）。
（四） 提供研究的内容和任务，提示研究的方法和步骤，引导学生在计算实例中感悟商不变规律
例7教学商不变规律，其现实意义有以下几点：第一，沟通表内除法与几十除以几十、几百几十除以几十等除法的内在联系，更好地利用表内除法口算稍难些的除法，提高试商的能力；第二，把类似4000÷600、5400÷800等较大数的除法转化成除数是一位数的除法进行计算；第三，为五年级计算除数是小数的除法储备基础知识。当然，在发现和得出商不变规律的过程中，还能培养观察、比较、分析能力，抽象、概括能力，判断、推理能力，就不具体展开说明了。
1. 利用共同的例子和个体的例子得出商不变规律。
一道除法题的被除数和除数如果同时乘一个不是0的数，商不变；如果同时除以一个不是0的数，商也不变。例7把被除数和除数同时乘一个数与同时除以一个数安排在一道例题里教学，可以提高效率，直接得出比较完整的规律。例题的教学过程大致安排成四步。
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第一步，集体研究100÷20这道除法题。100乘或除以一个数、20乘或除以一个数都很容易口算，而且100与20的公因数比较多，所以100÷20的被除数和除数乘或除以一个不是0的数，能够演变出许多道除法算式，这对发现商不变规律是十分有利的。教材在表格里列出了被除数和除数同时乘2、乘4、除以2、除以4等变化，已经写出或者让学生写出相应的除法算式，通过求出各道除法算式的商，清楚地显示出100÷20的被除数、除数同时乘或同时除以一个数，商保持不变。学生通过计算与填表，首次感知商不变规律。
第二步，自己找一些例子算一算、比一比，看商有没有变化，继续感知商不变规律。商不变规律是众多除法的共同规律，让学生进行广泛的实例研究，在相互交流中共享学习资源，从而体验商不变规律是除法中的普遍现象。教材的这个安排，也在培养科学的研究态度与严谨的学习习惯。应指导学生选择没有余数的除法，先求出商，再把被除数和除数同时乘或除以一个数，得到新的除法算式并求出商，然后比较算式变化前后的商，看有没有变化。
第三步，在100÷20以及自己列举的除法算式等具体素材中，提炼出商不变规律。可以先归纳出被除数和除数同时乘一个数，商不变；再归纳出被除数和除数同时除以一个数，商不变；然后合并成被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变。像这样由部分到整体的认知线索，是人们发现和总结规律的一般步骤，也符合儿童的年龄特征和智力发展水平。
第四步，再认同时乘或除以的那个数不能是0。我们已经知道，除数不能是0，因此被除数和除数不能同时除以0。如果被除数和除数同时乘0，除法算式则变成0÷0，这也是不可以的。所以，讲述商不变规律应该明确指出“0除外”。
“练一练”利用30÷6=5，让学生经历被除数和除数同时乘3、乘10、除以2、除以3，而商不变的过程，再一次体验商不变规律。练习五第5题在购买计算器的问题情境里，联系计算器的总价与数量发生相同的变化（乘或除以同一个数），单价保持不变的事实，又一次说明商不变规律的合理性和客观性。
2. 应用商不变规律，使一些除法计算简便。
有些除法，被除数和除数都是整十数、整百数或整千数，应用商不变规律能够转化成除数是一位数或两位数的除法。这种转化，能使口算与笔算简便些。正如例8第（1）小题里的900÷50可以转化成90÷5，第（2）小题900÷40可以转化成90÷4。
教学900÷50的计算，教材示范了竖式上应用商不变规律简化计算的方法与书写格式：根据除数末尾有一个“0”，在除数和被除数末尾各划去一个“0”。还通过“番茄”卡通的质疑“被除数的末尾为什么只划去一个0”，帮助学生理解这里是如何应用商不变规律的。体会如果被除数末尾划去两个0，除数末尾只划去一个0，那么被除数和除数就不是同时除以一个相同的数，商将发生变化。
教学900÷40的计算，重点放在被除数和除数同时除以一个相同的数，虽然商不变，余数却变了。这也是教学的难点。教材把这个知识点置于900元钱买单价40元的队号的实际问题里，通过可以买22把，还剩20元这个现实的答案，体会余数应该是20，不是2（40×22+20等于900，40×22+2不等于900）。另外，如果不应用商不变规律，直
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接计算900÷40得到的余数是20，也能说明被除数和除数同时除以10，商虽然不变，但余数变了。
（五） 结合除法计算的教学，解决实际问题
本单元练习里编排了许多实际问题，有些是一步计算的问题，有些是两步计算的问题，但都与除法有关。有些题学生能够独立解答，有些题编排例题教学解法。
1. 解答一步计算的问题，要有意识积累数量关系的知识。
解答一步计算的问题，学生会很快列出算式并进行计算。编排这些一步计算的问题，其目的不仅在于练习除法计算，还可以体会相应的数量关系。比如，练习二第8题，玫瑰花的总枝数÷每束的枝数=束数??剩下的枝数；第14题，水果的总箱数÷每次运的箱数=运的次数。理解和掌握常见数量关系，需要平时经常关注和积累。对数量关系有了丰富的体验，解决实际问题的能力自然就强。因此，教学一步计算的实际问题，一方面要注意学生的计算是不是正确，另一方面要让他们说说具体的数量关系。
值得注意的是练习二第15题，第一次解答已知长方形的面积和长的数量，求宽是多少的实际问题，教材希望学生按自己的想法求出长方形的宽，并联系乘、除法的关系，逐步形成有结构的数量关系式：长×宽=长方形面积，长方形面积÷长=宽，长方形面积÷宽=长。
2. 解答两步计算的实际问题，要加强解题思路的练习。
第一学段已经教学了许多两步计算的实际问题，并且以培养解决问题的策略和发展数学思考为目的，教学了从条件向问题的推理和从问题向条件的推理。本单元的练习里，编排了一些学生比较熟悉的两步计算实际问题，经常温习分析数量关系的方法，强化解题思路。学生解答这些实际问题，一般不会有困难。应该尽量让他们独立解题，并组织他们交流解题的思考。比如，练习二第14题，根据已知的300箱苹果和260箱梨，可以算出一共有多少箱水果；要求一辆汽车几次运完这些水果，需要知道一共有多少箱水果和每次能运走几箱水果。又如，练习三第6题，已知水泥厂14天生产水泥154吨，可以算出平均每天生产水泥多少吨；求生产198吨、264吨、396吨水泥各需要多少天，应该知道每天能生产水泥多少吨。
3. 教学连除计算的实际问题，进一步加强从条件向问题推理的思路。
连除问题里一般有三个已知条件，它们两两相关。比如例4，“一共224本书”“放在2个书架上”“每个书架有4层”。根据“一共224本书”和“放在2个书架上”，可以算出平均每个书架放112本；根据“2个书架”和“每个书架有4层”，可以算出一共有8层；根据“一共224本书”和“每个书架有4层”，可以算出2个上层（或2个中层、2个下层）放56本。正是这些交叉联系使连除计算的问题有多种解法，也正是这些交叉联系的相互干扰，使解题思路变得复杂、困难。
人们解决连除实际问题，一般采用从条件向问题的推理。比如，先根据“一共224本书”和“放在2个书架上”，算出平均每个书架放112本书；再联系“每个书架有4层”，算出平均每个书架每层放28本书。或者，先根据“2个书架”和“每个书架有4层”，算出一共有8层；再联系“一共224本书”，算出平均每个书架每层放28本书。当然还可以根据“一共224本书”和“每个书架有4层”，先算出2个上层（或2个中
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层、2个下层）放56本书；再联系“2个书架”，算出平均每个书架每层放28本书。
例4设计了“寻找条件与问题，分析数量关系”“用一种方法列式解答”“检验结果并回答问题”“回顾解决问题的过程，积累经验体会”四个教学板块。其中，分析数量关系要求“找出有联系的两个条件，说说可以先算什么”，这就是从条件向问题推理的策略。每个学生只要用一种思路列式计算，求出结果。鼓励不同学生采用不同思路、不同算法解题，相互交流解题的思考与方法。解决问题应该自觉检验结果，每个学生只要选择一种方法进行检验，不同学生可以采用不同方法检验；回顾解决问题过程包括：采用了什么方法？为什么采用这种方法？是怎样想到这种方法的？还有别的思考吗？还有更好的解法吗？怎样检验结果？这些反思所积累的就是解决问题的经验和能力。
教学例4还要注意以下几点。
第一，引导学生广泛收集可以用于解题的信息。这道例题图文结合创设问题情境，数据信息以几种不同方式呈现。图画里给出“每个书架有4层”一个条件，对话里给出“2个书架上一共放224本书”两个条件。教学应该引导学生在问题情境里找出这些已知条件，并且用自己的语言口述一道有三个条件和一个问题的实际问题。他们对题意的理解越清楚，解题就会越顺利。
第二，找准一个切入口，有序地推理，组织起完整的解题思路。条件之间的多重联系，既是形成解法的资源，也是分析数量关系的障碍，因为这些多重联系有可能互相干扰。所以，分析连除问题的数量关系，应抓住某两个条件之间的一种联系往下推理，先找到并解决一个中间问题，再联系另一个条件解决所求问题。如，根据“2个书架一共放224本书”，先算出平均每个书架放112本书，再联系“每个书架有4层”，算出平均每层放28本书。或者根据“每个书架有4层”和“2个书架”，先算出一共有8层，再联系“一共224本书”，算出平均每个书架每层放28本书。教材中，“番茄”和“萝卜”卡通各抓住了条件之间的一种联系，形成了自己的思路，都解决了问题。
第三，组织学生交流不同的思考和解法，体会连除问题的条件之间的联系是多向的，思路是开放的，解法是多样的，但不要求学生“一题多解”。即不进行采用不同解法解答同一道实际问题的练习。另外，关于先算两个“第一层”一共放56本书，再算“一个书架一层放28本书”的解法，如果没有学生想到，就不要出现在教学中。即使有少数学生想到，也不一定要求所有学生都接受和采纳。
第四，检验解题的结果十分重要，它不仅能保证答案正确，而且是一种负责任的态度，应该大力培养。检验连除问题答案的方法主要有两类：一类是利用“不同解法的结果相同”，相互印证“解答正确”；另一类是把求出的“每个书架每层放28本书”当作条件，看2个这样的书架是不是放224本书。也就是说，在求出“每个书架每层放28本书”以后，把实际问题改编成“每个书架有4层，平均每层放28本书，2个这样的书架一共放多少本书”这样一道连乘问题，可以检验连除问题。像这样“把得数代入原题”的检验方法，在以后的解题中会经常使用，应该帮助学生逐步学会并主动应用。
第五，回顾解决问题的过程，是为了积累数学活动经验。解题是一种数学活动，解题经验是数学活动经验的一部分。组织学生回顾解题过程，主要是说说自己的体会。教学不可以忽视这个环节，应该组织学生就“怎样思考和形成思路”“怎样分析数量关系
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和形成解题方法”“怎样检验结果”等几个方面，进行交流和总结。
（六） 设计第二学段单元的《整理与练习》，调动学生自主学习的积极性 苏教版小学数学教科书为一些大单元编排单元复习。第一学段单元复习的标题是《复习》，编排若干道练习题，通过解题回忆全单元教学的主要知识内容，体验应用知识解决问题的基本思想与方法。第二学段单元复习的标题是《整理与练习》，不仅要回忆所教学的知识，而且要整理知识内容，形成良好的认知结构；不仅要应用知识解题，而且要开展小型的实践活动，积累应用知识解决实际问题的经验；不仅要评价自己掌握知识的水平与能力，而且要全面反思自己的学习状况，形成积极向上的学习情感。《整理与练习》分“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践”“评价与反思”四个栏目编写，每个栏目都安排了具体的内容。
1. “回顾与整理”栏目里，着重回忆全单元的主要内容与重要知识，并且沟通知识之间的内在联系，组织起新的认知结构。
本单元主要教学三个数学内容：一是两、三位数除以两位数的除法，二是两步连除计算的实际问题，三是商不变规律。通过本单元的教学，学生应该知道哪些除法可以口算，哪些除法需要笔算；应该掌握两、三位数除以两位数的计算法则，试商和调商的方法；理解商不变规律并应用于某些除法计算；会分析两步连除计算实际问题的数量关系并正确解答。
教材根据本单元的内容与要求，提出问题“这一单元，你学会了哪些计算？发现了什么规律？”引导学生回忆和整理全单元的主要知识。学生的回忆很可能点点滴滴、零零星星，要帮助他们归纳出三个主要内容，并整理成合理的结构。有关除法计算的知识内容可以整理成这样几点：
（1） 比较容易的几十除以几十、几百几十除以几十的除法一般口算，如90÷30、240÷30等；两、三位数除以两位数一般笔算，如84÷17、468÷37等。
（2） 口算几十除以几十、几百几十除以几十，可以应用商不变规律，化简成一位数除以一位数、几十几除以一位数进行口算。如240÷30可以看成24÷3来计算。
（3） 笔算两、三位数除以两位数，可以看成两、三位数除以整十数来试商。得到的初商有可能过大或过小，需要适当调商。
对于除法计算还可以深入回忆与整理。两、三位数除以两位数一般怎样试商？把除数看成整十数试商有什么好处？为什么会出现初商过小或初商过大的情况？如何发现初商过小或过大？如何调商？
复习连除计算的实际问题，应该整理分析数量关系的思路。联系具体的问题，说说一般采用什么策略，怎样从条件向问题推理。
复习商不变规律，应指向具体的除法算式，说说规律的内容，说说应用规律进行计算时应注意些什么。
2. “练习与应用”栏目里，编排了11道练习题，应用本单元教学的知识，进行有关除法计算和解决实际问题。
可以利用第1题加强口算训练，利用第2题反思除法的试商和调商方法，利用第3题进行除法计算的练习，利用第6题解释商不变规律及其应用，利用第7题加强对商不
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变规律的体验，利用第8题渗透除法性质，利用第4、5、9、10、11等题体会分析数量关系、确定解题思路的方法。
第2题是除法题组，同组的三道题中，一道的除数是几十，另两道的除数是一般两位数。而且一题“四舍”试商，一题“五入”试商；有一题或两题需要调商。教学这道题，应组织“算一算”“比一比”“说一说”等学习活动，分别算出各题的商，比较同组三题的相同点和不同点，使学生有结构、有深度地理解除法法则。
第7题根据888÷24=37直接得出六道除法题的商，灵活应用商不变规律。从888÷24=37到444÷12、222÷6、111÷3，连续使用被除数和除数同时除以同一个不是0的数，商不变。再到333÷9、555÷15、999÷27，连续使用被除数和除数同时乘同一个不是0的数，商不变。看出从一道算式到另一道算式的变化，理解被除数与除数同时、同样进行变化，商不变，就加强了关于商不变规律的体验。
第8题通过题组渗透除法性质。比较360÷12与360÷3÷4等三组题，体会360除以12相当于360除以3再除以4，就渗透了除法运算的性质。
3. “探索与实践”栏目里，编排2道练习题，这些题不同于以前解答过的问题，含有新的内容，需要通过探索、实践来解决问题。
第12题，通过“每次运苹果的箱数”不变，“总箱数”越多，“运的次数”越多这个事实，加强对数量关系“总箱数÷每次运的箱数=运的次数”的体验；渗透“被除数乘2、4、5，除数不变，商也乘2、4、5”的规律，蕴含着简单的函数思想。
第13题，调查家乡到北京的路程以及主要交通工具的行驶速度，计算从家乡到北京所需要的时间，培养利用和收集数据的意识与能力。这是一次小型的实践活动。
4. “评价与反思”栏目里，回顾主要知识的学习过程以及自己的表现，通过“给自己画几颗星”的方式，评价自己的学习态度、学习方法和学习效果，培养积极的数学学习情感。
如关于除法计算的学习，态度上是不是“积极探索”“积极总结”，效果上是不是“会正确计算”。又如关于两步连除计算实际问题的学习，态度上能不能自觉运用已经学习的解决问题的策略，能不能经常反思解决问题的过程，解题水平上是不是能正确解决实际问题，是不是积累了解决问题的经验。
简单的周期分析
日常生活中经常会遇到周期现象。
《辞海》对“周期”的解释是：（1） 物体（或物体的一部分）、物理量完成一次振动（或振荡）所需要的时间。振动物体或振荡量在经过一个周期以后，回复到初始状态。（2） 天体（或其他物体）再度回到某一相对位置或恢复同一状态所需要的时间。小学数学所说的“周期”比较宽泛，主要指物体或其他对象，重复回到开始状态的现象。比
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如，一年12个月，周而复始地一月、二月、三月??十二月；一星期工作5天、休息2天，工作5天、休息2天??依次不断重复；春、夏、秋、冬??四季轮回等。这些现象都有一种“循环出现”的结构，这种具有确定结构的现象我们称之为“周期现象”。
本次探索规律，把贴近学生的生活和认知水平的简单周期现象作为研究对象，着重观察若干个物体有规律的排列，发现并描述排列规律，还要根据周期规律对后续排列作出判断。这些内容与任务，能激发探索规律的热情，提高发现规律的能力，培养遵循和利用规律的态度。教材按“初步观察周期排列现象——深入研究周期规律——根据周期规律作出简单判断——回顾探索规律过程”的线索编写。
（一） 在“初步观察周期排列现象”环节，教材呈现一幅情境图，由近到远依次是盆花、彩灯、彩旗，它们都有规律地摆放着
摆放的顺序（即周期规律）都表现在颜色上，比较醒目，容易看出来。“白菜”卡通问学生“盆花、彩灯、彩旗的排列有什么共同特点？”引导学生关注这些物体的“排列”，寻找它们排列的共同点。通过仔细观察与比较，体会“盆花、彩灯、彩旗的排列都是有规律的”，“三种物体都是一组一组地排列的”，“同一种物体中，每组的排列完全相同”。学生获得的这些体会，就是对简单周期现象的初步感受，表明他们已经进入研究周期规律的学习状态。
（二） “深入研究周期规律”环节是探索活动的重点所在
先研究盆花的排列规律，再研究彩灯、彩旗的排列规律。盆花的排列规律是重中之重，对它的研究会影响对彩灯、彩旗的研究。情境图中，盆花的摆放是蓝花、黄花、红花、蓝花、黄花、红花、蓝花、黄花、红花。很清楚盆花的摆放是“3盆为一组”，各组都按“蓝花、黄花、红花”的顺序排列。学生看到并说出这两点，就了解了盆花的排列规律。交流发现的排列规律，可以用语言描述，说出上述的两点。也可以用其他方式与方法。如，写出“蓝、黄、红、蓝、黄、红、蓝、黄、红”，或者选三种不同形状（不同颜色）的图形（符号）分别表示蓝花、黄花和红花，用三种图形的有序排列来表示盆花的排列。总之，研究盆花排列中的周期规律，应该明白把几盆看作一个周期，同一周期内是怎样排列的，应该培养表达规律的习惯或能力。
彩灯的排列规律、彩旗的排列规律，虽然比盆花稍复杂一点，但有探索盆花排列规律的经验为基础，困难不会很大。教材通过提出问题“彩灯是按什么规律排列的？”“彩旗是按什么规律排列的”，放手学生独立探索、自主交流。关于彩灯的排列规律，应该找到“4盏为一组”“每组都是红灯、紫灯、绿灯、紫灯的顺序”。至于彩旗的排列规律，应该找到“4面旗为一组”“每组都是先两面红旗、再两面黄旗”。彩灯与彩旗的排列规律都可以选择适当的办法表达出来。
（三） “根据周期规律作出简单判断”环节，要体会情境图里的三种物体都可以“照样子”继续摆下去，即周期现象是“周而复始”“无限循环重复”的
根据发现的周期规律，能够对接着的排列作出判断。教材提出问题“按盆花的排列规律，第19盆花是什么颜色？”情境图里只画出9盆花，第19盆花没有画出来，利用盆花的周期规律，能够得出第19盆花的颜色，而且方法多样。“画一画”“算一算”“想一想”等都是解决问题的办法。按盆花的排列规律“蓝、黄、红花3盆一组”，依次画
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出第1盆到第19盆花，能够得到第19盆花的颜色。按“3盆一组”计算除法19÷3=6（组）??1（盆），根据余数“1”可以判断第19盆是蓝花。如果想“18盆花是6组，第19盆花是第7组的第1盆，由于各组的第1盆都是蓝花，所以第19盆应该是蓝花。这些方法虽然不尽相同，但“3盆为一组”“各组花的颜色顺序相同”是每一种办法的出发点。上述的后两种方法是一致的，都是思考第19盆花在第几组、第几盆，根据“每组第1盆是蓝花、第2盆是黄花、第3盆是红花”得到问题的结论。教学一方面要肯定学生的每一种方法，另一方面要引导学生关注后面的两种方法。理解除法算式的具体含义，体验“余数”是解决问题的关键，学会从余数出发进行判断与推理。
第20盏彩灯是第5组的第4盏（20÷4=5），根据“红、紫、绿、紫”的排列规律，可以确定第20盏是紫灯。第23盏是第6组的第3盏（23÷4=5??3），应该是绿灯。教材选择第20盏与第23盏是有意图的，第20盏在一个周期的结束位置上，第23盏在一个周期的中间，学会判断一个周期的第一盏、最后一盏、中间某一盏的颜色，有关问题就都能解决了。
第26面彩旗、第28面彩旗的颜色不难判断，思考方法与前面判断盆花的颜色、彩灯的颜色相同。通过这两面彩旗颜色的判断，能进一步体验周期规律，牢固把握周期规律的两个基本点：多少为一组，一组内部的排列顺序怎样。
教材在学生充分感受盆花、彩灯、彩旗等周期排列的基础上，指出“像上面这样同一事物依次重复出现叫作周期现象”，概括讲述了周期现象的本质特征——依次重复出现。学生凭对周期现象的初步认识，联系自己身边的一些事物、事件，列举生活中的周期现象，能获得关于周期现象的更多体验。
用△、□、○这三种图形设计一个按周期规律排列的图形序列，是一次很开放的操作活动。可以设计出较简单的周期排列序列，也可以设计出稍复杂的周期排列序列。应该让学生独立设计，并说清楚其中的周期规律。如果能选择适当形式正确表达周期规律，就实现了教材编排这项活动的目的。
（四） “回顾探索周期规律的过程”应组织学生说说对周期现象的认识 体会发现周期规律至少要观察两组物体的排列，如果在更多组物体中寻找排列规律就更加好了；说说表达周期规律可以采用的方法，体会用符号画一画既清楚又方便，增强符号意识；说说解决周期现象中的问题的方法和要领，把周期现象里的数学内容转化成除法，体会数学的抽象性和严密性。
观察物体分析
“观察”是人们认识客观世界和身边事物最基本的方法之一，大量的信息通过人的视觉窗口进入大脑。观察能力是人的基本能力，观察能力强的人善于找到并表达物体的特征，而观察能力弱的人往往抓不住物体的主要特点。苏教版小学数学教科书以培养学生的观察能力为目的，编排了一些《观察物体》的单元。第一学段的主要内容是：根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体；第二学段的主要内容是：
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能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。四年级学生的年龄虽小，已在日常生活中积累了一些观察物体的方法与经验。本单元教学观察物体，既要利用已有的相关经验，更要教会学生“数学地”看物体，包括通常在哪里看、怎样规范地看、看到的形状如何表达??全单元编排三道例题，具体安排见下表：
例1物体的前面、右面和上面，从前面、右面、上面观察常见物体 例2从前面、右面、上面观察简单的几何体，用图形表示看到的形状 例3观察稍复杂的几何体，并表示看到的形状
小学数学里的“几何体”，主要是指长方体、正方体、圆柱、圆锥以及由若干个大小相同的小正方体拼成的物体。从不同角度观察长方体、正方体、圆柱、圆锥分别安排在认识这些几何体的单元里，而《观察物体》单元着重于若干个相同小正方体拼成的几何体。
（一） 联系生活经验，辨认长方体、正方体形状的物体的前面、右面和上面，初步体会观察物体的方法与要领
例1教学长方体形状的物体的前面、右面和上面，以及从这些位置观察物体。这是因为长方体有前与后、左与右、上与下三组相对的面，相对的面形状、大小完全相同，在三组面里各观察一个面，就能了解物体的主要特点。而观察前面、右面、上面比较方便，因此人们往往观察物体的前、右、上三个面。
1. 辨认投票箱的前面、右面和上面。
日常生活中许多物体的形状是长方体或接近长方体的，正如例1里的投票箱，还有文具盒、洗衣机、电冰箱等。由于使用的习惯，人们已经约定了这些物体的“前面”。如，有“投票箱”三个字的那个面是投票箱的前面，有“门”的那个面是电冰箱的前面。物体的前面确定以后，它的右面和上面就容易辨认了。
例1把投票箱放在讲台上，让有“投票箱”三个字的面对着学生，要求指出投票箱的前面、上面和右面。引导学生联系生活经验开展数学活动，把正对着自己有“投票箱”三个字的面称为前面，把自己右手边的那个面称为右面，物体上边的那个面称为上面，初步体会物体的前面、右面、上面的含义。
“练一练”把文具盒放在课桌上，它的前面、右面和上面，也要联系学生的生活经验以及习惯来辨认和确定。一般来说，哪个面是文具盒的上面不会有争议，哪个面是文具盒的前面或右面，多数人的意见会一致。但如果个别学生有不同的想法，只要有道理，也是允许的。
2. 从前面、右面、上面观察投票箱。
识别投票箱的各个面，是为了从这些面去仔细观察投票箱，这是例1的教学重点。教材提出问题“从前面、右面和上面观察投票箱，看到的形状分别是怎样的？”鼓励学生积极开展观察投票箱的活动。
这段教学，首先要组织学生讨论：从前面、右面、上面观察投票箱，应该分别站在什么位置上？体会“从前面看”要站在投票箱的前面观察；“从右面看”应该站在投票箱的右边观察；“从上面看”应该紧靠着投票箱的前面，低头往下观察。然后要组织学生讨论：怎样表示和交流看到的形状？体会把看到的形状“画出来”，图形能比较方便
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地表达与交流。教材里的“辣椒”“番茄”“蘑菇”三个小卡通就是利用“画图形”的方式表示物体形状的，它们观察投票箱的位置不同，看到的形状就不同，画出来的图形也不同。
例题希望学生通过看投票箱，初步学会观察物体的方法与要领。“玉米”卡通的问题“观察物体时，要注意些什么？”引导学生反思观察投票箱的活动，提炼其中的观察方法、经验和体会。可以总结出三点：一是观察物体一般从前面、右面和上面看。二是“从前面看”要专注地只观察物体的前面，视线不宜过高或过低，不宜偏左或偏右，一边看要一边思考观察到的形状以及表达的方法。“从右面看”和“从上面看”也有相应的观察要领。三是看到的形状一般用图形表示，如果把画图和适当讲述相结合，交流的效果会比较好些。
“练一练”分别从前面、右面和上面观察文具盒。教材安排这项活动是让学生经历观察文具盒的过程，巩固观察的方法。至于看到怎样的形状，可以试着画一画，或者说一说，甚至用手势比画一下。这些表示可以是比较“粗糙”的，但应该让学生进行。文具盒比较“扁”（高比长、宽小许多），观察它的上面较容易，观察其前面和右面稍难一些，需要适当蹲下一点，使视线水平地集中于前面和右面的中间。
（二） 认识几何体的前面、右面和上面，观察较简单的几何体
本单元涉及的几何体，主要是长方体、正方体以及由相同小正方体拼成的物体。观察几何体从例1的“练一练”第2题开始，在不同位置上看一个正方体或一个长方体。接着的例2观察4个相同的正方体拼成的长方体。
1. 认识几何体的前面、右面和上面。
界定几何体的前面、右面和上面，要把辨认常见物品面的经验迁移过来。通常，正对着观察者（学生）的那个面是前面，观察者右手边的面是右面。
例1的“练一练”第2题给出一个正方体和一个长方体，每个几何体的各个面上涂了不同的颜色，要求说出每个几何体的前面、右面和上面各是什么颜色。其实，这些都是辨认几何体的前面、右面和上面的活动。大多数学生会联系观察投票箱的经验，作出恰当的判断。
2. 观察较简单的几何体。
例2用4个同样的小正方体拼出一个长方体形状的几何体。从前面看，能看到4个小正方形拼成的大正方形；从右面看，能看到2个小正方形，一个在上，一个在下；从上面看，能看到2个小正方形，一个在左，一个在右。教材给出了这样的三个图形，让学生指出哪一个图形是前面看到的，哪一个图形是右面看到的，哪一个图形是上面看到的。教学这道例题要注意以下两点：
第一，先用4个同样的正方体照样子摆出一个长方体，再从不同位置仔细观察。顾名思义，“观察物体”是用眼睛去看物体。如果不摆出物体，只是看教科书画的立体图形，就不是真实地观察物体。学生不可能真实经历从前面看、从右面看、从上面看的活动，也不可能真实体验几何体各个面的形状，更不可能获得观察物体的知识技能。另外，学生动手摆出几何体，能通过触觉感知其形状特点，这是对观察物体的视觉信息的有力支持和必要补充，能降低空间想象的难度。为此，应对教学提出使用学具的要求，应该
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提前作好准备。
第二，要边看边说，分别说出从前面看到什么形状，从右面看到什么形状，从上面看到什么形状。这是三维立体向两维平面转化的思维活动，是发展空间观念的重要活动。教学要注意的是，学生把几何体的前面、右面、上面的形状表达出来，有一个语言转换的过程。他们动手摆、用眼看，信息都汇集到大脑里，形成关于几何体各个面形状的内部语言。把几何体各个面的形状说出来或者画出来，与同伴交流使用的是外部语言。每一名学生都要进行内部语言到外部语言的转换，有些学生说出各个面的形状有困难，往往是语言转换不充分所造成的。教材充分考虑到学生语言转换的困难，在例题和练习里设计了表达几何体各个面形状的两级台阶。例题在已经给出的三个图形里，指出哪个图形是前面看到的、哪个图形是右面看到的、哪个图形是上面看到的。只要把头脑里的几何体的三个面的图形表象与教材给出的三个图形比照，用连线的方式把自己头脑里的表象外显。这一级台阶比较容易。练习里要求在教材提供的方格纸上画出从前面、右面、上面看到的图形，把头脑里的表象通过画图表现出来。要从每个面看到的是什么图形，各个图形由几个小正方形拼成，这些小正方形怎样排列??一边思考一边画图。显然，这一级台阶相对难些。
“试一试”给出几何体上面的图形，要求学生根据图形摆出几何体，他们不会有困难。根据视图摆出物体，是两维图形向三维立体转化的思维活动，对发展空间观念有很大的作用。“试一试”还要观察摆出的几何体，并且画出从这个几何体的前面、右面看到的图形，进一步开展三维立体与两维图形之间的转化活动。为了方便画图，教材给出了方格纸，降低了画图的难度。因为每个方格能表示一个正方形，几何体某个面的图形由几个小正方形拼成，可以直接利用几个小方格表示，既快又好地画出图形。如果比较例2与“试一试”的几何体，能够发现它们虽然都是4个相同的小正方体摆成，由于摆法不同，从前面看到的图形不同，从右面或上面看到的图形也不同。让学生获得这些体验，是十分有益的。
（三） 观察结构稍复杂的几何体，进一步积累观察物体的经验
例3仍然是由4个同样的小正方体拼成的几何体，但不是长方体或正方体，而是一个稍复杂的几何体，体会它右面和上面的视图比较困难。例题把4个小正方体摆成两列，从前面看这个几何体，能看到4个小正方形排成两列，左边3个、右边1个。从右面看，能看到3个小正方形由上到下排成一列。从上面看，能看到2个小正方形，一左一右排成一行。学生的难点在于从右面看，要把几何体中不在同一平面上的三个小正方形，表示在同一个平面图形里。从上面看，要把几何体中不在同一平面上的两个小正方形，表示在同一个平面图形里。这是因为前视图只表示几何体的长和高，不表示其宽；右视图只表示几何体的宽和高，不表示其长；上视图只表示几何体的长和宽，不表示其高。如何突破教学难点？这里提两点建议。
第一，加强观察。一定要为学生创造观察几何体的条件，绝不能以观察例题里的立体图形来代替观察物体。必须让学生仔细地、充分地观察，一边看一边体会：从几何体的右面，看到3个小正方形，它们竖着排成一列；从几何体的上面，看到2个小正方形，它们横着排成一行。逐步接受这两个位置上的视图。
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第二，把观察一个物体的三幅视图适当联系起来，共同反映几何体的结构与形状特点。从前面看到的图形，主要表示几何体前面的信息，也蕴含从右面看、从上面看的部分信息。在前面的图形里，能够看出右面的3个小正方形“有前有后”，也能够看出上面的2个小正方形“有高有低”。有时，从右面看到的图形，也会反映几何体的前面或上面的某些信息；从上面看到的图形，也会反映几何体的前面或右面的某些信息。
例3“移动一个正方体”，把几何体的形状变为左边1个、右边3个小方块。要求通过观察，画出变化后的几何体的前面、右面、上面的视图。例题还要求比较变化前后的两个几何体以及它们的视图，体会两个几何体结构上的不同，主要表现在它们的前面视图上。而两个几何体的右面虽然不同，视图却相同；上面虽然不同，视图也相同。
（四） 根据视图摆出几何体，发展空间想象能力
几何体和它的视图之间的相互转换是指：几何体的形状特征通过前面、右面、上面等视图表示出来；根据一幅（或两幅、三幅）视图想到和摆出相应的几何体。
根据视图摆出几何体是空间想象十分丰富的操作活动，在发展空间观念的同时，也培养了创新精神和实践能力，还增添了本单元的学习趣味。
在练习六里，有根据一个视图摆出几何体的题目，如第6题“用4个同样大的正方体摆一个长方体，从上面看到的是一个正方形”；第7题“用8个同样大的正方体摆一摆，从前面看到的是两个正方形左右拼成的长方形”。有根据两个视图摆出几何体的题目，如第11题“用4个同样大的正方体摆一摆，从前面看到的是两个正方形左右拼成的长方形，从右面看到的是三个正方形左右拼成的长方形”。有些题目只能摆出一种几何体，如第16题“用5个同样大的正方体摆一摆，从上面看到的是一行4个正方形，从右面看到的是一行3个正方形，从上面看到的是两行正方形，一行4个，另一行1个”。有些题目能够摆出两种甚至几种不同的几何体，如第9题“用3个同样大的正方体摆一个物体，从前面看到的是2个上下排列的正方形”。大多数学生会喜欢这些摆几何体的活动，而且能够摆出符合要求的几何体。
教学这些练习题，要引领学生经历“研究视图——摆出物体——验证摆法”的过程，大力发展空间想象能力，培养良好的学习习惯。“研究视图”就是仔细分析视图的结构，思考几何体的形状。如“用4个同样大的正方体摆一个长方体，从上面看到的是一个正方形”，为了从上面看到一个正方形，应该把4个正方体竖着排成一列。又如“用4个同样大的正方体摆一摆，从前面看到的是两个正方形左右拼成的长方形，从右面看到的是三个正方形左右拼成的长方形”，可以先摆出2个正方体，使前面视图是两个正方形左右拼成的长方形，再把另2个正方体摆上去，使右面视图是三个正方形左右拼成的长方形。“摆出物体”就是在分析视图的基础上，把头脑里的形象思维通过摆几何体外显出来。应该指导学生预先准备学具，让人人都有摆出几何体的条件。“验证摆法”就是检验摆出的几何体是否符合要求。如从上面看一看，是不是看到一个正方形。又如从前面看一看，是不是两个正方形左右拼成的长方形；从右面看一看，是不是三个正方形左右拼成的长方形。如果看到的形状和规定的图形一致，表明摆出的几何体符合要求；如果看到的形状和规定的图形不一致，表明摆出的几何体不符合要求，应该重摆。
（五） 在《动手做》的操作中开展形象思维
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本单元的《动手做》里，设计了两项内容。
第一项内容，用5个同样的小正方体摆一摆，使摆出的几何体的前面、右面、上面的视图都符合规定的图形。同时根据三幅视图摆出几何体，其思维要求与操作要求都比练习里的其他活动高一些。安排在《动手做》里面，学生有比较多的时间做做、想想，尝试着摆出几何体。
第二项内容，给出了三个几何体，先数出每个几何体各有多少个小正方体，再为各个几何体添若干个同样的小正方体，使几何体成为长方体。
第一项活动数几何体里的小正方体个数，有些几何体的各个小正方体都能很清楚地看到，数出小正方体的个数很容易；有些几何体的个别小正方体不容易看到，甚至看不到，数小正方体的个数，不能遗漏这些看不到或不容易看到的小正方体，要清楚地意识到这些小正方体的存在。教材主张学生一边摆、一边数，体会那些看不到、看不清的小正方体的客观存在，这是培养空间想象能力的极好机会。
第二项活动，分别为三个几何体添若干个小正方体，使这些几何体都成为长方体。如果不规则几何体里的小正方体只有一层，把几何体补充成长方体并不难，只要“哪里有缺，就在那里补”；如果不规则几何体里的小正方体有两层，把几何体补充成长方体比较难，可以“分层补充”。一般先补下层，再补上层。学生一边补放小正方体，一边想象长方体，空间观念就得到了实实在在的培养。
统计和条形图分析
经过第一学段的教学，学生已经能够在小组内、班级内、学校内进行简单的调查，收集信息并整理数据；能够用自己的方式表示数据信息，并提出一些简单的问题，初步利用获得的数据开展分析、判断活动。本单元继续教学统计，主要内容有：简单的统计表和条形统计图；分段整理数据；平均数及其应用。这些内容编排三道例题教学，具体安排如下表。
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例1简单的统计表和条形统计图 例2分段整理数据
例3平均数的意义、计算方法及其实际应用
从表格里可以看到，本单元的统计仍然围绕数据活动而进行，进一步体现了统计是收集、整理、呈现和分析数据的活动。从表面上看，统计图表、分段整理数据、平均数等都是传统的小学数学内容，但现在教学这些知识，要体现统计是人们解决问题的一种有效手段，要突出统计教学是组织学生开展数据活动的过程。
（一） 引导学生看看、填填、画画，逐步认识统计表和条形统计图，学会用简单的统计图表呈现数据
统计表和统计图都是数据的载体，能够简便、清晰地呈现数据，方便人们的交流。第一学段鼓励学生用自己的方式表示数据（画图、做记号、写数字等），是因为那时的数据比较简单，容易表示。用自己的方式表达，有利于学生体会数据里蕴含的信息，体会数据信息可以表达、可以交流。但是，统计图表毕竟是人们呈现数据的重要方式，在日常生活、生产劳动、科学研究中的应用很多、很广，应该让学生掌握统计图表的基础知识，学会应用统计图表。这就是本单元例1的编排意图。
统计表把经过整理的数据填写在表格的有关栏目里，人们根据数据所在的栏目，理解数据的实际意思。条形图利用有长有短的直条表示有大有小的数据，人们根据直条的长短体会数据的大小。例1设计了“调查记录——简单统计表——条形统计图”的教学线索，鼓励学生“数数、写写、画画”，引导他们“看看、想想、试试”，主动认识简单的统计表和条形统计图，体会统计图表在呈现数据时的作用和价值。
例题首先给出的是一张调查记录，里面有某个班级学生最喜欢的电视节目及其相应的人数，其中的人数蕴含在“正”字里。这是第一学段曾经使用的调查表，学生看到每类电视节目下面的“正”字，会主动算出实际人数。
例题接着给出一张统计表，已经写出喜欢科普类电视节目的有6人，喜欢综艺类电视节目的有15人。要求学生仿照已经写出的两个人数，继续填写喜欢动画类电视节目、喜欢体育类电视节目的人数以及“合计”人数。大多数学生不会有困难。教学这张统计表应注意五点：一是说一说统计表里已经有了哪些数据，是从哪里来的，还有哪几个空格要填写，这些数据到哪里寻找；二是说一说“合计”的意思以及求合计人数的方法；三是学生独立填写空格里的人数；四是完整观看统计表，读其标题，明白统计表的内容，写出年月，表明统计的时间，说说人数，表述统计表里的数据；五是交流对统计表的初步认识，体会它在表示数据方面有什么优点。
例题还给出一幅条形统计图，已经画出喜欢科普类电视节目人数的直条并标出“6人”，画出喜欢综艺类电视节目人数的直条并标出“15人”。要求学生接着画出喜欢动画类节目人数的直条和喜欢体育类电视节目人数的直条。在学生画图之前，最好能先做下面几件事情：一是读读标题，明白现在学习的是“统计图”；二是看看横轴，明白横轴上表示四类电视节目；三是看看纵轴，明白纵轴上表示喜欢各类电视节目的人数，1格表示2人。所以，表示“6人”的直条应该画3格，表示15人的直条应该画7格半，由此推算出表示13人、12人的直条各应该是几格；四是让学生独立画图，检查他们画的
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直条长度是否正确，提醒他们在直条的上面写出相应的人数。
教材把统计表和统计图编排在同一道例题里教学，体现了数据有多种呈现方式，每种方式各有其特点。教学时，可以组织学生讨论：从统计表里能知道些什么？从统计图里能知道些什么？统计表和统计图各有什么特点？一张完整的统计表由哪几部分组成？一幅完整的统计图由哪几部分组成？从而获得有关统计表和统计图的基础知识以及初步的体验。
“练一练”根据自己班级同学最喜欢的电视节目及其人数，完成统计表和统计图。统计内容和例题相同，但需要先调查，整理出数据以后，再填统计表和画统计图。为了方便调查，及时记录信息，教材提供了调查表。学生可以先在小组里调查，再把各个小组的人数汇总，从而得到全班的人数。
看懂条形统计图以及画直条表示数量的大小，是学习条形图的基本要求。练习七帮助学生达到这些要求。第1题的主要任务是看懂条形图里各个直条表达的数量，体会条形图能直观表示数量的大小以及数量之间的大小关系。第3题尝试画直条表示数量的多少，条形图里的直条不仅可以竖立，也可以横放。如，在表示山的高度时，直条竖立比较形象；在表达河流长度时，直条横放比较形象。第4题先调查我国体育代表团在第24～30届奥林匹克运动会上获得的金牌数，再制作条形图。通过调查获得数据，再选择适当形式表示数据，能使学生具有相应的统计意识和能力，这是统计教学的目的。
（二） 在解决实际问题时教学分段整理数据，引导学生利用已有的整理数据的经验开展分段整理的活动
“分类”是一种常用的整理方法。学生在第一学段，已经能按统计对象的某些特点，如，品种、颜色、形状、用途??进行分类，获得各类的有关数据。本单元继续教学把一组数量按大小分成若干段，分段进行统计，获得各段的数据，并反映到统计表里或统计图上。
1. 在现实的问题情境中，体会分段整理是处理数据的一种方法。
例2教学分段统计，提供了梅峰小学鼓号队32名队员每个人的身高厘米数，以及适宜穿小号、中号、大号服装的身高数。要解决的问题是：为鼓号队队员每人购买1套服装，需要购买每种服装各多少套。这样的问题情境容易引发按穿小号服装的身高“130～139cm”、穿中号服装的身高“140～149cm”、穿大号服装的身高“150～159cm”去分段统计，从各身高段的人数确定各号服装应购买的套数。像这样从实际问题引出分段整理数据，既体现了整理数据是解决实际问题的需要，又有利于学生联系生活经验进行数据的分段整理活动。
对32个数据进行分段整理，可采用的具体方法比较多。教材要求用画“正”字的方法整理，并提供了用于整理的记录表。这是因为在数据较多的情况下，用画“正”字的方法依次对每一个数据归类记录，能避免遗漏和重复。在分类整理前，应提醒学生看清每一个数据，确定各个数据属于哪一段，及时在有关段里作出记录。分类整理以后，应把各段的人数相加，看看是不是32个数据，及时检验分段整理的结果。
例题要求学生把每一段身高的人数填入一张统计表里，并算出三段身高的合计人数。这张统计表里的数据，既是32名队员身高情况的分段统计结果，又是购买小、中、
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大三种服装的套数。学生通过填写统计表，能进一步体会分段整理数据的实际意义及其作用，这就为回顾解决实际问题的方法与过程，反思分段整理数据的技巧和要领作了准备。
选择有意义的素材开展统计活动，才能激发学生的兴趣和热情，才能体现统计的作用与价值。对小学生而言，“有意义的素材”应该是他们现实生活里的、能够接受和理解的、需要解决的具体问题。儿童乘火车，可能免票、可能买半票、可能买全票，决定于他们的身高，铁道部门对此有明确的身高规定。“练一练”在小组里调查每个人的身高，并按免票身高（120厘米以下）、买半票身高（120～150厘米）和买全票（150厘米以上）三段，分段统计出人数，了解小组同学中多少人乘火车可以免票、多少人可以买半票、多少人需要买全票。练习七第5题，先测量自己以及同学“单脚站立”能坚持多长时间，然后把获得的数据分段整理，填写统计表。既整体了解同学们单脚站立能力情况，也了解某一个学生的能力水平。第6题先在小组里调查各个同学阅读课外书籍的情况，再按读书的本数分段整理数据，反映出有多少同学的课外阅读比较多，有多少同学的课外阅读比较少。第7题先调查自己双眼的视力情况以及班上其他同学的视力，然后对同学们的视力进行分段整理，用获得的数据分析同学们的视力情况。可以说，上述的问题都是有意义的素材，都是有价值的统计活动。值得重视的是，教材没有直接给出数据，而是安排学生通过调查收集数据，这对培养统计观念和统计活动能力，有很大的作用。
（三） 在解决实际问题的活动中体会平均数的意义和算法，学会利用平均数进行比较和分析
平均数是一种常用的统计量，它能集中反映一组数据的整体情况。例3教学平均数的知识，包括平均数的意义、算法和实际应用。教学平均数的重点不仅在于怎样求平均数，更在于用平均数描述、分析一组数据的状况和特点，或者对两组数据进行比较。例题的编写不是给出计算平均数的方法，而是让学生在解决实际问题的活动中，感受平均数的意义，理解平均数的特点，探索求平均数的方法，体验平均数的统计意义在现实问题情境中的具体应用。
1. 创设需要平均数的问题情境，探索求一组数据平均数的方法，感受这组数据的平均数的含义。
人们为什么求平均数？平均数表示什么意思？怎样求出一组数据的平均数？求出的平均数有什么用途？这些都是例3要教学的内容，也是例题的编写线索。
例3首先创设一个现实的、有意义的、具有挑战性的问题情境：四年级第一小组的4名男生和5名女生进行套圈比赛，每人套15个，各人套中的个数表示在条形统计图上，要解决的问题是“男生套得准一些还是女生套得准一些”。由于男生人数和女生人数不相等，所以比较男生套中的总数和女生套中的总数是不合理的方法，不能采用。由于一个人套中的个数不能代表男生或女生的整体水平，所以比较男生中最多的个数和女生中最多的个数也不是合理的方法，也不能采用。这时，学生有可能提出“分别求出男生和女生平均每人套中的个数，再比较。”这是一种新的办法，是不是有用？男生（女生）平均每人套中的个数是什么含义？怎样求？都是需要教学的内容。不过，学生以“平均
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分”的经验为基础，大多数人能够接受这种方法，并逐步理解有关平均数的知识。可见，比“男生平均每人套中多少个”和“女生平均每人套中多少个”这种办法，既不是教师带进来的，也不是学生一下子就想到的。是部分学生在多种其他办法不能解决问题的尝试中，逐渐想到的。教学这个片段，问题情境要尽量浓些，认知冲突要尽量强烈。应充分利用“套圈”这个学生喜欢的游戏，以及“比较男、女生谁套得准”这个学生愿意解决的问题，形成欲求不能、欲罢不甘的矛盾状态，在原有知识经验不能解决问题的心理氛围中，进入“分别求出男、女生平均每人套中的个数”这个新课题的学习中去。
男生平均每人套中的个数和女生平均每人套中的个数需要分别求出，例题安排先求男生平均每人套中的个数，这是教学重点所在。学生会从“平均”想到“使所有男生套中的个数同样多”，于是在条形图上“移一移”，得到男生平均每人套中7个。或者把男生套中的总个数平均分，即从4名男生一共套中28个，得到男生平均每人套中7个。教学这一段内容，要鼓励学生独立探索求男生平均每人套中个数的方法，深刻体会“男生平均每人套中7个”是4名男生套中的总个数不变的前提下，通过“移多补少”得到的。要帮助学生明白，这里的“7”是6、9、7、6四个数的平均数，“7个”是4名男生套圈的整体水平。要把平均数的意义、求法融为一体，让学生在思辨平均数含义的同时想到求平均数的方法，联系求平均数的方法感受平均数的含义。
接着求女生平均每人套中的个数，学生联系具体的问题又一次体验平均数的含义，并选择“先算总数，再平均分”的办法求出平均数，理解“6个”是女生套圈的整体水平，这就丰富了对平均数的认识。
求出男生平均每人套中7个，女生平均每人套中6个，男生套得准些还是女生套得准些就很清楚了。教材及时指出：平均数能较好地反映一组数据的总体情况。学生在上述的“7个”“6个”的具体含义的基础上，能够接受和理解教材关于平均数的描述。
实际问题解决了，平均数知识的教学还不能结束，还要回顾解决实际问题的过程与方法，说说学到了什么知识，学到的知识有什么用，使平均数的知识进入学生的认知结构，使解决问题的思想方法和活动体验进入学生的经验系统之中。
2. 紧紧抓住平均数的基础知识设计练习，在应用平均数解决实际问题的活动中进一步认识平均数。
“练一练”的图画里呈现三个笔筒，每个筒里分别有6支、7支、5支铅笔，要求先看出、再算出平均每个笔筒里有多少支铅笔。让学生再一次经历“移多补少”的思考过程，体会各个笔筒里铅笔的支数虽然不同，但“平均每个笔筒有6支”是这些笔筒里铅笔的整体状况。
练习八第1题用图画呈现三条彩带，分别长14cm、24cm、16cm，通过计算求出它们的平均长度是18cm。如果把这个平均长度表示到图画里去，能看到比两条短彩带的长度长一些，比长彩带的长度短一些，这就直观感受了平均数的含义。
第2题算出4次飞行时间的平均数61秒以后，如果把它与4次飞行时间分别比一比，就能感受平均数是“移多补少”的结果
第3题，学校篮球队队员的平均身高是160厘米，李强是篮球队队员，他的身高可能是155厘米，学校篮球队里还会有身高超过160厘米的队员。这是因为“平均身高160
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厘米”是学校篮球队队员身高的整体情况，而不是每一个队员的实际身高。通常，篮球队里会有身高低于平均数的队员，也会有身高超过平均数的队员。
第4题，两幅条形图分别表示华江果品店某星期的星期一到星期五每天卖出苹果的箱数和橘子的箱数，算出平均每天卖出苹果多少箱以后，就能看出哪几天卖出的苹果多于平均数，哪几天卖出的苹果少于平均数。同样，算出平均每天卖出橘子多少箱以后，就能看出哪几天卖出的橘子多于平均数，哪几天卖出的橘子少于平均数。这就是说，平均数代表一组数据的整体情况，可以用来评价这一组数据里的每一个数据。
第6题，用条形图给出四年级二班4个小组的植树棵数，很直观地表示出第二小组植树棵数最多，有10棵；第一小组植树棵数最少，只有6棵。这4个小组平均每组的植树棵数应该比10棵少，比6棵多。题目要求“估计平均每个小组植树多少棵数”，就是体会一组数据的平均数，一定小于这组数据里的最大数，大于这组数据里的最小数。
第7题，一箱橘子共50个，任意取出5个，分别测量每个橘子的质量，算出平均每个橘子重多少克，由此推算这箱橘子大约重多少克。这道题渗透了“随机抽样”以及“从部分推出整体”的思想方法。
（四） 通过《动手做》收集数据，体验“不确定”里有“确定”
练习七的后面有一次《动手做》，安排一项实验：用滴管往一枚1元硬币上滴水。探索的问题是：在水不外溢的情况下，最多能滴多少滴水？要求先估计滴数，再做四次这样的实验。
教材希望学生获得两点体会：第一，估计是否正确，应该用其他办法来检验；估计会有些误差，但不能太大。第二，四次滴水实验的结果（1元硬币上存水的滴数）不完全相同，但差不多。这就是“不确定”事件里的“确定性”现象。即：如果不确定事件发生的次数充分地多，会表现出相同或相近的结果，这是重要的统计思想。
运动与身体变化分析
这是一次任务十分明确的实践活动，着重研究体育运动对脉搏跳动的影响，围绕这个问题，设计活动方案、开展实验活动，根据事实得出结论。这是一次利用统计知识和方法来解决问题的实践活动，需要收集和整理数据、分析和利用数据，通过数据来说明问题的结果，给出确定的回答。这是一次必须小组合作进行的实践活动，要在组内各同学身上采集数据，要相互配合尽量获得准确的数据，才能得到客观的、可靠的结论。教
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材设计的“提出问题”“实验讨论”“引申反思”三个栏目，是开展这次实践活动的基本线索，各个栏目都有很具体的安排。
“提出问题”栏目，把这次实践活动的主题具体化。“运动与身体变化”这个标题，既有其清楚的一面——专题研究运动与身体变化的直接联系，也有其面广量大的一面——运动会引起身体多个方面、多个部分的变化。实践活动的研究不可能面面俱到，主题还需要进一步明确。教材通过“豆荚”卡通的提问“你知道在运动后身体会发生哪些变化吗？”引导学生回忆有关常识。他们知道运动会使身体出汗，会使脉搏加快，会使呼吸急促??通过交流，在运动引起的多种身体变化中，确定脉搏的变化作为本次实践活动的主要课题。这个栏目的教学时间不宜过多，要做到“用时少、见效快”，尽量激发学生的兴趣，形成一致认同的研究主题，凝聚活动的心向。
“实验讨论”栏目，先帮助学生形成实践活动的主体方案，包括以下四块：第一块——安排小组人员。教材要求每4人为一组，每个人都有参与活动的机会，每个人都要提供自己脉搏的次数。4人之间刚好能互相分工、相互配合，当一名学生测量自己脉搏的次数时，其他同学看钟表，帮助掌握时间。第二块——安排实验步骤。先“原地高抬腿跑30秒”运动，分别测量运动前、运动结束时、休息2分钟后这三个时段的一分钟脉搏次数，研究这项体育运动对脉搏的影响；再任意选择另一项体育运动，也分别测量运动前、运动结束时、休息2分钟后这三个时段的一分钟脉搏次数，研究这项运动对脉搏的影响。第三块——开展小组活动。按照实验设计与要求，学生测量自己脉搏的次数，把数据记录在教材的表格里，并且算出小组内4人脉搏次数的平均数。这里算出的平均数，既代表小组内4人脉搏的总体状况，也是比照每人脉搏次数的参照数据（比平均跳动的次数多还是少，是比较接近还是相差较大）。第四块——得出结论和回答问题。联系两组测量数据，分别围绕“原地高抬腿跑30秒前后脉搏的变化”和“另一种体育运动对脉搏的影响”进行讨论，发现其中的规律，并且给出课题的研究结论。
“实验讨论”要注意四点：第一，仔细交代实验方案。让学生清楚地知道两次实验的具体内容和研究的问题，知道每一步研究应该采集的数据和采集的方法。在运动前、运动结束时、休息2分钟后这三个规定的时段测量脉搏的次数。不按规定时间获得的脉搏次数，不能真实反映情况和说明问题。第二，准确测量脉搏的次数。这是十分重要的数据，直接反映体育运动对脉搏的影响及其程度。要做到数据准确无误，学生必须会测量自己的脉搏，这就应提前进行这方面的指导。第三，两次实验选择的体育运动项目的强度要有明显的差别。第一次实验全体学生都进行“原地高抬腿30秒”运动，活动的强度比较大，脉搏的变化幅度会比较大，变化的持续时间会比较长。第二次实验自主选择体育运动项目，强度可以适当小一些。如原地慢跑1分钟、踢毽子1分钟、拍球1分钟等。两次实验的运动强度差异大一些，有利于学生全面观察与分析，形成更加客观的结论。第四，鼓励学生讨论问题，发现规律，拿出结论。开展实验的主体是学生，进行讨论和得出结论的主体仍然是学生。他们联系脉搏的数据，完全能够相互讨论，不仅形成结论，而且体会数据的作用，培养凭数据说话的态度。教材提出一些问题，如“运动后，你的脉搏是怎样变化的？”“从算出的平均数来看，小组同学的脉搏情况又是怎样变化的？”“运动前后，你的脉搏次数与小组平均数相比，差别大吗？”这些问题能启
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发学生去分析数据，发现特点，寻找规律，形成交流的话题。教材还通过“玉米”卡通的提问“从上面的实验（原地高抬腿跑前后的脉搏情况）中，你还能知道些什么？”引导学生及时利用第一次实验的数据，初步看出一些规律。还通过“白菜”卡通的提问“这次运动（第二次实验）引起的脉搏变化是怎样的？”引导学生分析第二次实验的数据特点，发现与前面相一致的规律。“比较两次运动脉搏发生的变化，你想到了什么？”引导学生回顾两次实验，总结共性内容，得出有关的规律。所以说，两个大卡通的提问，起引导学生紧扣议题进行讨论的作用。
“引申反思”栏目里列出了两个内容：前一个内容是了解体育课上四年级学生脉搏应该达到的次数，这是衡量体育课体能训练强度的一项指标，体育教学对此有明确的规定。如果学生脉搏次数的变化低于规定的要求，表明学生的运动量和活动强度不足。反之，如果学生脉搏次数的变化超过规定很多，表明运动量和活动强度过度。两种情况都不利于身体健康。让学生走访体育老师，了解这个规定，有利于科学训练。后一个内容是研究体育运动对呼吸次数的影响，这项实验可以仿照运动与脉搏次数关系的研究进行。教材要求学生自己设计实验方案，独立完成实验，用统计表记录数据，相互交流研究成果。这项研究可以向课外延伸，在课后完成。
五解决问题的策略分析
数学教学中，解决实际问题的价值不局限于获得具体问题的结论或答案，它的意义更在于学会解决问题，并且体会每个人都有自己对问题的理解，并由此形成自己解决问题的方法；体会解决问题可以有不同的方法，应当选择适宜自己的方法来解决问题。数学教学在鼓励学生个性发展的理念下进行，创新精神和实践能力才可能真正得到培养。
“策略”的原意是计策与谋略。解决问题的策略是解决问题的计策与谋略，具体表
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现为对问题的理解，对解决问题方法、手段的思考和选择运用。解决问题，特别是解决新颖的问题需要策略，而解决问题的策略又是在解决问题的活动中逐步形成和发展的。本单元主要教学两个策略：一是整理数学信息的策略，二是解决问题的主要步骤。整理数学信息的策略，在能够寻找已知条件和所求问题的基础上，通过有条理地摘录数学信息，找到数量之间的联系，形成解题思路，解答常见的三步计算问题，以及归一、归总问题等实际问题。进一步提高利用已知数量或所求数量进行推理的能力，不仅使解题思路的展开更加稳定，而且使“从条件向问题”与“从问题向条件”的推理有机融合，分析数量关系的过程更加灵活、更加流畅。解决问题的主要步骤是一种比较稳定、比较基本的策略，包括理解问题、设计并实施解决方案、检验结果、反思经验与体会等步骤，对人们解决问题有很大的影响。每一个步骤都有相关的、具体的技巧与方法，具有可操作性。学生已经解答过许许多多实际问题，积累了一些解决问题的经验，让他们理解并掌握解决问题的主要步骤十分重要，能够避免解题思考与活动发生混乱。全单元编排两道例题，具体安排见下表：
例1列表整理已知条件，按解决问题的主要步骤，解答比较容易的三步计算实际问题
例2应用本单元教学的策略，解答归一问题
（一） 按解决问题的主要步骤设计例题的教学线索，引导学生经历解决问题的全过程，积累解题方法与经验，丰富解决问题的策略
人们解决数学问题的主要步骤是：了解题意，寻找并整理条件与问题；利用数量之间的联系进行推理，形成解决问题的思路和方案；根据解题计划，采用适当的方法（经常是列式计算，也有其他办法），得到问题的结果；检验答案是否正确，确定或修改已有结果；回顾解决问题的过程，积累经验。遵循这些步骤，解题过程就能有条不紊，解题结果就能得到保障，解题能力就能逐渐提高。著名数学教育家波利亚的“解题表”提出了包括“弄清问题”“拟订计划”“实现计划”“回顾反思”四大步骤的解题全过程，与人们解决问题的主要步骤是完全吻合的。
本单元的两道例题，都按解决问题的主要步骤安排教学线索，每一道例题的教学都设计成四大块：整理题目里的条件和问题；根据数量关系确定先算什么，并列出算式，算出得数；选择一种方法检验答案，给出问题的正确答案；回顾解决问题的过程，交流体会、积累经验。
学生在第一学段解决过许多实际物体，都是按“理解题意——分析数量关系——列式计算——给出答案”的程序进行解题活动的。由于所解决的问题比较简单，执行这些程序比较容易。学生一方面已经初步适应这样的程序，另一方面如果遇到比较复杂的问题，已有的解题方法和经验远远不够使用。所以本单元在突出解决问题的主要步骤的同时，加强理解题意的方法指导，加强分析数量关系的推理力度，加强解决问题方案的构思和实施，加强检验方法的教学和检验习惯的培养。
（二） 利用数量之间的直接联系，整理实际问题的已知条件和所求问题，体会“整理”对解决问题的积极作用，充实“整理”策略
例1给出“3行桃树”“8行杏树”“4行梨树”以及“桃树每行7棵”“杏树每行6
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棵”“梨树每行5棵”六个已知条件，要解决的问题是“桃树和梨树一共多少棵”。这个实际问题有三个特点：一是已知条件比较多，二是条件之间的直接联系比较清楚，三是要选择有关条件来解决所求问题。学生在初步读题时能够感受到这些特点，因此教材要他们“想办法整理题中的条件”。一般会把六个条件整理成“三组、两类”，即桃树的行数与每行棵数是一组，杏树的行数与每行棵数是一组，梨树的行数与每行棵数是一组；三种树的行数是一类，三种树每行的棵数是另一类。
“辣椒”卡通按果树的种类整理条件，得到： 桃树3行，每行7棵； 杏树8行，每行6棵； 梨树4行，每行5棵。
“萝卜”卡通根据问题选择有关的条件并且利用表格整理，得到： 桃树 3行 每行7棵 梨树 4行 每行5棵 大多数学生会像这两个卡通那样进行整理，教学应该让学生明白，利用条件之间的直接联系（这里是每一种果树的行数与每行棵数的对应关系）可以整理条件；如果某些条件与所求问题没有关系，这些条件可能是“多余”的（杏树的行数和每行棵数在解决桃树和梨树一共多少棵时，是多余条件）。
例2的一座水库某天从7:00开始放水，用表格给出：到9:00，水位下降12厘米；到11:00，水位下降24厘米；到13:00，水位下降36厘米；到15:00，水位下降48厘米。要解决的问题是“照这样的速度，水位下降120厘米，需要放水多少小时”。这个实际问题的条件已经在表格里整理好了，要求学生看着表格里的数据，说说“怎样理解表格中的信息”，发现“每2小时，水位下降12厘米”，即“每小时下降6厘米”是一个稳定不变的数量。“照这样计算”就是照“每小时下降6厘米”计算。
整理数学信息的目的是理解题意，按条件之间的直接联系整理，有助于全面、系统地理解题意。所以，一方面要采用适当的形式（表格或非表格都可以）进行整理，感受条件及其相互联系，另一方面要体会整理的作用与好处，逐渐形成自觉整理的习惯。可以要求学生看着整理的条件和问题，用自己的话复述题意，感受整理信息能够更好地理解题意。
（三） 利用条件与条件、条件与问题之间的联系进行推理，形成解题思路 三年级《解决问题的策略》单元，已经教学了从实际问题的“已知条件向所求问题推理”和“从所求问题向已知条件的推理”，这是分析实际问题里数量关系的基本策略。
整理例1的条件与所求问题，深入了解条件之间的联系，以及问题与条件之间的联系，就能利用条件与条件之间、问题与条件之间的联系进行推理，从而形成解题思路。学生通过整理，感受到桃树的行数与每行棵数是相关的两个条件，利用这两个条件能够算出桃树的棵数；梨树的行数与每行棵数是相关的两个条件，利用这两个条件能够算出梨树的棵数；有了桃树棵数和梨树棵数，就能算出桃树和梨树一共的棵数。还感受到桃树棵数与梨树棵数是求桃树和梨树一共多少棵所需要的两个条件，这两种树的棵数可以
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分别利用相应的行数与每行棵数算出来。这些感受是从条件向问题的推理和从问题向条件的推理，是分析数量关系的策略，是产生解决问题的计划与步骤的过程。教材鼓励学生“根据数量之间的关系，确定先算什么”，让他们在理解题意之后，利用已有的分析数量关系的策略与经验，主动寻找解决实际问题的具体方法，体验“整理策略”对解决问题的积极作用。
整理例2的条件与问题，发现水库的水位“每2小时下降12厘米”，即每小时水位下降6厘米。有了这个数据，就能算出水位下降120厘米所需要的时间，也能算出经过12小时水位一共下降的厘米数。
分析例题的数量关系，要引导学生把“条件向问题推理”和“问题向条件推理”结合起来。一方面找到相关的两个条件，想想能够算出什么；另一方面抓住所求问题，想想需要什么条件。像这样既从条件想起，也从问题想起，往往是比较轻松、有效的方法。具体地说，分析例1的数量关系，要从“桃树3行，每行7棵”想到桃树一共21棵，从“梨树4行，每行5棵”想到梨树一共20棵；还要从“桃树和梨树一共多少棵”想到“桃树棵数+梨树棵数=两种树一共的棵数”。分析例2以及“想一想”的数量关系，要从“每2小时水位下降12厘米”想到每小时水位下降6厘米；还要从所求问题想到“水位下降120厘米÷每小时下降6厘米=水位下降需要的小时数”“每小时下降6厘米×水位下降的小时数=水位下降的厘米数”。
（四） 及时检验答案是否正确，更加全面地把握实际问题里的数量关系 及时检验答案是一种良好的习惯，能保障解决问题的结果正确。检验还能促进学生更好地把握实际问题里的数量关系，发展推理能力。
检验答案通常有三种方法：一是用原来的方法再解一次，看两次解题的答案是不是相同。这种检验只能看出计算错误，至于解题思路的错误以及列式的错误，较难发现。因此，一般不大采用。二是用另一种方法解题，看两次解题的结果是不是相同。由于两次解题的思路、步骤、算式和计算都不一样，所以两次解题的结果如果相同，可以认为解题正确。这种检验，要求实际问题有两种或多种解法，否则无法采用。三是把求得的结果作为一个已知条件，把原来的某个条件改成问题，编出一道新的实际问题，解答编出的问题。如果结果和原来的条件相同，表明解题正确；如果结果和原来的条件不相同，则解题可能错误。这种检验解答了与原来问题不同的另一个问题，不仅检验了原题答案，而且发展了逆向思考，提高了推理能力。
本单元的例1只有一种解法，所以要采用上述的第三种检验方法。在求出桃树和梨树一共41棵以后，可以改编成求桃树每行多少棵的问题。即：3行桃树和4行梨树一共41棵，梨树每行5棵，桃树每行多少棵？当然，改编成求梨树每行多少棵的问题，或者求桃树有几行、梨树有几行的问题也是可以的。教材要求学生“选择一种方法进行检验”，他们无论改编成哪一道实际问题都可以。
例2有多种解法，它可以用一种解法来检验另一种解法。如果从“每2小时水位下降12厘米”算出每1小时水位下降6厘米，就能通过“120÷6”算出水位下降120厘米需要20小时。如果从“120厘米是12厘米的10倍”，就能得到“水位下降120厘米需要的时间是下降12厘米时间的10倍”，即2×10=20（小时）。两种解法的得数相同，
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表明解法和结果是正确的。这道例题也可以这样检验：求出水位下降120厘米需要20小时以后，改编成求20小时水位下降多少厘米的问题。即：水库的水位每2小时下降12厘米，照这样计算，放水20小时，水位下降多少厘米？
（五） 回顾解决问题的方法与过程，积累经验、发展策略
人们解决实际问题，运用了自己已有的知识、技巧、经验。如果以解决问题为目的，得出问题的正确结果，解题活动就可以结束了。然而，数学教学中的解决实际问题，其目的不只是得到问题的答案，而是提高学生解决问题的能力，培养解决问题的策略。这就是说，得到问题的结论不应是教学的结束，还要进一步积累解决问题的经验，形成学生自己解决问题的有效策略。回顾解决问题的过程，反思解决问题所使用的方法，是人们积累经验、发展策略的重要渠道。所以，本单元的两道例题都安排了“回顾反思”的教学活动。
让学生畅谈解决问题的体会，他们会各抒己见，话题很宽。为此，教学应根据例题的教学内容与目的，适当调控学生的回顾与反思。例1的回顾可以集中讨论两点：一是解决问题主要经历哪些步骤，二是分析数量关系可以采用哪些方式与方法。关于解决问题的主要步骤，可以回顾解答例题的全过程。首先要弄清题意，找到已知条件和所求问题；接着分析数量关系，设计解题计划；然后按解决问题的步骤，列出算式，算出得数并检验结果；最后是反思解题，交流体会。关于分析数量关系，可以回顾所进行的推理和使用的方法。既能从条件出发向问题推理，也能从问题出发向条件推理，如果两种推理相结合，效果会更好。除了这些推理，还可以联系问题情境的特点，选择画图、列表等方式整理条件和问题，以方便思考。
例2的特点是用表格呈现放水小时数和相应的水位下降厘米数，数量之间的对应联系十分清楚，而且解决问题的方法不止一种。所以，回顾反思要围绕分析数量关系的思考以及解题方法的得出来进行。一是放水时间与水位下降高度是有规律地同时变化的，水位每小时下降6厘米是不变的数量，它可以从“每2小时下降12厘米”得出；二是通过分析数量关系，可以发现这个问题有几种不同的解法。利用“每小时水位下降6厘米”能够找到一种解法，利用“放水时间与水位下降高度按相同倍数变化”，也能够想到一种解法。各种解法的结果应该相同，不同的解法可以相互检验。
（六） 编排练习题，让学生在解题实践中提高解决问题的能力
教材为两道例题各配备了“练一练”，及时应用例题所教学的方法来解决实际问题，巩固知识、形成技能。还编排练习九，引导学生灵活应用两道例题所教学的方法解决实际问题，体验方法、形成策略。
1. 从“有形”整理到“无形”整理，逐步养成整理数学信息的习惯。 画图或列表都是整理条件与问题的常用方法，在图画上和表格里能够比较直观地表示出数量之间的联系。为了让学生学会画图、列表整理数量的方法，教材应该呈现图画和表格，指导他们如何画图、如何列表，并要求他们采用画图与列表的方法整理条件和问题，逐渐学会这些方法。这就是所谓的“有形”整理。
当人们掌握画图、列表整理的方法以后，图画与表格不一定在纸上表现出来，完全可以想在头脑里。在头脑里整理，就是所谓的“无形”整理，是较高水平的整理，是整
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理习惯和能力的综合表现。
教材十分注意从“有形”整理到“无形”整理的引导。配合两道例题各安排一次“练一练”，每次“练一练”都是两个实际问题。其中第1题都要求学生“先整理题中的条件和问题，再解答。”尤其是例2“练一练”的第1题还给出了表格，让学生“利用表格整理条件和问题”。教材希望学生在第1题里开展“有形”的整理活动，学会整理的方法，体验整理对理解题意以及解决问题的积极作用。其中第2题没有明确提出整理条件与问题的要求，这并不是不要整理，而是希望学生自觉进行整理活动。他们可以从自己的需要出发，或是仍然采用“有形”整理的方式，画出图画、表格进行整理，或是把图画、表格想在头脑里，进行“无形”整理。
解决实际问题需要认真整理条件与问题，这是解决问题的重要一步。使用哪一种方式、方法进行整理，都要从自己的实际能力出发进行选择。教学应尊重学生的选择，保障所有学生都有完成信息整理的时间；应组织各种整理形式的交流，逐渐提升整理信息的水平。教学应适当要求学生进行一些“有形”整理，使所有学生都学会基本的整理方法；还应及时鼓励学生进行“无形”整理，灵活运用整理的方法，充分体验整理的意义，形成整理信息的习惯。
2. 解决新颖的问题，体验整理信息的重要性。
教学实践告诉我们，问题的新颖性与策略的形成正相关。这就是说，策略的形成应体现在解决新颖的问题上面，并在创造性地解决新颖问题的活动中得到锻炼和发展。反之，如果策略只应用于比较熟悉的、已经知道解法的问题之中，其意义和价值就很有限了。所以，“整理”策略不能总是局限于已经教过的、已经认识的那些问题上，以免挫伤学生整理信息的积极性，影响策略的形成。为此，例1在解答“求两积之和”问题以后，由“想一想”带出“求两积之差”的问题，由“练一练”带出“求两商之差”的问题。例2教学“归一”问题之后，练习九第8、9、10题带出“归总”问题。
过去教学归总问题，往往是单独编排一道或两道例题，突出归总问题的结构特点、数量关系以及解答方法。本单元教学的整理策略，完全适用于归总问题。教材把归总问题编排在练习里面，希望学生通过整理条件与问题，感受数量之间的对应联系，自己分析数量关系，独立找到解决问题的步骤与方法。练习九第8、9、10三道题循序渐进、由易到难地编排。第8题在教科书上填写表格，体会猕猴桃的总个数是确定的，如果每箱装的个数越多（少），那么装的箱数就越少（多）；如果装的箱数越多（少），那么每箱装的个数就越少（多）。数量关系是：猕猴桃总个数÷每箱装的个数=装的箱数，猕猴桃总个数÷装的箱数=每箱装的个数。第9题在教室里放花的问题，比较容易理解和解答，学生可以自主选择“有形”整理或者“无形”整理，体会在这个问题里，花的总盆数是一定的，花的总盆数÷每个教室放的盆数=可以放的教室个数。第10题买体育用品的问题，比较复杂。其中，涉及的数量较多，有三种球的个数与单价；数量呈现的形式较多样，有些在图画里、有些在题目的正文里、有些在人物的对话里。十分需要整理所有的数量，理清每一种球的数量与单价，理清已知条件和所求问题，明白这三种球的总价相同，通过总价÷单价=数量、总价÷数量=单价来解决问题。
发展解决问题的策略是新课程对数学教学提出的新课题，让学生主动解决一些新颖
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的问题是数学教学的一项突破。为此，教学应做到两点：第一，改变例题的教学观念。例题应该教给学生基本的数学思想方法，这种思想方法不但解决了例题，还能解决与例题相似、甚至不同的问题。画图整理、列表整理是解决问题的基本策略，所解决的问题不仅是比较容易的三步计算问题，而且还有稍难的三步计算问题；不仅是归一问题，而且还有归总问题，甚至包括其他的实际问题。只有在例题的教学中突出整理条件与问题的思想和方法，让学生体验这个思想方法，内化成自己解决问题的策略，才可能举一反三应用这种策略。第二，教学新颖的问题，既要放手学生独立解答，也要给以必要的帮助。如果过多地补充例题，对有些变化的和新颖的习题都通过例题示范解法，让学生模仿着解题，创造精神和实践能力的培养会受到很大的制约。如果片面理解放手让学生自主学习，在他们遇到困难时也不给予必要的指导，许多学生将一知半解或知之甚少，也会严重影响教学目标的实现。教材首次出现归总问题，应该提醒学生整理条件与问题，充分利用已经学到的思想方法去理解题意，探索解决问题的方向与线索。在学生整理信息时，应当适当地“放”和“扶”。在第8题里，应鼓励学生在教材的表格里整理信息，并看着整理好的表格说说自己的理解与想法。在第9题里，应提倡学生自己设计整理信息的方式，允许一部分学生开展“有形”整理活动，另一部分学生选择“无形”整理方式。在第10题里，应抓住学生读题有困难这个机会，引导他们设计整理条件与问题的表格，并开展整理信息的活动，通过整理来复述题意，分析数量关系，规划解题的思路与步骤，形成解决问题的计划，从而体验“整理”是解决问题的一种有效策略。
六可能性分析
人们在日常生活中会遇到各种各样的现象，众多现象按其发生的结果，大致可以分成“确定性现象”和“随机现象”两类。这两类现象的主要区别在于：确定性现象在一定的条件下，肯定出现或者肯定不出现，不存在其他的可能性。如，在只装几个红球的口袋里任意摸出一个球，其结果是确定的，一定是红球，不可能是其他颜色的球。随机现象则是条件不能完全决定结果，在相同的条件下发生的结果可能不同。如，在既装有
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红球又装有黄球的口袋里任意摸出一个球，其结果是不确定的，可能是红球，也可能是黄球。
在我国，随着社会的进步、生活的改善，随着社会主义市场经济体制的不断发展与完善，人们越来越多地接触到随机现象。几乎所有人都需要面对就学、就业、出行、住房、医疗、退休、养老等模式的选择，有许多人会涉及投资、贷款、股票、证券、市场预测、风险评估等经济行为。总之，人们活动的空间越来越宽，可以选择的机会越来越多，风险也越来越大。人们越来越需要随机思想，以便运用自己的头脑来分析判断、作出决策。所以，基础教育阶段应该尽早地让学生接触简单的随机现象，尽可能地帮助学生建立起初步的随机思想，这就是小学数学设置可能性教学内容的原因。
所谓随机现象，是指在一定的条件下，重复同样的实验或观察，所得的结果是不确定的，以至于在实验前无法预测实验的结果。但是，随机现象并不是毫无规律的现象，如果实验重复进行的次数充分地多，在实验结果（得出的大量数据）中是能够看出规律的。数学课程标准把《随机现象发生的可能性》安排在第二学段教学，提出了两点内容和要求：（1） 在具体情境中，通过实例感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。（2） 通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大有小的，能对一些随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。根据课程标准的这些内容要求，本单元第一次教学“可能性”，编排两道例题，具体安排如下表：
排例1简单的随机现象
例2列出简单随机现象可能发生的所有结果
体会随机现象结果发生的可能性有大有小，并作出定性描述练习十在学生的游戏和生活中，有许多随机现象的实例。教学随机现象不应只是教材或教师的讲解，更应是学生联系实际事例的亲身感受。
（一） 在简单的摸球游戏中感受随机现象
例1设计了简单的摸球游戏：口袋里有1个红球和1个黄球，小组合作，从口袋里任意摸出1个球，记录球的颜色，然后放回。像这样摸10次，并记录10次。教学应该注意的是，这次游戏的目的不在于红球摸到几次、黄球摸到几次，不在于哪一种球摸到的次数多些、比另一种球多几次，而是在于体会摸球的结果是随机的，在摸球之前无法确定球的颜色。所以，教材在学生摸了10次以后，立即让他们交流“在摸球活动中有什么体会”。两个小卡通的发言是所有学生应该有的感受，“每次摸出的可能是红球，也可能是黄球”具体地描述了这项游戏结果的随机性，“每个球都有可能摸出”概括表达了这项游戏结果的随机特点，这些都是对随机现象应有的初步体验，是学生在摸球活动中的亲身感受。
“试一试”的口袋里有2个同样的红球，任意摸出1个，摸出的不是这个球，就是那个球，但一定是红球。从颜色角度讲，摸球的结果是确定的，不是随机的。口袋里有2个同样的黄球，任意摸出1个，一定是黄球，不可能是红球，结果也是确定的。如果把例题与“试一试”比较一下，会进一步感受例题里的摸球（结果可能??也可能??）是随机现象，“试一试”里的摸球（结果一定??或者不可能??）是确定性现象。我
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们知道，随机现象和确定性现象是两类不同的现象，是两个成“矛盾关系（对立关系）”的概念，利用这种矛盾关系，能够凸显随机现象的本质特点，有助于学生理解随机现象。这就是教材编排“试一试”的目的。
（二） 在摸牌游戏中体验随机现象，列出随机现象可能发生的所有结果，体会可能性有大有小
例2设计的摸牌游戏分两步进行：第一步将红桃A、红桃2、红桃3、红桃4四张牌打乱后反扣在桌上，从中任意摸出一张，说说可能摸到哪张牌。第二步将红桃4换成黑桃4（另外三张牌不变），从中任意摸出一张，说说摸到红桃牌的可能性大还是摸到黑桃牌的可能性大。显然，第一步游戏不仅衔接着例1对随机现象的初步认识，进一步丰富对随机现象的体验，而且要列出随机现象可能发生的所有结果。第二步则是体验随机现象结果发生的可能性有大有小，并作出简单的定性描述。
四张牌的花色都是红桃，从中任意摸出一张，一定是红桃牌。四张牌的点数不同，每一张牌都有被摸到的可能，从中任意摸出一张，可能是红桃A，也可能是红桃2、红桃3或红桃4。如果学生说出“每张牌都有可能被摸到，摸之前不能确定是哪一张牌”，则表明他们已经体验到这项游戏结果的随机性。如果学生说出“摸出的牌可能是红桃A，也可能是红桃2、红桃3或红桃4”，则列出了这个随机现象可能发生的各种结果。
人们面对随机现象，要对随机现象的结果作出自己的判断与选择，这就需要知道随机现象发生的结果有哪些可能，并不重复、不遗漏地排出随机现象可能发生的各种结果。如果四张牌都是红桃牌，从中任意摸出一张，其结果有四种可能，分别是摸出了红桃A、红桃2、红桃3或红桃4；如果把红桃4换成黑桃4，从中任意摸出一张，其结果也有四种可能，分别是摸出了红桃A、红桃2、红桃3或黑桃4。
四张牌里有三张是红桃牌，只有一张是黑桃牌，从这些牌中任意摸出一张，显然摸到红桃牌的可能性比较大，摸到黑桃牌的可能性比较小。学生已有的经验会帮助他们形成这样的认识，正像“番茄”卡通的解释“红桃有3张，黑桃有1张，摸出红桃的可能性大”，说出了全体学生的想法。人们对随机现象可能发生的各种结果及其可能性大小的体会，有助于他们作出适合自己的判断与选择。教学需要注意的是：在三张红桃牌和一张黑桃牌里任意摸出一张，摸到哪一种花色的可能性大些，应该让学生作出判断与回答。至于为什么摸到红桃的可能性大些、摸到黑桃的可能性小些，只要求联系生活经验或常识进行简单解释，作出定性描述就够了，暂时不要进行定量分析如，摸到每一张牌的可能性都是1/4，摸到红桃的可能性是3/4，摸到黑桃的可能性是1/4。例题要求在三张红桃牌和一张黑桃牌里任意摸出一张，摸后记录牌的花色并放回，像这样摸40次。从记录表里能很清楚地看到，摸出红桃的次数比摸出黑桃的次数多（绝大多数学生会是这样的结果），这个结果与“摸出红桃的可能性大，摸出黑桃的可能性小”完全一致。
还要指出的是，有经验的成年人看例1和例2，都是十分简单的事件，其结果理所当然。四年级学生在数学课程中初步接触随机现象，体会两道例题里的数学内容和思想方法未必很容易。所以，应该为学生创造操作活动的条件，让他们在装了1个红球和1个黄球的口袋里任意摸1个球，体会摸球结果是不确定的；在装了2个红球或2个黄球的口袋里任意摸1个球，体会摸球结果是确定的；在4张红桃里任意摸1张，体会摸牌
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结果的多样性；在3张红桃和1张黑桃里任意摸1张，体会摸到红桃的可能性比摸到黑桃的可能性大。教学必须明白，学生对可能性的初步认识，一般不是听明白的，而是在实践中感悟到的。
配合例2的“练一练”给出三个口袋：第一个口袋里装了1个红球和2个黄球，第二个口袋里装了2个红球和1个绿球，第三个口袋里装了3个黄球。从每个口袋里任意摸出一个球，要求先说出“可能是红球吗”，再说出“从哪个口袋里摸出红球的可能性大”。这道数学习题，包含了随机现象与确定性现象；包含了摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性小，摸到红球的可能性比摸到绿球的可能性大等不同的情况，有利于学生深入、全面地体验随机现象，并对随机现象可能发生的结果作出简单的分析、判断与选择。
（三） 在各种各样的游戏里体验随机现象
练习十里的内容有三块：第一块是第1、2两题，主要配合例1的教学；第二块是第3～6题，主要配合例2的教学；第三块是第7～9题，综合应用所教学的可能性知识解决实际问题。教学这个练习，需要注意以下几点设计。
1. 根据预期的结果设计游戏。
第2题设计的活动是往口袋里放球：如果任意摸1个球，不可能是绿球，口袋里应该怎样装球？如果任意摸1个球，可能是绿球，口袋里应该怎样装球？如果任意摸1个球，一定是绿球，口袋里应该怎样装球？学生通过这些装球活动，亲自设计确定性事件与随机性事件，加强了对随机现象的体验。
第6题设计的活动是往口袋里放红铅笔和蓝铅笔一共6支。从中任意摸1支，摸到红铅笔的可能性大，应该怎样装两种颜色的铅笔？从中任意摸1支，摸到红铅笔和蓝铅笔的可能性相等，应该怎样装两种颜色的铅笔？教材希望学生在装铅笔的活动中，体会铅笔总数一定的前提下，红铅笔的支数直接影响摸到红铅笔的可能性的大小。如果红铅笔的支数比蓝铅笔多，摸到红铅笔的可能性就大；如果红铅笔的支数和蓝铅笔同样多，摸到两种铅笔的可能性相等；如果红铅笔的支数比蓝铅笔少，摸到红铅笔的可能性就小。
教学上述两道习题，应该让学生“想想、放放、说说、试试”，即：想一想题目对放球或放铅笔的要求是什么，怎样放才可能实现题目的要求；按自己的想法放一放，看看口袋里放了哪些球、哪些铅笔；说一说自己的想法，和同伴交流这样放球或放铅笔的理由；从口袋里摸球或摸铅笔，试一试结果如何，是否符合题目的要求。
2. 可能性大的结果会“经常”发生，可能性小的结果“偶尔”发生。
第5题的三个转盘上都有红颜色、黄颜色两个区域。第一个转盘的红颜色区域很大、黄颜色区域很小，转动这个转盘，指针经常落在红颜色区域内，即指针落在红颜色区域的可能性很大。第二个转盘的红颜色区域和黄颜色区域的面积相等，转动这个转盘，指针落在红颜色区域的可能性与落在黄颜色区域的可能性相等。第三个转盘的红颜色区域很小、黄颜色区域很大，转动这个转盘，指针偶尔落在红颜色区域内，即指针落在红颜色区域的可能性很小。教材希望学生在转动转盘的游戏中，联系“偶尔落在某处”“经常落在某处”等现象，体验“可能性小”“可能性大”的含义。
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3. 整理游戏规则，作出可能性大小的判断。
第7题把1～9九张数字卡片打乱后反扣在桌上，从中任意摸出1张。学生会立即想到：摸牌结果有9种可能，摸到每一张牌的可能性都相等。然而题目不问这些，要回答的问题是“摸到单数的可能性大还是摸到双数的可能性大”。
由于摸到各个数的可能性是相等的，回答上面的问题，需要整理1～9中有几个单数、几个双数。根据单数的个数（5个）比双数的个数（4个）多，判断摸到单数的可能性比摸到双数的可能性大。
4. 估计随机现象可能发生几次，并实验验证。
第8题在正方体的一个面上写“1”，两个面上写“2”，三个面上写“3”。显然，抛起这个正方体，落下后“1”朝上的可能性最小，“3”朝上的可能性最大。
把这个正方体抛24次，分别记录“1”“2”“3”朝上的次数。一般情况下，“1”朝上的次数最少，印证了“1”朝上的可能性最小；“2”朝上的次数稍多，印证了“2”朝上的可能性稍大些；“3”朝上的次数最多，印证了“3”朝上的可能性最大。个别情况，也会出现与上述不同的结果，即“1”朝上的次数不是最少，“3”朝上的次数不是最多。这正是“随机”的特征，是结果“不确定”的表现。但是，大多数情况应该与前面的结果相一致。
从理论上说，“1”朝上的次数应该占24次的六分之一，是4次；“2”朝上的次数应该占24次的三分之一，是8次；“3”朝上的次数应该占24次的二分之一，是12次。而实验的结果很少是这样，其原因也是“随机”。人们能够估计随机现象的结果可能怎样，但不能事先确定随机事件的发生一定会怎样。
第9题的口袋里有1个红色正方体和2个黄色正方体，从中任意摸1个，摸到红色正方体的可能性比摸到黄色正方体的可能性小。题目要求估计一下，如果摸30次，摸到红色正方体可能多少次，摸到黄色正方体可能多少次，并通过摸正方体游戏来验证自己的估计。学生根据口袋里两种颜色正方体的个数，一般会估计摸到红色正方体10次，摸到黄色正方体20次。而摸正方体的实验结果不一定正好是这些次数，但一般会比较接近这些次数。如果实际摸的结果与预先的估计差不多，则表明估计得很好。如果摸的结果与估计相差很大，不能否定原来的估计，可以重新做30次摸正方体游戏，看看结果如何。
（四） 体会随机现象的数据里蕴含着规律
数据的随机性主要有两层含义：一方面对于同样的事情，每次收集到的数据会是不同的。如，若干个小组的学生从口袋里摸球，口袋里都是1个红球和1个黄球，每次任意摸出1个球，摸后放回。每组都摸30次，各组摸到红球的次数不会都相同。另一方面只要有足够的数据，就可能从中发现规律。本单元的“动手做”，就是依据另一方面的含义而设计的学生操作活动。
“动手做”安排的活动是：两人一组做摸球游戏，一人先在一个不透明的口袋里放入红、黄两种颜色的球共6个；另一人摸球，每次任意摸出1个，摸后放回，共摸30次，记录摸出每种球的次数，并根据记录的结果，判断口袋里的红球多还是黄球多。
从装有红、黄两种颜色球的口袋里任意摸出一个球，摸后放回，像这样摸30次。
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如果红球的个数比黄球多，摸到红球的可能性就大，摸到红球的次数一般比摸到黄球的次数多；如果红球的个数比黄球少，摸到红球的可能性就小，摸到红球的次数一般比摸到黄球的次数少；如果红球的个数和黄球同样多，摸到红球的可能性和摸到黄球的可能性相等，摸到红球的次数和摸到黄球的次数会差不多。学生从两道例题中获得的这些经验和认识，是他们进行“动手做”的思想基础。所以，一个学生在不透明口袋里放两种颜色的球，另一个学生虽然不知道口袋里两种颜色球各有几个，却能通过摸球实验，判断哪种颜色球的个数多一些。
如果口袋里两种颜色球分别是2个与4个，或者分别是1个与5个，按规则摸球30次，摸到两种球的次数一般会有明显的少与多之分，就能根据记录的次数，判断哪种颜色球的个数多一些、哪种球的个数少一些。如果从记录的30个数据里还看不出哪种球的个数多，则可以继续摸、继续记录，只要有足够的数据，总是能作出适当判断的。
这次“动手做”让学生在游戏中收集信息、整理数据，并根据数据作出判断，其教育意义在于体会数据里蕴含着规律。尽管随机现象的结果在发生之前不能确定，但随机现象结果的发生仍然是有规律的，只要有充分的数据，就能看出（表现出）随机现象结果发生的规律。
七整数四则混合运算分析
三年级教科书里已经初步教学了整数四则混合运算的运算顺序以及两步计算的混合运算式题。学生已经初步知道：算式里有乘法和加、减法，应该先算乘法；算式里有除法和加、减法，应该先算除法；算式里有括号，应该先算括号里面的运算。在此基础上，本单元继续教学整数四则混合运算，算式里一般都有三个运算符号。要形成“算式里有乘、除法和加、减法，应该先算乘、除法”的认识；还要了解中括号，以及“先算
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小括号里面的运算，后算中括号里面的运算”的顺序。结合四则混合运算的教学，还编排许多需要两、三步计算的实际问题，进一步体验运算顺序，培养解决实际问题的能力。全单元编排三道例题，具体安排如下表：
例1没有括号的四则混合运算（概括出“先算乘除法，后算加减法”的运算顺序） 例2小括号里有两级运算的四则混合运算（应用“先乘除、后加减”的顺序） 例3中括号以及含有中括号的四则混合运算
从表格里可以看到，三道例题教学的都是四则混合运算顺序及其应用，没有编排解答三步计算实际问题的例题。这是因为学生已经具有解答三步计算实际问题的知识与经验，本册教科书第五单元教学的“解决问题的策略”完全可以应用于本单元，是学生解决实际问题的主要方法。
（一） 选择适当的呈现方式，体验运算顺序
运算顺序是人们共同遵循的计算规则，是一套完整而合理的规定。教学运算顺序和四则混合运算，既要让学生知道并遵守人们的共同规定，还要让他们体会这些规定的合理性。本单元教学的四则混合运算内容比较多，教材对不同内容采用不同的呈现方式，帮助学生在具体的计算情境里体验和理解运算顺序。
1. 联系现实的素材，在解决实际问题的过程中体会运算顺序。
例1计算12×3+15×4，这是把两个乘积相加的三步计算，算式里的两个乘法可以同时计算是这道例题的教学重点。教材设计了一个购物情境：每副中国象棋卖12元，每副围棋卖15元，买3副中国象棋和4副围棋一共要付多少元。解决这个问题只要把3副中国象棋的总价和4副围棋的总价相加，需要先分别算出3副中国象棋的钱和4副围棋的钱，这两个总价没有规定谁先算、谁后算的必要。所以，在列出的综合算式里，应该先算乘法，而且两个乘法可以同步完成。学生在这样的现实情境里，体验了运算顺序。
2. 以已有的运算顺序为依据，通过推理解决稍复杂的混合运算。
例1后面的“试一试”计算150+120÷6×5，算式里有乘、除法，还有加法。与例1不同之处是这里的乘法和除法不能同步计算，应该从左往右依次计算。例2计算300-（120+25×4），是有小括号的算式，小括号里面既有乘法，又有加法，需要分两步计算。计算这两道混合运算题，需要准确而灵活地运用已有的运算顺序知识，合理规划先算什么、再算什么。教学策略是引导学生面对现实的计算任务进行演绎推理，经历“观察算式——回忆有关运算顺序——规划计算步骤——按次序进行计算——反思并积累计算经验”的过程，既发展数学思维，又提升掌握运算顺序的水平。
观察算式里的运算符号，获得的视觉信息作用于大脑，能激活储存在头脑里的运算顺序。就计算150+120÷6×5来说，算式里有乘、除法，还有加法，应该先算乘、除法（这是已有的运算顺序知识）；120÷6×5这部分里只有乘、除法，应该从左往右依次计算（这也是已有的运算顺序知识）。综合有关的两条运算顺序，决定分三步计算：先算120除以6的商，再把商乘5，最后把乘积与150相加。再说300-（120+25×4），算式里有小括号，应该先算小括号里面的运算（这是已有的运算顺序知识）；小括号里有乘法和加法，应该先算乘法（这也是已有的运算顺序知识）。综合有关的两条运算顺序，决定先算25乘4的积，再算乘积和120相加的和，最后用300减前面算出的和。
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计算150+120÷6×5和300-（120+25×4），第一步先算什么，都不是凭一条运算顺序的规定就能确定的，而是综合应用两条运算顺序作出的判断。进行三步混合运算经常会遇到这些情况，开展这些数学思考，能提高应用运算顺序知识的水平，能发展初步的逻辑思维能力。
一道算式计算出结果以后，回顾一下所用的运算顺序以及计算步骤，从中获得体会就是在积累计算经验、总结计算策略。例1的“试一试”的后面，问学生：“在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算什么？”引导他们把原来的“先算乘法，再算加、减法”和“先算除法，再算加、减法”合并成“先算乘、除法，再算加、减法”。这既是计算知识，也是计算经验。
3. 在新的计算情境里教学中括号的知识。
数学教学创设的问题情境，可以是日常生活中实际问题的情境，也可以是抽象的数学问题情境。后者也能形成认识冲突，激发学习兴趣，凝聚学习的心向。例3直接出现算式525÷［（81-56）×3］，创设的就是数学问题情境，里面有尚未学习的中括号。教材指出：“［ ］是中括号”，“在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的”。教材还通过填写第一步计算的过程“525÷［ ×3］”和第二步计算的过程“525÷ ”，引导学生先算小括号里面的运算，再算中括号里面的运算，体会运算顺序，初步学会按照运算顺序进行计算。
配合例3的“练一练”计算42×［169-（78+35）］，没有提供计算步骤的提示，要求学生根据有关小括号、中括号的运算顺序，自己确定计算过程，写出必要的计算步骤，进一步掌握有关括号的运算顺序知识。
（二） 精心编排计算题组，加强对运算顺序的体验，提高练习效率
掌握运算顺序、形成混合运算能力，需要练习。练习题不是越多越好，应该精心设计安排，以较少的题量获取最大的效益。值得注意的是，在练习十一和练习十二里，编排了四个计算题组，每组2道或3道混合运算题。学生一边计算、一边比较同组的题，能够获得关于运算顺序的体验。
练习十一第2题里有两个计算题组：25×30+25×20和25×（30+20）；840÷40-400÷40和（840-400）÷40。同组两道题中，一道没有括号，另一道有括号，使用的运算顺序不同，但最后的得数相同。在练习运算顺序的同时，渗透了乘法分配律和除法运算性质。
第5题里有两个计算题组：60÷10+120÷60、600÷（10+120÷6）和（600÷10+120）÷6；26+14×70-30、26+14×（70-30）和（26+14）×（70-30）。同组三道题中，有的没有括号，有的有括号，而且括号的位置不同；有的没有括号，有的有一个括号，有的有两个括号。因此同组三题的运算顺序不同，最后结果也就不同。
第10题里有四个计算题组：45+25×12和（45+25）×12；20+12+60÷3和20+（12+60）÷3；68+185÷5+32和68+185÷（5+32）；800-432÷6×9和800-432÷（6×9）。同组两道题中，一道没有括号，另一道有括号，要求“（不算出得数）直接在每组中得数大的算式后面的□里画‘
考没有括号应该怎样计算，有括号应该怎样计算，体会其计算过程，判断最后得数哪个
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大、哪个小，有利于数感的发展。
练习十二第2题里有两个计算题组：540÷3+6×2、540÷（3+6×2）和540÷［（3+6）×2］；180÷（36÷12）+6、180÷（36÷12+6）和180÷［36÷（12+6）］。同组三道题中，有的没有括号，有的有小括号，有的有中括号；有的括号里只有一个运算，有的括号里有两个运算。由于括号不同，使用的运算顺序就不同，计算的结果也就不同。
充分利用教材精心编排的上述题组，要安排较多的时间，仔细比较同组的两（三）道题，比出它们的不同，反复体验使用的运算顺序。这些题组对练习十二后面的思考题，也有重要的作用。
（三） 编排三步计算的实际问题，进一步培养解决问题的能力
本单元结合计算教学，编排了许多实际问题。有两步计算的问题，也有三步计算的问题；有以前曾经解答过的问题，也有首次解答的新问题。这些实际问题都编排在练习十一和练习十二里面，要求学生独立解决。这些实际问题的题材宽广，涉及的类型相当多，无固定的解题模式可以套用。尤其是一些稍复杂的三步计算问题，很具有挑战性，对培养解决问题的能力会起十分积极的作用。
学生已经能够解答许多两步计算的实际问题。有些两步计算问题如果再添一个条件，就可以成为三步计算的问题。如，练习十一第4题是在“美术组有18人，书法组的人数是美术组的2倍，两组一共多少人？”的基础上，增加条件“合唱组比美术组和书法组的总人数多6人”，并且改变问题，求“合唱组有多少人”，形成一道三步计算的问题。有些两步计算的问题，即使不添条件，也能延伸为三步计算的问题。如，水果店上午运进菠萝140千克，下午运进的菠萝比上午的2倍还多50千克。以前解答的两步计算问题是“下午运进菠萝多少千克”，现在解答的三步计算问题是“这一天一共运进菠萝多少千克”或者“下午比上午多运进菠萝多少千克”（练习十一第7题）。有些两步计算的问题，如果改变它的某一个条件，由直接已知变成间接已知，也能成为三步计算的问题。如，“3辆卡车共运480箱苹果，照这样计算，5辆卡车可以运多少箱？”是两步计算的问题，如果把“5辆”改成“增加2辆”，题目的其他条件都不变，解答时需要增加一步，先求“现在有几辆卡车”，原来的两步计算问题就变成三步计算的问题了（练习十一第12题）。可见，三步计算问题与两步计算问题有着密切的联系，本单元只编排三步计算的习题，不安排相应的例题，是考虑到学生有解答两步计算实际问题的能力，希望他们利用已有的解决问题策略和解答两步问题的经验，经过独立思考，自主解决新颖的、较为复杂的问题，从而培养实践能力和创新精神。
学生已经具有的解决问题策略，主要是推理和整理。即从条件向问题的“综合法推理”，从问题向条件的“分析法推理”；利用表格或别的形式，整理实际问题里的条件与问题，帮助理解题意，促进解题思路的形成。
教学三步计算的实际问题，首先要整理已知条件和所求问题。可以把题意通过列表、画图或其他形式表示出来。如果一边整理、一边思考，应用已经掌握的推理形式和方法，就能找到三步问题和两步问题的连接点。如，练习十一第4题可以采用摘录条件与问题的方式进行整理与推理： 美术组18人
两组一共多少人 合唱组有多少人？ 43
书法组人数是美术组的2倍 合唱组比美术组和书法组的总人数多6人 再如练习十一第7题可以采用画线段图的方式进行整理和推理：
又如练习十二第8题可以利用所求问题“合唱组人数是美术组的几倍”的数量关系式进行整理：
合唱组人数是美术组的倍数=合唱组人数84人÷美术组人数
↓
航模组人数的2倍
男生8人女生6人
整理信息是所有学生都应该进行的解题活动，整理的形式因题、因人而异，不必强求统一。教学应该放手学生开展整理活动，可以组织他们交流整理的方式方法，感受整理形式的丰富性与多样性，逐渐优化整理的方法，积累整理的经验。
八垂线与平行线分析
“垂直”或“平行”是同一平面内两条直线的特殊位置关系，是认识常见平面图形不可缺少的基础知识。认识平行四边形和梯形的特征，建立平行四边形、三角形、梯形的高的概念，都离不开垂直和平行的知识。从这一点来说，本单元是直观认识几何形体向形成线、角、形、体等几何概念的重要转折点。全单元编排10道例题，内容的具体安排如下表：
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例1射线、直线的概念，两点之间的距离 例2角的概念，表示角的方法 例3用量角器测量角的大小
例4锐角、直角、钝角、平角、周角的概念 例5用量角器或三角尺画角 例6两条直线相互垂直 例7点到直线的距离 例8用三角尺画垂线 例9两条直线相互平行 例10画已知直线的平行线 单元整理与练习
从表格里可以看到，全单元内容分成两大部分。第一部分是线与角的知识，编排五道例题和两个练习教学，这些知识为认识垂直和平行作准备。如，认识两条直线的相互位置关系，需要先建立直线的概念；认识两条直线相互垂直，需要先认识直角和会画直角??学生在第一学段仅直观认识了线段和角，经过本单元前五道例题的学习，将获得比较系统的“线”与“角”的知识，形成相应的数学概念。第二部分是垂直和平行的知识，编排五道例题和一个练习教学。不仅教学两条直线相互垂直、相互平行的概念，还教学使用工具画已知直线的垂线和平行线的方法。
垂线和平行线这两个知识的教学安排，有些教科书里先讲平行线、再讲垂线，有些教科书里先讲垂线、再讲平行线。本单元把垂线放在平行线的前面先教，是因为学生在生活中接触垂直现象的机会稍多些，积累的关于垂直的感性认识比平行线多。而且，学生认识了垂直关系，学会了画垂线，有助于他们体会两条直线的“不相交”，会适当降低建立平行线概念的难度。
（一） 从生活中的直观现象引出射线和直线，以线段为生长点揭示射线和直线的概念
学生在第一学段已经认识了线段，知道线段是有两个端点的直线，其长度是有限的，可以用尺度量。本单元教材以线段概念为生长点，继续教学射线和直线。射线和直线可以看成是线段“无限延长”得到的几何图形，小学生理解“无限延长”往往会有些困难。但是，如果不能理解“把线段无限延长”，就难以形成射线和直线的表象。为此，教材在教学射线和直线时，作了如下的安排。
1. 从生活中的直观现象引出射线，体会“无限延长”。
例1呈现一幅美丽的城市夜景图，其中有许多灯光。这些灯光各自从一点出发，向天空射去，射得很远很远。“茄子”卡通告诉学生“这些灯射出的光线可以看作射线”。图画显示和语言描述相结合，引出了“射线”，让学生形象地感受射线的特点——向一端无限延长的直线。
2. 凸显射线和直线的几何图形，初步建立射线和直线的概念。
在学生形象感知射线以后，教材继续引导他们观察数学现象，从数学的角度认识射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。配合这句话，画出一条线段，把线段的
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两个端点涂上红色；其中一个端点保持不动，另一个端点随着线段无限延长。学生就这样形成了射线的表象。
在学生初步认识射线以后，采用类似的方法，把线段的两个端点都无限延长，引出了直线，指出了直线的本质特征。
以线段概念为生长点教学射线和直线，从有限到无限，符合学生的认识规律。苏教版小学数学教科书的这种安排，得到了教材审查专家的充分肯定。
3. 及时组织射线、直线和线段的相互比较，进一步认识这些线。
射线、直线、线段是三个不同的概念，它们是三种不同的几何图形。以线段为基础教学射线和直线以后，及时比较三者之间有什么相同、有什么不同，能促进学生更好地理解这三个概念的本质特征。
“辣椒”和“蘑菇”卡通的交流，说出了线段与射线、直线之间的不同，这些应该是所有学生的共同体验。学生能够看到：线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。这是他们识别线段、射线和直线的主要着眼点。学生能够想到：线段的长度是有限的，射线和直线是无限长的。这是他们对线段、射线和直线的本质认识。
“练一练”第1题给出了七条线，其中有直的线、有曲的线；有线段、有射线和直线。要求学生指出哪些是线段、哪些是射线、哪些是直线。让他们在具体对象面前，重温线段、射线和直线的特征，再次体会线段、射线、直线虽然都是直的线，却是三种不同的几何图形。练习十三第1题，在一条给定的直线上画出4厘米长的线段。不仅用要直尺在直线上量出4厘米长的一段，还要表示出线段的两个端点，这就感受了线段的特点——有确定的长度，应该画出两个端点，也体验了线段与直线的联系与区别。
4. 教学两点之间的距离，进一步体验线段的特征。
例1的最后是A、B两点之间有一条线段、一条折线和一条曲线，比较这三条线的长度。学生联系生活经验，会知道线段的长度最短，从而感受了“两点之间所有连线中线段最短”。教材及时指出“连接两点的线段的长度叫作这两点之间的距离”，突出两点之间的距离指的是一条线段的长度。这些认识在以后的学习中将多次用到，如，量三角形的高就是量三角形的顶点到它对边的垂直线段的长度，即测量顶点到垂足之间的距离。
这段内容还可以从两点来体验线段的特征：一是连接A、B两点的线段是以A、B两点为端点的直线。二是A、B两点之间可以画出许许多多线，包括许多折线、许多曲线，但只能画出一条线段。
（二） 通过画角，初步建立角的概念，教学相应的符号标记
学生在二年级下册教科书里直观认识了角，初步知道了角的顶点和两条边。本单元在教学射线以后，继续建立有关角的概念。
角作为一种平面图形，是两条有公共端点的射线所组成的图形。例2以一点为端点画两条射线，示范了像这样画角的方法，指出“从一点引出两条射线所组成的图形叫作角”。学生可以画一画、看一看，理解对角的这种描述。指出角的顶点和两条边，在回忆旧知识的同时，体会画的这个角的两条边是两条射线，顶点是两条边的公共端点。
在角的图形里有一段红颜色的弧线，清楚地指出角是由两条射线组成的图形，是两
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条射线所夹的平面部分，从而使角的概念更加明确。例题还教学表示角的符号“∠”以及使用符号表示的方法。如∠1，方便了表达和交流。
“练一练”第3题给出三条射线，要求以每一条射线为一边，分别画出一个角。学生画角，要找到已知射线的端点，从这出发点再画出一条射线，与原来的射线组成一个角。这就加强了角的表象，体会了角是由一个顶点引出的两条射线所组成的图形。第4题数数一块三角尺上有几个角，指指每个角的顶点和边，能体会到三角尺的每一条边既是某个角的一条边，也是另一个角的一条边。指出每个角的顶点和边，角的初步概念就形成了。
练习十三第2题，三条射线有同一个端点。在这样的图形里识别角，看出每两条射线都组成一个角，能加强对角的体验。有些学生只看到2个角，有些学生会看出3个角。要组织他们交流每个角的顶点和两条边，用手指示意弧线表示两边所夹的部分，还可以用符号∠1、∠2、∠3来表示各个角，感受图中两个较小的角合成一个较大的角。
（三） 简要介绍量角器的构造和量角原理，示范用量角器量角的方法，帮助学生克服使用工具的困难
例3给出一个角，要求学生用三角尺上的角去度量这个角的大小。用三角尺上的哪一个角去量，可以自由选择。由于三角尺上角的大小不同，所以测量的结果与表达各不相同。如果用三角尺上较大的锐角去量，那个角正好等于较大锐角；如果用三角尺上较小的锐角去量，那个角正好等于较小锐角的2倍；如果用三角尺的直角去量，那个角比直角小。教材安排这些测量活动的目的有两点：一是让学生明白，测量角的大小就是寻找一个大小已知的，并且与被测量角大小相等的角；二是让学生体会，准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位，这与测量长度需要统一的长度单位，测量面积需要统一的面积单位，测量容量需要统一的容量单位是一致的。
量角器是常用的度量角的大小的工具，例3着力教学量角器的构造和计量角的单位。先观察量角器的图画，说说量角器上有些什么，了解量角器的结构。然后指出计量角的单位是“度”，并在量角器上表示出1度角有多大。
量角器的构造比较复杂，学生观察量角器会看到它是半圆形，上面有许多刻度线，所有刻度线都相交于量角器的中心点；以中心点为顶点，任意两条刻度线为边，都能组成一个角；量角器上像这样的角有许许多多，而且形成的角的大小不同。还会看到量角器上的两圈数，都是0、10、20??90、100??180；两圈数的排列分别从左到右、从右到左，方向刚好相反。就大多数学生而言，都能看到量角器的形状以及它上面的刻度线、数字，但想不到中心点与两条刻度线组成一个角。想到这一点十分重要，关系到量角器量角方法的原理，应该引起教学的注意。
1度的角比较小，教材在量角器上表示出1度的角。让学生清楚地看到，量角器上每相邻的两条刻度线都组成一个1度的角。2个1度的角连起来就是2度的角，几个1度的角连起来就是几度的角。
量角器上，把半圆平均分成180份，有内外两圈刻度。内圈刻度从右往左依次是10°、20°、30°??180°，外圈刻度从左往右依次是10°、20°、30°??180°。教材要求学生“从右边起，依次找出0°、20°、90°、135°、180°的刻度线”“从左
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边起，依次找出这些度数的刻度线”。教学不仅要完成这些活动，还要体会0°刻度线和20°刻度线组成20°角，0°刻度线和90°刻度线组成90°角，0°刻度线和135°刻度线组成135°角，0°刻度线和180°刻度线组成180°角，从而进一步体会量角器上有许许多多个大大小小的角，而且每个角的度数都能看出来或算出来。
认识量角器以后，就能使用量角器测量角的大小。设计的教学活动线索是“图示方法——模仿操作——交流体会”。先图画演示怎样把量角器正确地放到要量的那个角上，看出这个角是多少度；再照样子用量角器在教材上量一量，经历量角器量角的操作过程，初步学会使用量角器；然后交流用量角器量角的体会。一要体会量角器的中心点和角的顶点重合，0°刻度线和角的一条边重合，就能在量角器上找到一个与要度量的角大小相等的角。量角器上的角有多少度，被测量的那个角就是多少度，从而明白量角器量角的原理。二要联系上面的操作，说说使用量角器的方法与要领，掌握正确使用量角器的技能。三要体会有了量角器以及统一的计量单位“度”，就能准确测量角的大小。
用量角器量角的练习由易到难地编排。“练一练”里的量角，都使用量角器的外圈刻度线。第1题已经把量角器放在角的上面，只要看量角器上的刻度，就能说出各个角的度数。第2题要把量角器放到角的上面，量出各个角的度数。由于只使用量角器的外圈刻度线，把量角器放到角上不是很难。练习十三第9、10两题里的量角稍难些，一是把量角器正确放到角上比较难，二是选择量角器的内圈刻度还是外圈刻度比较难。为此，第9题的图画里已经把量角器放到角上，只要根据与角的一条边重合的0°刻度线，选择量角器的外圈或内圈刻度，就能得出被测量的角的大小。第10题的图画里，也示范了量角器放到角上的方法，减少学生测量中的困难。
需要注意的是，教材没有用文字语言讲述使用量角器量角的操作步骤，希望学生通过观察教材里的测量，联系自己进行的量角活动，交流体会并总结使用量角器的方法。练习十三第8题，给出四幅用量角器量角的图画，其中三幅使用量角器的方法都不对，或是量角器的中心点没有和角的顶点重合，或是没有把量角器的0°刻度线与角的一条边重合，或是没有把量角器放在角的上面。教材问“（这些）用量角器量角的方法是否正确”，引导学生在辨析正误和改正错误的过程中，学会正确使用量角器量角的方法。
估计角的大小是比较难的。“练一练”第3题给出了两个角，要求学生判断“两个角的大小一样吗？先估计，再用量角器量”。题目不要求说出每个角的大小，它们的度数仍然可以用量角器量得。这道题要让学生明白：角的大小与画出的边的长短无关，与其两条边叉开的程度有关。因为角是同一顶点的两条射线组成的图形，射线只有一个端点，是无限长的。尽管画出的两个角的边长短不同，以射线的观点看待角的边，就能理解这两个角同样大。练习十三第13题估计少先队队旗中三个角的度数，可以利用第6题量得的三角尺的各个角的度数进行估计。如队旗上的∠1和三角尺上最大的角差不多，应该是90°；∠2比三角尺上的45°角大些，∠3比三角尺上最大的角大些，这两个角的度数也能有所估计。培养估计角的大小的能力，可以让学生反复观察三角尺上的各个角，记住每个角的度数，作为估计角的大小的参照。
（四） 在角的运动变化中教学锐角、直角、钝角、平角和周角，充实角的知识，加强角的概念
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二年级下册教科书里，学生直观认识了锐角、直角和钝角，并知道锐角比直角小、钝角比直角大。那时的认识，处在直观、初步的层面上。本单元继续认识锐角、直角、钝角，但概念要建立在这些角的度数（即量化刻画）的层面上。而平角与周角，则是本单元教学的新知识。
教材选择的教具是活动角。“一条射线绕着它的端点在平面内旋转，所形成的图形叫作角”是对角的动态描述。活动角不仅能够引出各种角，还能帮助学生发展对角的认识，加深对角的理解。
例4的教学分五步进行，依次是：认识直角；认识平角；整理锐角、钝角与直角、平角的关系；认识周角；整理直角、平角与周角的关系。
认识直角主要教学“直角是90°的角”。学生在第一学段已经直观认识了直角，也认识了表示直角的常用符号。现在继续教学直角，应该知道直角是多大的角，并进一步熟悉和应用表示直角的符号。例4给出一个直角，问学生“你知道直角是多少度吗？”要求他们量一量。学生通过测量，能够得出“直角等于90°”，这就是他们对直角的新认识。
认识平角主要教学怎样的角是平角，以及平角有多少度。先用两根硬纸条做出一个直角；再旋转直角的一条边，使角的两条边在一条直线上，指出这也是一个角，并通过推理和测量，得出这个角的度数；最后指出，这样的角是平角，平角等于180°。学生初步接触平角不容易接受它，把有公共顶点，且两条射线在一条直线上的图形看成一个角，会不习惯。教学要引导他们按角的概念来认识这样的图形，理解这也是一个角。至于平角有多少度，一方面可以从“平角里包含两个直角”推理出来，另一方面还可以通过量角器的测量得出。
锐角与钝角已经在第一学段初步教学，学生已能直观辨认锐角与钝角。所以，例4整理锐角、钝角与直角、平角的关系，进一步明晰锐角与钝角的概念。要求学生做出几个大小不同的锐角和几个大小不同的钝角，深刻体会锐角是小于90°的角，钝角是大于90°、小于180°的角。
认识周角主要教学什么样的角是周角，周角有多少度。教材旋转平角的一条边，直到与另一条边重合，指出这样的图形也是一个角，是周角。让学生体会，这个角包含了2个平角，是360°的角。
整理直角、平角与周角的关系，应该得出如下的内容：一个平角相当于2个直角；一个周角相当于2个平角、4个直角。这些内容有助于学生更好地体验平角和周角。
“练一练”联系折扇的打开感受平角与周角：当折扇的两条边在一条直线上时，折扇形成一个平角；当折扇的两条边重合时，折扇形成一个周角。练习十四第5题，把一张正方形纸对折再对折，折成一个小正方形，打开这张纸，在中心部分找到一个直角、一个平角（2个直角）、一个周角（4个直角或2个平角）。在同一个情境里体验直角、平角、周角及其相互关系，能够加强有关的概念。第8题，钟面的分针，从指向12起，旋转到指向1，形成的角是锐角；从指向12起，旋转到指向3，形成的角是直角；从指向12起，旋转到指向4或5，形成的角是钝角；从指向12起，旋转到指向6，形成的角是平角；从指向12起，旋转一周（仍然指向12）形成的角是周角。这些有趣的现象
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能够帮助学生体验直角、平角和周角，再次整理各种角之间的关系。
（五） 根据角的度数，选用适当的工具画角
小学生画指定度数的角，一般有两种工具可以使用，一是量角器，二是三角尺。用量角器能够画出任何度数的角，而三角尺只能画出某些度数的角。
例5要求画一个50°的角，通常使用量角器来画。学生有用量角器量角的经验，学习用量角器画角不会有很大困难。教材通过一组连续的图画，表示画50°角的主要步骤：先画一条射线，作为角的一条边；再把量角器放到射线上面，使中心点和射线端点重合，0°刻度线和射线重合；然后找到量角器的50°刻度线，做出记号，并画出角的另一条边。教材要求学生看懂图画表示的画角方法，照样子画一画，并说说画角时要注意些什么，总结使用量角器画角的方法。
“练一练”要求画30°、45°、90°的角。由于三角尺上有这些度数的角，所以这些角可以用三角尺为工具，直接画出来。
一般说，度数是15或15的倍数的锐角和钝角，都可以用三角尺画出来。 练习十四后面的“动手做”，把一副（两块）三角尺的两个角拼起来，说出拼成的角的度数。一方面使学生更加熟悉三角尺的各个角的度数，另一方面也给学生利用三角尺画某些度数角的方法启示。
一副三角尺上有30°、45°、60°、90°的角，把两块三角尺上的角拼起来有75°（45°+30°）、105°（45°+60°）、120°（30°+90°）、135°（45°+90°）、150°（60°+90°）等角。这些角可以利用一副三角尺画出来。
一个较大的角减去一个角，能够得到一个较小的角。像这样，利用两块三角尺的角还能够画出15°（45°-30°或60°-45°）的角。
如果把一副三角尺能画出来的角排一排，依次应是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°。不难看出，这些角的度数都是15的倍数。这就是说，度数是15的倍数的角，都能用一副三角尺画出来。
（六） 联系生活情境，教学两条直线互相垂直、互相平行
在认识直线以后，本单元例6～例10教学直线与直线的位置关系。在同一平面内，两条直线可能相交，也可能不相交。相交成直角的两条直线互相垂直，垂直是特殊位置的相交。不相交的两条直线互相平行，也是直线之间的特殊位置关系。教材先教学两条直线互相垂直，再教学两条直线互相平行，以理解这两种位置关系，建立垂直与平行的概念为教学重点（如下图）。在理解的基础上，用多种办法画出互相垂直、互相平行的直线。
同一平面内的两条直线 相交 不相交 1. 在现实的生活情境中凸显数学内容。
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相交成直角 ????互相垂直 相交不成直角 ????互相平行