“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
n例12 设数列?an?的前n项和为Sn?2an?2，（Ⅰ）求a1,a4；（Ⅱ）证明： ?an?1?2an?是等比数列；（Ⅲ）求?an?的通项公式．（四川卷第21题）
n略解：（Ⅰ）∵a1?S1,2a1?S1?2，所以a1?2,S1?2．由2an?Sn?2知，
2an?1?Sn?1?2n?1
?an?1?Sn?2n?1，
得，
an?1?Sn?2n?1 ①，
∴a2?S1?22?2?22?6,S2?8a3?S2?23?8?23?16,S3?24a4?S3?24?40．
（Ⅱ）由题设和①式知，an?1?2an?Sn?2n?1?Sn?2n?2n?1?2n?2n，∴
?????an?1?2an?是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）
an??an?2an?1??2?an?1?2an?2??L?2n?2?a2?2a1??2n?1a1??n?1??2n?1
此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
2例13 数列?an?满足a1?0,a2?2,an?2?(1?cosn?n?)an?4sin2,n?1,2,3,L,22（I）求a3,a4，并求数列?an?的通项公式；（II）设Sk?a1?a3?L?a2k?1，
Tk?a2?a4?L?a2k， Wk?南卷第20题）
略解：（I）
2Sk(k?N?)，求使Wk?1的所有k的值，并说明理由．（湖2?Tka3?(1?cos2?2)a1?4sin2??2?a1?4?4,a4?(1?cos2?)a2?4sin2??2a2?4,一般地, 当n=2k?1(k?N)时，
a2k?1?[1?cos2(2k?1)?(2k?1)?]a2k?1?4sin2?a2k?1?4,即a2k?1?a2k?1?4. 22所以数列?a2k?1?是首项为0、公差为4的等差数列，因此a2k?1?4(k?1).当
n=2k(k?N?)时，a2k?2?(1?cos22k?2k?)a2k?4sin2?2a2k,所以数列?a2k?是首项22k为2、公比为2的等比数列，因此a2k?2.故数列?an?的通项公式为
?2(n?1),n?2k?1(k?N?),?an??n
?2??2,n?2k(k?N).（II）由（I）知，
Sk?a1?a3?L?a2k?1=
0?4?L?4(k?1)?2k(k?1),2Skk(k?1)?. k?12?Tk2Tk?a2?a4?L?a2k2?22?L2k?2k?1?2,Wk?于是，W1?0,W2?1,W3?33515,W4?,W5?,W6?. 22416下面证明: 当k?6时，Wk?1.事实上, 当k?6时，
Wk?1?Wk?(k?1)kk(k?1)k(3?k)?k?1??0,即Wk?1?Wk.又W6?1,所以当k?6时，kk222Wk?1.故满足Wk?1的所有k的值为3,4,5.
数列知识点回顾
第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列{ an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an=f(n)来表示，就把这个公式叫做数列{ an}的通项公式。若给出数列{ an}的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ an}的前n项和记为Sn，则Sn与
n?1?S1,an的关系是：an=?。
S?S.n?2n?1?n第二部分：等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = an－an?1(n≥2)或d = an?1－an (n?N?)．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n?N?，an－an?1= d (n≥2)或d = an?1－an都成立．一般采用的形式为：
① 当n≥2时，有an－an?1= d (d为常数)． ②当n?N?时，有an?1－an= d (d为常数)． ③当n≥2时，有an?1－an= an－an?1成立．
若判断数列{ an}不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可． 2．等差中项
a?ba?b，则A是a与b的等差中项；若A=，22a?b则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于
2若a、A、b成等差数列，即A=an=
an?1?an?1，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 23．等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差
为kd．
⑶若{ an}、{ bn}为等差数列，则{ an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n?N?，在等差数列{ an}中有：an= am+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{an}为等差数列时，有：al+ ak+ ap+ … = am+ an+ ap+ … ．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ an}是等差数列，公差为d，那么，an，an?1，…，a2、a1也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ an}中，am?l－al= am?k－ak= md ．(其中m、k、l?N?)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比
a??anl?m=?（?≠－1），则am=l． m?n1??4．等差数列前n项和公式Sn=
前n项和公式 n(a1?an)n(n?1)d的比较 与Sn= na1＋
22公式适用范围 相同点