?100?当x≥8时，L(x)＝35－?x＋?≤35－2

?

x?

x·

100

x100

＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，

x即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． [规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3利用该模型求解实际问题. 易错警示：1解决实际问题时要注意自变量的取值范围. 2利用模型fx＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件. (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用

率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A．3.50分钟 C．4.00分钟

漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae

－bt2

bxB．3.75分钟 D．4.25分钟

3

(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速

(cm)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则

3

再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

(1)B (2)16 [(1)根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，

0.7＝9a＋3b＋c，??

联立方程组得?0.8＝16a＋4b＋c，

??0.5＝25a＋5b＋c，

??7a＋b＝0.1，

消去c化简得?

?9a＋b＝－0.3，?

a＝－0.2，??

解得?b＝1.5，

??c＝－2.

2

所以p＝－0.2t＋1.5t－2 1?215225?45＝－?t－t＋?＋－2

216?165?

2

1?15?13

＝－?t－?＋，

4?165?

- 5 -

15

所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，

4即最佳加工时间为3.75分钟． (2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae∴e

24b－8b－8b1＝a， 2

111－b t－b t－8 b3－＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae＝a，e＝＝(e)＝e288

，则t＝24，所以再经过16 min.]

构建函数模型解决实际问题

【例2】 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x≤6时，y＝50x－115. 令50x－115＞0，解得x＞2.3. ∵x∈N，∴3≤x≤6，x∈N.

当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.

令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x－68x＋115＜0. 又x∈N，∴6＜x≤20(x∈N)，

??50x－1153≤x≤6，x∈N，故y＝?2*

?－3x＋68x－1156＜x≤20，x∈N?

*

*

*

*

2

*

*

.

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N)，显然当x＝6时，ymax＝185. 34?2811?*

x－对于y＝－3x＋68x－115＝－3?＋(6＜x≤20，x∈N)， ?3?3?

2

当x＝11时，ymax＝270.又∵270＞185，

∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． [规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法． (3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． ax - 6 -

易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制． (2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A．2018年 C．2020年

B．2019年 D．2021年

nB [设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)>200，lg 2－lg 1.30.30－0.1119n20

得1.12>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年

13lg 1.120.055开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]

函数模型的选择

【例3】 (2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·q；②f(x)＝px＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0,5])

(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；

(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝

x2

fx－2x－13

，经过多年

x＋1

的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？

[解] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势， 故应该选择②f(x)＝px＋qx＋7.

(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x＋4x＋7.

2

2

fx－2x－13g(x)＝

x＋1x2－2x＋6＝－

x＋1

＝－?

?9＋x＋1－4?.

?

?x＋1??9＋x＋1－4?≤－2，

?

?x＋1?

因为－?

当且仅当x＋1＝3，即x＝2时等号成立． 所以明年拓展外销的时间应为6月1号．

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[规律方法] 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点： 1若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择. 2当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax＋bx＋ca，2b，c均为常数，a＜0；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋ca，b，c均为常数，a＞0. 3对数函数底数大于1时增长越来越慢，而指数函数底数大于1时增长越来越快. 某商场2018年1月份到12月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为( )

x?1?A．f(x)＝20×??

?2?

B．f(x)＝－6log3 x＋8 C．f(x)＝x－12x＋19 D．f(x)＝x－7x＋14

D [把f(1)＝8，f(3)＝2逐一代入四个选项中，并结合f(x)与x间呈先下降后上升的趋势，不难选出选项D符合．]

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