第二章误差与测量不确定度

2.1 名词解释：真值、实际值、示值、误差、修正值。

答：真值是指表征某量在所处的条件下完善地确定的量值；实际值是指用高一级或高出数级的标准仪器或计量器具所测得的数值，也称为约定真值；示值是指仪器测得的指示值，即测量值；误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差；修正值是指与绝对误差大小相等，符号相反的量值。 2.2 测量误差有哪些表示方法？测量误差有哪些来源？

答：测量误差的表示方法有：绝对误差和相对误差两种；测量误差的来源主要有：（1）仪器误差（2）方法误差（3）理论误差（4）影响误差（5）人身误差。 2.3 误差按性质分为哪几种？各有何特点？

答：误差按性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。各自的特点为：

系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化； 随机误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差：在一定条件下，测量值显著偏离其实际值。 2.4 何谓标准差、平均值标准差、标准差的估计值？

1n答：标准差是指对剩余误差平方后求和平均，然后再开方即??(xi?x)2； ?ni?1平均值标准差是任意一组n次测量样本标准差的n分之一，即s(x)?s(x)； n1n标准差的估计值即s(x)?(xi?x)2。 ?n?1i?12.5 归纳比较粗大误差的检验方法。

答：粗大误差的检验方法主要有莱特检验法，肖维纳检验法以及格拉布斯检验法。 莱特检验法：若一系列等精度测量结果中，第 i项测量值xi所对应的残差?i的绝对值

?i＞3s（x）则该误差为粗差，所对应的测量值xi为异常值，应剔除不用。

本检验方法简单，使用方便，也称3s准则。当测量次数n较大时，是比较好的方法。本方法是以正态分布为依据的，测值数据最好n>200，若n<10则容易产生误判。

肖维纳检验法：假设多次重复测量所得n个测量值中，当?i?k?(x)时，则认为是粗差。

本检验方法是建立在频率趋近于概率的前提下，一般也要在n＞10时使用。一般在工程中应用，判则不严，且不对应确定的概率。

格拉布斯检验法：对一系列重复测量中的最大或最小数据，用格氏检验法检验，若残差?max＞Gs。 本检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好。 2.6 绝对误差和相对误差的传递公式有何用处？ 答：绝对误差传递公式：?y???x?xj?1jm?fj在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之间的关系主要为和差关

系时，利用绝对误差传递公式更方便求解总系统误差的绝对误差； 相对误差传递公式：?y??lnf?xj在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之间的关系主要为乘、除，??xj?1jm

开方以及平方关系时，利用相对误差传递公式更方便求解总系统误差的相对误差。 2.7测量误差和不确定度有何不同？

答：测量误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差，它以真值或约定真值为中心，误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；

不确定度是指与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度，即一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心。测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。 对比项目 误差 含义 符号 分类 表示符号 合成方式 主客观性 与真值的关系 反映测量结果偏离真值的程度 非正即负 随机误差、系统误差、粗大误差 符号较多、且无法规定 代数和或均方根 客观存在，不以人的认识程度改变 有关 不确定度 反映测量结果的分散程度 恒为正值 A类评定和B类评定 规定用u、uc、U、Up表示 均方根 与人们对被测量及测量过程的认识有关 无关 2.8 归纳不确定度的分类和确定方法？

答：不确定度分为A类标准不确定度和B类标准不确定度。

由一系列观测数据的统计分析来评定的分量称为A类标准不确定度；不是用一系列观测数据的统计分析法，而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定的分量称为B类标准不确定度。 确定方法：

（1）A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即A类标准不

?x； 确定度就等于标准差，即uA??（2）B类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。

2.9 归纳测量数据处理的方法。

答：测量数据处理的方法主要有效数字、算术平均值加不确定度、表格或曲线等。

有效数字是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的所有各位数字。 数据修约规则：四舍五入，等于五取偶数。

最末一位有效数字（存疑数）应与测量精度是同一量级的。

测量数据可绘制成曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。 2.10用图2.22中（a）、（b）两种电路测电阻Rx，若电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI，求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。

I I

Rx Rx V V

（a）

图2.22 题2.10图 解：(a)Rx?'（b）

V(Rx//Rv)IRxRv ??IIRX?Rv'R2X ? R=Rx?Rx??

RX?RV

rR=

?RRX1?10000???10000???100％

RVRXRX?RV1?RX 在Rv一定时被测电阻RX 越小，其相对误差越小,故当RX相对Rv很小时,选此方法测量。 (b)R'x?VI?(Rx?RI)??Rx?RI ?R?R'x?Rx?RI II rR?R?R?10000?I?10000 RXRX在RI一定时，被测电阻RX 越大.其相对误差越小,故当RX相对RI很大时,选此方法测量。

2.11 用一内阻为RI的万用表测量下图所示电路A、B两点间电压，设E＝12V，R1＝5kΩ ，R2＝20kΩ，求：

（1）如E、R1、R2都是标准的，不接万用表时A、B两点间的电压实际值UA为多大? （2）如果万用表内阻RI＝20kΩ，则电压UA的示值相对误差和实际相对误差各为多大？ （3）如果万用表内阻RI＝lMΩ，则电压UA的示值相对误差和实际相对误差各为多大？ R1 5KΩ A RI E R2

12V 20KΩ V

B 解：（1）A、B两点间的电压实际值UA?E12R2?20k?9.6V

R1?R25k?20k（2）UA测量值为：UA? ?E12R2//RI?20k//20k

R1?R2//RI5k?20k//20k1210k?8.0V

5k?10k?U8.0?9.6???20% 所以UA的示值相对误差?x?Ux8.0?U8.0?9.6???17% UA的实际相对误差为?A?UA9.6（3）UA测量值为：UA? ?E12R2//RI?20k//1M

R1?R2//RI5k?20k//1M1219.6k?9.56V

5k?19.6k?U9.56?9.6???0.42% 所以UA的示值相对误差?x?Ux9.56?U9.56?9.6???0.42% UA的实际相对误差为?A?UA9.6由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。

2.12 CD—13型万用电桥测电感的部分技术指标如下：

5μH —1.1mH挡：±2％(读数值)±5μH；

10mH—110mH挡：±2％(读数值)±0.4％(满度值)。试求被测电感示值分别为10μH，800μH，20mH，100mH时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。

解：根据误差公式计算各电感误差如下： （1）10μH

?L??2%?10?H?5?H??0.2?H?5?H??5.2?H ?L?（2）800μH

?L?5.2?H???52% L10?H?L??2%?800?H?5?H??16?H?5?H??21?H ?L?（3）20mH

?L?21?H???2.6% L80?0H?L?0.94mH???4.7% L20mH?L??2%?20mH?0.5%?110mH??0.4mH?0.55mH??0.94mH ?L?（4）100mH

?L??2%?100mH?0.5%?110mH??2mH?0.55mH??2.55mH ?L??L?2.55mH???2.6% L100mH由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差影响大，而被测电感较大

时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一个临界值： 5μH —1.1mH档：临界值L1，?2%?L1??5?H，L1?250?H 即当被测电感L小于250μH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。 即当被测电感L大于250μH时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。 10mH—110mH档：临界值L2，?2%?L2??0.5%?110mH，L2?27.5mH

即当被测电感L小于27.5mH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。 即当被测电感L大于27.5m H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。

2.13 检定一只2.5 级电流表3mA量程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选用哪只最适合，为什么？

（1）0.5 级10mA量程； （2）0.2 级10mA量程； （3）0.2 级15mA量程； （4）0.1 级100mA量程。 解：2.5 级电流表3mA量程的绝对误差为2.5％×3mA＝0.075mA

（1）0.5 级10mA量程的绝对误差为0.5％×10mA＝0.05mA （2）0.2 级10mA量程的绝对误差为0.2％×10mA＝0.02mA （3）0.2 级15mA量程的绝对误差为0.2％×15mA＝0.03mA （4）0.1 级100mA量程的绝对误差为0.1％×100mA＝0.1mA 由以上结果可知（1），（2），（3）都可以用来作为标准表，而（4）的绝对误差太大， 其中（1），（2）量程相同，而（3）的量程比（1），（2）大，在绝对误差满足要求的情况下，应尽量选择量程接近被检定表量程，但（2），（3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是0.2 级10mA量程的。

2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为90μW，其允许误差为±30％，检定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为75μW。问此信号源是否合格? 解：信号源频率的测量绝对误差为75μW－90μW＝－15μW 相对误差为???15??16.7%?30%，所以此信号源合格。 901 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.15 对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下：

次 数

电压/V 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007 求输出电压Ux的算术平均值U及其标准偏差估值s(U)。 解：Ux的算术平均值

110U?5.000?0.001??(3?11?6?2?15?4?9?10?1?7)?5.0054?5.005

10i?1次数 电压/V 残差(103V) －1 -2.4 2 5.6 3 0.6 4 -7.4 5 9.6 6 -9.4 7 3.6 8 4.6 9 -6.4 10 1.6 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007 110标准偏差估值s(U)?(Ui?U)2 ?9i?1110?[(?2.4)2?5.62?0.62?(?7.4)2?9.62?(?9.4)2?3.62?4.62?(?6.4)2?1.62]?(10?3)2?9i?1110?[5.76?31.36?0.36?57.76?92.16?88.36?12.96?21.16?40.96?2.56]?(10?3)2?9i?1

?1?353.4?10?6?0.0062?0.006V 9次数 1 2 3 4 5 6 7 8 2.16 对某恒流源的输出电流进行了8次测量，数据如下： I/mA 10.082 10.079 10.085 10.084 10.078 10.091 10.076 10.082 求恒流源的输出电流的算术平均值I，标准偏差估值s(I)及平均值标准偏差估值s(I)。 解：恒流源的输出电流的算术平均值

18I?10.000?0.001??(82?79?85?84?78?91?76?82)?10.0821?10.082

8i?1次数 I/mA 残差（103mA） －1 -0.1 2 -3.1 3 2.9 4 1.9 5 -4.1 6 8.9 7 -6.1 8 -0.1 10.082 10.079 10.085 10.084 10.078 10.091 10.076 10.082 18标准偏差估值s(I)?(Ii?I)2 ?7i?1?18[(?0.1)2?(?3.1)2?2.92?1.92?(?4.1)2?8.92?(?6.1)2?(?0.1)2]?(10?3)2?7i?118[0.01?9.61?8.41?3.61?16.81?79.21?37.21?0.01]?(10?3)2 ?7i?1??1?154.88?10?6?0.0047?0.005mA 7

平均值标准偏差估值s(I)?s(I)8?0.00478?0.0017?0.002mA

2.17 两种不同的方法测量频率，若测量中系统误差已修正，所测得的频率的单位为kHz。 方法1 100.36 100.41 100.28 100.30 100.32 100.31 100.37 100.29 方法2 100.33 100.35 100.28 100.29 100.30 100.29

（1）若分别用以上两组数据的平均值作为该频率的两个估计值，问哪一个估计值更可靠？ （2）用两种不同方法的全部数据，问该频率的估计值（即加权平均值）为多少？ 解：（1）方法1：

18f1?100.00?0.01??(36?41?28?30?32?31?37?29)?100.330kHz

8i?1次数 f/kHz 残差（102kHz） －1 3 2 8 3 -5 4 -3 5 -1 6 -2 7 4 8 -4 100.36 100.41 100.28 100.30 100.32 100.31 100.37 100.29 18标准偏差估值s(f1)?(fi?f1)2 ?7i?1?182[3?82?(?5)2?(?3)2?(?1)2?(?2)2?42?(?4)2]?(10?2)2 ?7i?118[9?64?25?9?1?4?16?16]?(10?2)2 ?7i?1??1?144?10?4?0.045kHz 7同理可求出方法2的标准偏差估值，

16f2?100.00?0.01??(33?35?28?29?30?29)?100.307kHz

6i?1次数 f/kHz 残差（102kHz） －1 2.3 2 4.3 3 -2.7 4 -1.7 5 1.3 6 -1.7 100.33 100.35 100.28 100.29 100.30 100.29 16标准偏差估值s(f2)?(fi?f2)2 ?5i?1?16[2.32?4.32?(?2.7)2?(?1.7)2?1.32?(?1.7)2]?(10?2)2 ?5i?116?[5.29?18.49?7.29?2.89?1.69?2.89]?(10?2)2 ?5i?1?

1?38.54?10?4?0.027kHz 5

由此可见方法2测得的数据更为可靠。

xi100.330100.307??222si?1i0.0450.027（2）由x?m得f??100.31kHz 111??220.0450.0272i?1sim该频率的估计值为100.31kHz。

2.18 设对某参数进行测量，测量数据为1464.3，1461.7，1462.9，1463.4，1464.6，1462.7，试求置信概率为95%的情况下，该参量的置信区间。

解：因为测量次数小于20，所以测量值服从t分布， 第一步：求算术平均值及标准偏差估值

16x?1460??(4.3?1.7?2.9?3.4?4.6?2.7)?1463.3

6i?1次数 x 残差 1 1.0 2 -1.6 3 -0.4 4 0.1 5 1.3 6 -0.6 1464.3 1461.7 1462.9 1463.4 1464.6 1462.7 16标准偏差估值s(x)?(xi?x)2 ?5i?116?[1.02?(?1.6)2?(?0.4)2?0.12?1.32?(?0.6)2] ?5i?1?1.07

算术平均值标准偏差估值s(x)?s(x)6?1.076?0.4

第二步：查附录B：t分布表，由n－1=5及P=0.95，查得t=2.571 第三步： 估计该参量的置信区间[x?ts(x),x?ts(x)]，其中 ts(x)?2.571?0.4?1.0

则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为[1462.3，1464.3]。

2.19具有均匀分布的测量数据，当置信概率为100％时若它的置信区间为[E(X)－kσ(X)，E(X)＋kσ(X)]，问这里k应取多大？ 解：依题意得

?E(X)?k?(X)E(X)?k?(X)P(X)dx?100% 由均匀分布可得P(X)?ba1， b?aE(X)??xP(X)dx??x????1a?bdx?， b?a2ba?b21(b?a)2]dx? ?(x)??[x?E(X)]p(X)dx??[x?，

??a2b?a122??2?(x)?

b?a12?b?a23

代入

?E(X)?k?(X)E(X)?k?(X)P(X)dx?2k?(X)k23???100%，解得k?3

b?ab?a32 3 4 5 6 7 8 9 10 2kb?a2.20对某电阻进行了10次测量，测得数据如下： 次数 1 R/kΩ 46.98 46.97 46.96 46.96 46.81 46.95 46.92 46.94 46.93 46.91 问以上数据中是否含有粗差数据？若有粗差数据，请剔除，设以上数据不存在系统误差，在要求置信概率为99%的

情况下，估计该被测电阻的真值应在什么范围内？ 解：先求得被测电阻的平均值

110kΩ R?46??(0.98?0.97?0.96?0.96?0.81?0.95?0.92?0.94?0.93?0.91) ?46.93 310i?1次数 R/kΩ 残差103 kΩ －1 47 2 37 3 27 4 27 5 -123 6 12 7 -13 8 7 9 -3 10 -23 46.98 46.97 46.96 46.96 46.81 46.95 46.92 46.94 46.93 46.91 110标准偏差估值s(R)?(Ri?R)2 ?9i?1110?[472?372?272?272?(?123)2?122?(?13)2?72?(?3)2?(?23)2]?(10?3)2?0.049KΩ ?9i?1按格拉布斯检验法，在置信概率为99%的情况下，n＝10查表得G＝2.41

Gs?2.41?0.049?0.118??5?0.123，剔除R8后重新计算判别，得n＝9，Pc＝99%时，G＝2.32 19R??46??(0.98?0.97?0.96?0.96?0.95?0.92?0.94?0.93?0.91)

9i?1?46.947kΩ

19222222222?32s?(R)?[47?37?27?27?12?(?13)?7?(?3)?(?23)]?(10) ?0.023KΩ ?8i?1Gs??2.32?0.023?0.053

可见余下数据中无异常值。

2.21设两个电阻Rl＝(150±0.6)Ω，R2＝62Ω±0.4%，试求此两电阻分别在串联和并联时的总电阻值及其相对误差，并分析串并联时对各电阻的误差对总电阻的相对误差的影响? 解：（1）串联时，总电阻值R串＝R1?R2?150?62?212?

?R串＝(R1??R1)?(R2??R2)?(R1?R2)???R1??R2

? ??0.5?62?0.4%??0.5?0.248??0.748?R串＝?R串R串＝?0.748＝?0.35% 212

（2）并联时，总电阻值R并?R1R2150?62??43.9?

R1?R2150?62因式中含有两个变量的乘积项且含有分母，所以用相对误差传递公式较方便，得

?R并??lnR并?R1?R1??lnR并?R2?R2 lnR并?lnR1?lnR2?lnR(1?R2)

?1?11?1????rR并????R???R2 1?R????1R1?R2??R2R1?R2???R2?RR1?R62?0.5150?1??2??＋?(?0.4%)

R1?R2R1R1?R2R2150?62150150?62?62?0.0033?150?0.4%?0.2046?0.6＋?＋??0.38%

212212212212由以上计算结果可知，串联时大电阻R1对总电阻误差影响大，并联时小电阻R2对总电阻误差影响大。

2.22 对某信号源的输出频率fx进行了10次等精度测量，结果为110.050，110.090，110.090，110.070，110.060，110.050，110.040，110.030，110.035，110.030（kHz），试用马利科夫及阿卑-赫梅特判剧判别是否存在变值系差。 解：输出频率fx的平均值fx

1(50?90?90?70?60?50?40?30?35?30) 10 ?110.0545?110.054 fx?110?0.001?次数 fx/kHz 残差 104 kHz －1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110.050 110.090 110.090 110.070 110.060 110.050 110.040 110.030 110.035 110.030 -45 355 355 155 55 -45 -145 -245 -195 -245

（a）由马利科夫判据得：

D???i?i?1n/2i?n/2?1??ni

?[(?45?355??55)?(?45?145???245)]?10?4?1750?10?4?|?iMAX|

故存在变值系差

（b）由阿卑-赫梅特判据得：

??i?i?1?0.00135?0.0009???0.00075?0.00485

i?1n?1??i?i?1i?1n?1?(?45)?355?355?355???(?245)?(?195)?(?195)?(?245)?10?8?-15975?126025?55025?8525?2475?35525?47775?47775?10?8

?349975?10-8

?0.0035

110标准偏差估值s(fx)??(fi?f)2

9i?12110??[(?45)2?3552???(?195)2?(?245)2]?(10?4)2 9i?1110??402470?10?8 9i?1?0.0005

n?1s2(x)?9?0.0005?0.0015

??vivi?1i?1n?1?0.0035?n?1s2(x)?0.0015 故存在变值系差

2.23 试举出一种采用微处理器消除系统误差的方法，简单说明消除系统误差的原理。

答：采用微处理器消除系统误差的方法有很多，例如直流零位校准，自动校准，相对测量等，下面以自动校准为例，简要说明消除系统误差的原理。自动校准主要是在仪器内部存储校准数据表和内插公式系数表，在正式测量时，微处理器根据测量结果、校准表以及内插系数表进行计算得到修正后的准确测量值。

2.24 采用微差法测量一个10V电源，使用标准为标称相对误差为±0.1％的9V稳压电源。若要求测量误差ΔUo/Uo＜±0.5％，电压表量程为3V，问选用几级电表? 解：由题意及微差法误差公式得

?U0?B?AA??? U0BAB这里标准量B为9V，微差A为1V，标准相对误差为±0.1％

?U0?A1??.0.1%????0.5% U019可得

?A?3.6% ?A3.6%??1.2% Um3所以选用3V量程的1级电压表即可。 2.25 按公式??4L测量金属导线的电导率，式中L为导线长度(cm)，d为截面直径(cm)，R为被测导线的电阻(Ω)。2?dR试说明在什么测量条件下?误差最小？对哪个参量要求最高？ 解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。

????ln??ln??ln??L??d??R ?L?d?Rln??ln4?lnL?ln??2lnd?lnR

?lnL?2lnd?lnR ?L?d?R??2? LdR??

由上式可知对截面直径d的要求最高。

2.26 通过电桥平衡法测量某电阻，由电桥平衡条件得出Rx?R3C4，已知电容C2的允许误差为±5％，电容C4的C2允许误差为±2％，R3为精密电位器，其允许误差为±1％，试计算Rx的相对误差为多少？ 解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。

?Rx??lnRx?lnRx?lnRx?R3??C4??C2 ?R3?C4?C2lnRx?lnR3?lnC4?lnC2

?Rx??R3?C4?C2 ??R3C4C2??1%?2%?(?5%) ??8%

2.27 用一电压表对某一电压精确测量10次，单位为伏特，测得数据如下： 次数 U/V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.47 30.49 30.5l 30.60 30.50 30.48 30.49 30.43 30.52 30.45 试写出测量结果的完整表达式。

110解：（1）求出算术平均值 U??Ui

10i?11(47?49?51?60?50?48?49?43?52?45) 10 ?30.494?30.49 U?30.00?0.01?（2）计算

vi?Ui?U 列于表中,并验证?vi?0。

i?1n次数 U/V 1 2 -4 3 16 4 106 6 5 6 -14 7 -4 8 -64 9 26 10 -44 30.47 30.49 30.5l 30.60 30.50 30.48 30.49 30.43 30.52 30.45 残差10－3 V -24 1102（3）计算标准偏差估值: s??vi

10?1i?1110s?[(?24)2?(?4)2???262?(?44)2]?(10?3)2 ?9i?10 ?0.046V

（4）按莱特准则判断有无vi?3s?0.138?0.14，没有异常数据。

（5）写出测量结果表达式:U?U?3ks?(30.49?0.14)V（取置信系数k?3）

2.28已知立方体积V?f?lbh??lbh的长、宽、高不确定度分别为u?l?,u?b?,u?c?试求V的相对标准不确定度。

解：

由

u2c?y???f?2????uc?xi??xi?1?i?n2由数学模型直接对l,b,h求偏导可得合成不确定度

uc2(y)?(?f2?f2?f2)?()?()?l?b?h

?(bh)2?(lh)2?(lb)2?b2h2?l2h2?l2b2

2V的相对标准不确定度。 2.29 已知园柱体积 V ? ? r h 的半径和高不确定度为 u ? r ?, u ? h ? 试求

2解： n???f2由 u2c?y????uc?xi?i?1??xi?

由数学模型直接对r, h求偏导可得合成不确定度

?uc2(y)?(?f2?f2)?()?r?h?(2?rh)2?(?r2)2 ?4?2r2h2??2r42.30设某测量结果有关A类不确定度如下表所示，求该测量结果的合成不确定度、自由度及总不确定度（取置信概

率p＝0.95）。

序号 来源 1 2 3 4 5 解：ucA?基准 读数 电压表 电阻表 温度 不确定度 符号 uA1 uA2 uA3 uA4 uA5 数值 1 1 自由度 符号 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 数值 5 10 4 16 1 2 2 2 ?u2Aii?1N?1?1?2?4?4?23

u4CA(23)4?A?N2??28.5

11244uAi??????5104161ii?12.31用数字电压表测量电压，测得一组数据的平均值为V=100.02144550v，并求得其扩展不确定度U=0.355mv，当

要求U只取一位有效数字时，该测量结果如何表示？

2.32 对某测量结果取有效数字：

3345.14150 取七位有效数字为____3345.142 _________；

取六位有效数字为____3345.14 __________； 取四位有效数字为____3345_____________；

取二位有效数字为____3.3×10_________。

195.10501 取五位有效数字为____195.10___________；

取二位有效数字为____2.0×102_________。

28.1250 取二位有效数字为____28 ______________。

2.33 设TOS6100 所测的接地电阻为Rx，JD-2 标准电阻为RN，取JD-2 标准电阻为100mΩ，在接地电阻测试仪TOS6100上进行10 次重复测量，得到测量结果如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R/mΩ 101 101 102 101 101 102 101 101 102 101 已知TOS6100 在100mΩ时的分辨率为2mΩ，此时自由度为50，接地导通电阻测试仪检定装置经检定，符合其技术指标要求，100mΩ处的误差为±0.2%，此时自由度为50，试求测量结果的扩展不确定度。 解：（1）由标准电阻测量仪的示值误差引起得标准不确定度分量R1 ，

3

R1?自由度?1?50

100m???0.2%?0.12m?

3（2）电阻测量重复性引起得标准不确定度分量R2 ，由10次测量得数据，用贝塞尔法计算单次测量标准差s(RD)=0.48 mΩ,平均值的标准差s(RD)?0.48?0.15m?，则电阻重复性测量引起得不确定度为 10R2?s(RD)?0.15m?

自由度?2?n?1?9

(3)不确定度合成

由于不确定度分量R1，R2相互独立，因此，电阻测量得合成标准不确定度为

2Rc?R12?R2?0.122?0.152?0.19m?

(0.19)4自由度??4??22 4R1R2(0.12)4(0.15)4???1?2509(4)扩展不确定度

取置信概率P=95%,由自由度??22查t分布表得t0.95(22)?2.080，即包含因子k=2.080。于是，电阻测量得扩展不确定度为

R=kRc=2.080×0.19=0.3952≈0.40 mΩ

2.34 测量x和y的关系，得到下表中的一组数据： xi yi 4 8.8 11 17.8 18 26.8 26 37.0 35 48.5 43 58.8 52 70.3 60 80.5 69 92.1 72 95.9 Rc4试用最小二乘法对上述实验数据进行最佳曲线拟合。 解：

?x(yii?bxi?a)?0 （1）

?(yi?bxi?a)?0 （2）

代入题中给出相应的测量数据，为计算方便先代入（2）

8.8=4b+a 58.8=43b+a 17.8=11b+a 70.3=52b+a 26.8=18b+a 80.5=60b+a 37.0=26b+a 92.1=69b+a 48.5=35b+a 95.9=72b+a

10个方程相加得：536.5=390b+10a (2)′

再将（2）式10个方程分别乘以xi即得（1）式的10个方程: 35.2=16b+4a 2528.4 =1849 b+43a 195.8=121b+11a 3655.6 =2704 b+52a 482.4=324b+18a 4830 =3600b+60a 962=676b+26a 6354.9 =4761 b+69a 1697.5=1225b+35a 6904.8 =5184 b+72a 10个方程相加得：27646.6=20460b+390a (1)′ 这里(1)’ (2)’称正规方程，解出这两个方程

得: a=3.73 b=1.28 则可作出最佳曲线如图下所示。 相应直线方程为：y=1.28x+3.73

yx

第三章 信号发生器

思考题与习题

3.1 信号发生器的常用分类方法有哪些？按照输出波形信号发生器可以分为哪些类？ 答：（1）按频率范围分类； （2）按输出波形分类；

（3）按信号发生器的性能分类。

其中按照输出波形信号发生器可以分为正弦信号发生器和非正弦信号发生器。非正弦信号发生器又可包括脉冲信号发生器、函数信号发生器、扫频信号发生器、数字序列信号发生器、图形信号发生器、噪声信号发生器等。 3.2 正弦信号发生器的主要技术指标有哪些？简述每个技术指标的含义？ 答：正弦信号发生器的主要技术指标有：

（1）频率范围

指信号发生器所产生信号的频率范围； （2）频率准确度

频率准确度是指信号发生器度盘（或数字显示）数值与实际输出信号频率间的偏差； （3）频率稳定度

频率稳定度是指其它外界条件恒定不变的情况下，在规定时间内，信号发生器输出频率相对于预调值变化的大小

（4）失真度与频谱纯度

通常用信号失真度来评价低频信号发生器输出信号波形接近正弦波的程度，对于高频信号发生器的失真度，常用频谱纯度来评价；

（5）输出阻抗 （6）输出电平

输出电平指的是输出信号幅度的有效范围； （7）调制特性

是否能产生其他调制信号。

3.3 已知可变频率振荡器频率f1＝2.4996~4.5000MHz，固定频率振荡器频率f2=2.5MHz，若以f1和f2构成一差频式信号发生器，试求其频率覆盖系数，若直接以f1构成一信号发生器，其频率覆盖系数又为多少？ 解：因为差频式信号发生器f0= f1－f2

所以输出频率范围为：400Hz～2.0000MHz

频率覆盖系数k0?2.0000MHz＝5000＝5?103

400Hz如果直接以f1构成一信号发生器，则其频率覆盖系数

??k04.5000MHz?1.8

2.4996MHz3.4 简述高频信号发生器主要组成结构，并说明各组成部分的作用？ 答：高频信号发生器主要组成结构图如下图所示：

可 变 主振级 调制级 缓冲级 输出级 输出 电抗器 AM FM 监测器 外调制输入 外 内 内调制 电 源 振荡器 高频信号发生器原理框图

（1）主振级

产生具有一定工作频率范围的正弦信号，是信号发生器的核心。 （2）缓冲级

主要起阻抗变换作用，用来隔离调制级对主振级可能产生的不良影响，以保证主振级工作的稳定。 （3）调制级

主要进行幅度调制和放大后输出，并保证一定的输出电平调节和输出阻抗。 （4）输出级

进一步控制输出电压的幅度，使最小输出电压达到μV数量级。

3.5 要求某高频信号发生器的输出频率f＝8~60MHz，已知其可变电容器的电容C的变化范围为50pF~200pF，请问该如何进行波段划分，且每个波段对应的电感应为多大？

1解：k?fmax2?LCminC＝＝max?1fminCmin2?LCmax60MHz＝7.5，k??kn 8Hz200?2 50而k??n?lgk?lg7.50.875???3.43?4

lg0.9klg1.80.255

由fmin＝12?LCmax?12?L200pF?8MHz，所以L0?1.979?H

相邻波段的电感值满足：

Ln?1?k2，所以可以计算得出 LnL1?0.495?H

L2?0.124?H

L1?0.031?H

3.6 简述脉冲信号发生器的主要组成部分及主要技术指标？ 答：脉冲信号发生器的组成框图如下图所示： 主振级 形成级 整形级 输出级 延迟级 主脉冲 同步输出 外同步 外同步输入 放 大 脉冲信号发生器的基本组成

脉冲信号发生器具有如下主要技术指标：能输出同步脉冲及与同步脉冲有一定延迟时间的主脉冲；延迟时间可调；主脉冲的频率可调、脉宽可调、极性可切换，且具有良好的上升时间、下降时间，以及较小的上冲量。 3.7 简述各种不同类型的函数发生器特点及作用？ 答：

（1）正弦式函数信号发生器

它包括正弦振荡器、缓冲级、方波形成、积分器、放大器和输出级等部分。 （2）脉冲式函数信号发生器

它包括脉冲发生器、施密特触发器、积分器和正弦波转换电路等部分。 3.8 简述各种类型的信号发生器的主振器的组成，并比较各自特点。 答：

（1）低频信号发生器的主振器组成为：RC文氏桥式振荡器，其特点是频率稳定，易于调节，并且波形失真小和易于稳幅。

（2）高频信号发生器的主振器组成为：LC三点式振荡电路，主振级的电路结构简单，输出功率不大，一般在几到几十毫瓦的范围内。

（3）脉冲信号发生器的主振器组成为：可采用自激多谐振荡器、晶体振荡器或锁相振荡器产生矩形波，也可将正弦振荡信号放大、限幅后输出，作为下级的触发信号。对主振级输出波形的前、后沿等参数要求不很高，但要求波形的一致性要好，并具有足够的幅度。

3.9 XFG-7高频信号发生器的频率范围为f=100kHz~30MHz，试问应划分几个波段？（为答案一致，设k=2.4） 解：而k??30MHz＝300，k??kn

100KHzn?lgk?lg3002.477???7.4?8

lg0.9klg0.9?2.40.3343.10 简述合成信号源的的各种频率合成方法及其优缺点。

答：合成信号源的的各种频率合成方法主要有模拟直接合成法，数字直接合成法和锁相环频率合成法。 模拟直接合成法特点：虽然转换速度快（μs量级），但是由于电路复杂，难以集成化，因此其发展受到一定限制。 数字直接合成法：基于大规模集成电路和计算机技术，尤其适用于函数波形和任意波形的信号源，将进一步得到发展。但目前有关芯片的速度还跟不上高频信号的需要，利用DDS专用芯片仅能产生100MHz量级正弦波，其相位累加器可达32位，在基准时钟为100MHz时输出频率分辨力可达0.023Hz，可贵的是这一优良性能在其它合成方法

中是难以达到的。锁相环频率合成法：虽然转换速度慢（ms量级），但其输出信号频率可达超高频频段甚至微波、输出信号频谱纯度高、输出信号的频率分辨力取决于分频系数N，尤其在采用小数分频技术以后，频率分辨力大力提高。

3.11 简述直接数字频率合成原理，试设计一个利用微处理器产生任意波形发生器的方案，并讨论如何提高任意波形的频率？

答：在存储器里存储任意波形的数字量，通过微处理器以一定的时间间

PC 滤 隔读取数据，并送D/A转换器进行转换，并将电压信号送滤波器进行D/A 机 波 滤波，一直以相同的转换时间间隔取下一个数进行转换，这样就可得到

任意波形发生器。

提高任意波形频率的方法有：

（1）减小读取时间间隔，并采用转换速度较快的D/A转换器； （2）采用读取时间短的存储器； （3）一个周期转换的点数减小。

3.12有一频率合成器如图3.37所示，求： （1）f0的表达式； （2）f0的范围；

（3）最小步进频率。

fl 10kHz f0 ×N1 LPF PD VCO 1 560～1000

M(- ) BPF f3 f2 f 31kNz ÷N2 PD ÷100VCO÷100 2 5000~6000

LPF

图3.37 题3.12图 解：由图可知：

（1）N1f1?f0?f3

ff2?3 100N2所以f0?N1f1?N2f2 100

（2）N1?560~1000 N2?5000~6000

f0min?560f1?5000f25000?1KHz?560?10KHz??5650KHz?5.650MHz 1001006000f26000?1KHz?1000?10KHz??10060KHz?10.060MHz （3）因为N1和100100f0max?1000f1?N2均可改变，但f0表达式中，N2的系数小，所以N2变化1得到的f0的变化最小，即f0的最小步进频率为

?f0?f21KHz??10Hz 100100f0 3.13 计算下图所示锁相环的输出频率范围及步进频率。

f0 fr PD LPF VCO ÷ n PD frL ÷÷ P m （a） fr

f0 fr2 M(+) BPF VCO PD LPF 2100kHz II

÷N2 ÷N2 720~100 720~100

fr1 VCOPD 1 LPF ÷10 1KHz I

÷N1 1000~1100 （c）

图3.38 题3.13图 解：（a）

LPF ÷ N1 VCO f0－ frH frH ― ×M ） （bffrfmf?0，所以f0?r，步进r nmnnmax （b）

f?frHfNfrf，所以f?r1?frH，步进r ?0PPmaxPN1f1，f1?fr1N1， N1 （c）设VCO1输出频率为f1，则fr1?ff1ffNfN?fr2?0，f0?(1?fr2)N2?(r11?fr2)N2?r11?fr2N2 10N2N210N210N210f0?1kHz(1000~1100)?100kHz(720~1000)

10f0L?步进

1kHz?11001kHz?1000?100kHz?1000?100.11MHz ?100kHz?720?72.1MHz f0H?10101kHz?1?100Hz 103.14 利用一片D/A转换器和一片RAM为主要部件，试设计一个正弦波发生器，如果要求波形点数1000点，（D/A1：10b；D/A2：8 b；RAM：8K字节）。

（1）画出电路原理图（包括其它必要的硬件电路）及其与微处理器的连接； （2）根据要求确定D/A转换器的位数；

（3）若读取一个数据到D/A转换完一个数据的时间最短为10μs，那么该信号发生器产生的最高频率为多少？ （4）若要提高输出频率，可以采取哪些措施？ 解：（1）电路原理图如下图所示：

P2A12～8D7～08051P0373GA7～0ALERD8KBRAMRDCSWRCSD/A电压输出

（2）因为要显示的波形点数为1000点，而RAM容量为8K字节，

8?1024?8.192b

1000所以D/A位数为8位。

（3）由题意两个数据之间的时间间隔为10μs，一个周期1000个点，所以T＝10μs×1000＝0.01s，即f＝100Hz （4）提高输出频率的措施有：采用存取速度快的存储器，采用转换速度快的D/A，减少一个周期波形的点数。 3.15 AD9850 DDS中如果时钟频率fc=125MHz，相位累加器宽度N=32位，频率控制字k=0100000H，这时输出频率为多少？

解：k=0100000H，所以A20＝1，因为DDS：

fout?fcfcfcfcfc125MHzA?A?????A?A?A??30517.578125Hz?30.518KHz 3130102012313212122222223.16 高频信号源输出等效电路如图3.39所示。问信号源输出幅度指示刻度是什么值？当RH=Ri；RH=∞；RH≠Ri三种

情况下，输出电压各为多大？将此信号源直接加到示波器上校验幅度，结果将会如何？

Ri

RL V

信号源 ～

图3.39 题3.16图

解：信号源输出幅度指示刻度是在匹配负载的条件下按照正弦波的有效值标定的。 当RH=Ri时：此时输出阻抗匹配，输出电压为正弦波的有效值；

当RH=∞时：输出阻抗不匹配，由于RH=∞，所以输出电压为匹配条件下的两倍；

当RH≠Ri时：输出阻抗不匹配，输出电压将不准确，当RH>Ri时，输出电压偏大，当RH

第四章： 时频测量

4.1 测量频率的方法按测量原理可以分为哪几类？ 答：测量频率的方法按测量原理可以分为如下几类： 电桥法

频响法 谐振法

模拟法 拍频法

比较法 差频法

频率测量方法 示波法

李莎育图形法 测周期法

电容充放电式

计数法 电子计数式

4.2 说明通用计数器测量频率、周期、时间间隔和自检的工作原理。 答：通用计数器测量频率的工作原理：

通过计数器在单位时间（即闸门时间）内对被测信号进行计数，然后利用公式fx?N得出被测信号的频率，T为了测量更宽的范围，可以改变闸门时间。

通用计数器测量周期的工作原理：

和测频原理类似，将被测信号整形转换后作为闸门时间，而用标准频率作为计数脉冲，进行计数，同样通过改变标准频率的分频，即改变时标信号，来测量更宽的范围。

通用计数器测量时间间隔的工作原理：

通过两个单独的通道启动计数器的计数，其中一个通道信号用来启动计数器的计数，另一个通道的信号停止计数器的计数，这两个信号之间的间隔即要测的时间间隔。

通用计数器自检工作原理：

时基单元提供的闸门时间内对时标信号（频率较高的标准频率信号）进行计数，由于这时闸门信号和时标信号均为同一个晶体振荡器的标准信号经过适当地倍频或分频而得，因此其计数结果是已知的，显示数字是完整的。 4.3 分析通用计数器测量频率和周期的误差，以及减小误差的方法。 答：通用计数器测量频率的误差：

即±1误差和标准频率误差。一般总误差可采用分项误差绝对值合成，即

?fx?fc1??(?) fxfxTfc通用计数器测量周期的误差：

主要有三项，即量化误差、转换误差以及标准频率误差。其合成误差可按下式计算 ?Un?fc11 ?Tx???????10nTfTxUfc2?mxc??? ??减少测频误差的方法：在fx一定时，闸门时间T选得越长，测量准确度越高

减少测周误差的方法：1)采用多周期测量可提高测量准确度； 2)提高标准频率，可以提高测周分辨力； 3)测量过程中尽可能提高信噪比Vm／Vn。 4.4 提高测时分辨力的方法有哪些？

答：提高测时分辨力的方法有平均法计数器、内插法计数器、游标法计数器。 4.5长期频率稳定度和短期频率稳定度是怎样定义的？如何测量？

答：长期频率稳定度指长时间(年或月范围内)的频率变化，在石英振荡器中，长时间的频率漂移主要是由石英谐振器(晶体)的老化引起的，它属于系统性的或确定性的变化，其值与频率的随机性变化无关。所以，长期稳定度一般是指年或月的老化率。

短期频率稳定度是秒或毫秒内的随机频率变化，这种无规则的随机变化与长期的频率漂移无关。比如，用于计数器的石英振荡器，其输出频率在一秒内稳不稳具有重要意义，故常用“1秒频率稳定度”来表征。

长期频率稳定度测量方法：在实际测量中，需要连续测一周或一个月，设每天测一个数据，共测n天，然后利用最小二乘法拟合一条曲线。

短期频率稳定度测量方法：计数器直接测频；测差频周期法；差频倍增技术；示波器李莎育图形法 4.6 调制域分析仪的关键技术是什么？有何用途？

答：调制域分析仪关键的技术是要实现动态连续地测量频率。

调制域分析仪的主要分析功能有：频率、相位、时间间隔相对于时间轴的变化显示；单次或多次平均；任何测量结

果的直方图显示；测量结果数值显示；调制分析（峰—峰偏移、中心频率、调制速率）；抖动频谱分析；各种参数统计（平均、最大、最小、方差、均方差、有效值、概率）；阿仑方差计算等。抖动和调制都可利用机内的分析功能方便地进行定量分析。另外，仪器还具有组合触发和选通功能，用于捕获复杂输入信号的特定部分。

－－

4.7 天文（历书）秒准确度可达±1×109，问一天的误差几秒？某铯原子钟准确度可达±5×1014，问一天的误差几秒？要多少年才会产生1秒的误差？ 解：（1）

?t??1?10?9，所以一天的误差为Δt＝±1×10－9×60×60×24＝8.64×10－5＝86.4μs t－

－

（2）Δt＝±5×1014×60×60×24＝4.32×109＝4.32ns

－

N×365×4.32×109＝1，N＝634196年

4.8 用计数式频率计测量频率，闸门时间（门控时间）为l s时，计数器读数为5400，这时的量化误差为多大？如将被测信号倍频4倍，又把闸门时间扩大到5倍，此时的量化误差为多大? 解：（1）量化误差

?N?1?1????0.019% N5400fxT（2）量化误差

?N?1?1?1?0.019%??????0.00095%

??4fx?5T20fxTN?20fxT4.9用一个7位电子计数器测量一个fx＝5MHz的信号频率，试分别计算当“闸门时间”置于1s、0.1s和10ms时，

由±1误差产生的测频误差。 解：闸门时间为1s时，±1误差

?N?1?1????2?10?7 NfxT5MHz?1闸门时间为0.1s时，±1误差

?N?1?1????2?10?6 NfxT5MHz?0.1?N?1?1????2?10?5 NfxT5MHz?0.01－

闸门时间为10ms时，±1误差

4.10 用某计数式频率计测频率，已知晶振频率fc的相对误差为Δfc／fc＝±5×108，门控时间T＝1s，求：

（1）测量fx＝10MHz时的相对误差；

（2）测量fx＝10KHz时的相对误差，并找出减小测量误差的方法。 解：测频±1误差

?fx?f1??(?c) fxTsfxfc（1）

?fx1?8?7 ??(?5?10)??1.5?106fx1?10?10?fx1??(?5?10?8)??1.0005?10?4 3fx1?10?10（2）

对相同闸门时间下，当被测频率越高时，测频相对误差越小，同时晶振频率误差影响也越大。

－

4.11 用某计数式频率计测周期，已知晶振频率fc的相对误差为Δfc／fc＝±5×108，时基频率为10MHz，周期倍乘100。求测量10μs周期时的测量误差。 解：计数器测周期误差

?Tx?f11?8?4 ??(n?c)??(?5?10)?1.0005?10Txfc10TxfC100?10?10?6?10?106

4.12 用某电子计数器测一个fx＝10Hz的信号频率，当信号的信噪比S/N＝20dB时，分别计算当“周期倍乘”置于×1和×100时，由于转换误差所产生的测周误差，并讨论计算结果。 解：由转换误差产生的测周误差为：

?TxUn1 ??nTxU2?10?m因为：20lgUmU?20，所以m?10 UnUn?Tx11???0.0282 Tx2??10?Tx?Tx12?100???1?0.000282 10所以“周期倍乘”置于×1时：

所以“周期倍乘”置于×100时：

由测周误差可知，增大“周期倍乘”可以减少由转换误差产生的测周误差。

4.13用多周期法测量某被测信号的周期，已知被测信号重复周期为50Hz时，计数值为100000，内部时标信号频率为 1MHz。若采用同一周期倍乘和同一时标信号去测量另一未知信号，已知计数值为15000，求未知信号的周期？ 解：因为多周期法测被测信号周期，N?kTxfc 所以k?N1000005000000?? 1Txfcfc?fc50TxNN15000???0.003s

5000000kfckfcfcfc4.14 某计数式频率计，测频闸门时间为1s，测周期时倍乘最大为×10000，时基最高频率为10MHz，求中界频率。 解：测频和测周±1误差分别为：

?fx?Tx?fx?Tx11， ??n?fxfxTTxfxTx10TxfCfx10nfC11，所以fM? ?n?nfxT10TxfC10fCT中届频率fM10410MHz??316KHz

1－

4.15 欲测量一个标称频率f0＝1MHz的石英振荡器，要求测量精确度优于±1×106，在下列几种方案中，哪一种是正确的？为什么？

－

(1) 选用E312型通用计数器（Δfc/fc≤±1×106），“闸门时间”置于1s。

－

(2) 选用E323型通用计数器（Δfc/fc≤±1×107），“闸门时间”置于1s。

－7

(3) 选用E323型通用计数器（Δfc/fc≤±1×10），“闸门时间”置于10s。 解：（1）测频时，其误差

?fx?f11??(?c)??(?1?10?6)??2?10?6 6fxTsfxfc1?1?10

（2）

?fx?f11?7?6 ??(?c)??(?1?10)??1.1?106fxTsfxfc1?1?10?fx?f11??(?c)??(?1?10?7)??2?10?7 6fxTsfxfc10?1?10 （3）

由以上计算结果可知，采用第三种方案是正确的。

4.16 利用频差倍增法来提高测量精度时，设被测频率源和标称频率fc＝1MHz，闸门时间τ＝1秒，欲将±1个字误

－

差降到l×l011，试问倍增器倍增次数应为多少？ 解：频差倍增法测量误差为

F?fF??nm，其中±1误差为： f0f0mf011n5?11m?10，所以倍增器倍增次数 ??1?10nn6mTsfxm?104.17 提高时间测量分辨力的方法有哪些？简述每种方法的特点。 答：提高时间测量分辨力的方法有平均法、内插法以及游标法。

内插法：通过内插将起始脉冲与第一个钟脉冲之间的时间间隔和终止脉冲与紧接着到来的钟脉冲之间的时间间隔进行放大，虽然±1字的误差依然存在，但已经缩小很多倍。

游标法：游标法事实上是用数字量化的办法把被测时间间隔?x扩展了K倍，K称为扩展倍率或内插系数，可以实现精确的时间间隔测量。

4.18 用游标法测量图4.51中的?x值，设f1=5MHz，f2=5.01MHz，求?x之值。

图 ,所以题 解：根据游标法原理：Tx?NT01?(x4.51 ?y)?T0Tx?0?5(11-9?)?1.996?10s?1.996ns 665?105.01?10

第五章 电压测量

5.1简述电压测量的基本要求及电压测量仪器的分类方法。

答：电压测量的基本要求： 1）应有足够宽的电压测量范围 2）应有足够宽的频率范围 3）应有足够高的测量准确度 4）应有足够高的输入阻抗 5）应具有高的抗干扰能力 电压测量仪器的分类方法：

1）按频率范围分类

2）按被测信号的特点分类 3）按测量技术分类

5.2 交流电压表都是以何值来标定刻度读数的？真、假有效值的含义是什么？ 答：交流电压表都是以正弦波有效值为刻度的，

真有效值：我们认为有效值表的读数就是被测电压的有效值，即有效值表是响应输入信号有效值的。因此，有效值表中α=Ui，并称这种表为真有效值表。

假有效值：有效值表的读数不能反映被测电压的有效值真实大小。 5.3 利用全波平均值电子电压表测量图5.70所示三种不同波形（正弦波、方波、三角U 波）的交流电压，设电压表的读数都是1V，问：

O （1）对每种波形，电压表的读数各代表什么意义？

t （2）三种波形的峰值、平均值及有效值分别为多少？

U （3）根据测量结果，将三个波形画在同一坐标图上以进行比较。

O 解：（1）对正弦波，读数为有效值，对其他波形，读数仅能间t 接反应被测量的大小。 （2）因为??U~?KF~U，所以U??KF~?1?0.901V 1.11U O 图5.70 习题5.3图 t 因为U?KFU，U?UP/KP即UP?KPU?KPKFU

所以正弦波有效值为1V，峰值为UP?1.414?1?1.414V，均值为0.901V。

方波有效值为U?KF?U?1?0.901?0.901V，峰值为UP?1?0.901?0.901V，均值为0.901V。 三角波有效值为U?KF?U?1.15?0.901?1.036V，峰值为

UP?1.73?1.036?1.792V，均值为0.901V。

三种波形在同一坐标图为：

UOt

5.4 若在示波器上分别观察峰值相等的正弦波、方波、三角波，得Up＝5V；现在分别采用三种不同检波方式并以正弦波有效值为刻度的电压表进行测量，试求其读数分别为多少？ 解：已知各波形VP=5V

均值表： 正弦波 ??1.11V?1.11?Vpkf~kP~Vpkf?ikP?iVpkf?kP??1.11?51.11?2?3.54V

方波 ??1.11V?1.11??1.11?5?5.55V 1?1 三角波 ??1.11V?1.11??1.11?5?2.79V

1.15?1.75

峰值表：因为各波形峰值相同，所以三种波形的读数均为：??VP2?3.54V

有效值表：正弦波 ：??V?VpkPVp?52?3.54V

方波： ??V?kP?i?Vp5?5V 1?53?2.89V

三角波：??V?kP?5.5 用峰值表和均值表分别测量同一波形，读数相等。这可能吗？为什么？ 答：峰值表和均值表的读数均是以正弦波有效值为刻度的， 对峰值表：有??VP2

对均值表：有??1.11V 对任一波形有KFV?VP，即VP?KFKPV KP先两电压表读数若相同，则??VP2?KFKPV2?1.11V

即

KFKP2?1.11，所以只要被测波形为正弦波即可满足该条件。

5.6 已知某电压表采用正弦波有效值为刻度，如何以实验方法判别它的检波类型？试列出两种方案，并比较哪一种

方案更合适。 答：方案一：

5.7 简述逐次逼近比较型数字电压表和双积分型数字电压表的工作原理，并比较它们的优缺点。

5.8 DS－18型五位双积分型数字电压表中Us＝－6.0000V，fc＝0.75MHz，计数器满量程N1＝60000，求被测电压Ux＝2.5000V时，计数器计数值N2为多大？采样时间Tl和测量时间T2分别为多大？ 解：根据双积分原理，可知

（1）在准备期，进行定时积分，Ux?UsN2 N12.5000?6.0000N2

60000所以N2?25000

T1?N1?TC?

N160000??0.08s?80ms fC0.75MHz

T2?N2?TC?N225000??0.033s?33ms fC0.75MHz5.9 试画出图5.71积分器的输出时间波形图（Uo－t），假设图中C＝1μF，R＝10kΩ，图中模拟开关的接通时间为：

0-t1(10ms）S0、S1接通，S2、S3开关断开； t1-t3(20ms）S1接通，其他开关断开； t3-t4(10ms）S2接通，其他开关断开； t4-t5(10ms）S3接通，其他开关断开；

t5-t6(10ms）S0、S3接通，S1、S2开关断开。

图中假设模拟开关(S0～S3）和运算放大器A均是理想器件。

U0/V S0 +15

+10

S1 C R +5 0V U0 － 10 20 30 40 50 60 S2 A 0 +10V ＋ t1 t2 t3 t4 t5 t6 t/ms S3 －5 +5V +5V

－10

－15

图5.71 题5.9图

解：按照积分器工作原理，其输出电压和输入电压之间的关系为：

Vo??1RC?t2t1Vidt??110?103?1?10?6?t2t1Vidt??100?Vidt

t1t20－t1(10ms)：S0、S1接通，S2、S3断开，A的同向与反向输入端虚短，所以Vo1?5V； t1－t3(20ms)：S1接通，其他开关断开，输入端电压等效为0－5V＝－5V，

t330Vo2?Vo1?100?Vidt?5?100??5dt?15V

t110t3－t4(10ms)：S2接通，其他开关断开，输入端电压等效为10－5V＝5V，

Vo3?Vo2?100?Vidt?15?100?5dt?10V

t330t440t4－t5(10ms)：S3接通，其他开关断开，输入端电压等效为5－5V=0V，

Vo4?Vo3?100?Vidt?10?100?0dt?10V

t440t550t5－t6(10ms)：S0、S3接通，S1、S2断开，Vo5?5V 所以输出波形图如下：

5.10 图5.73为某三斜式A/D的积分器的输出时间波形，设基准电压|Ur|＝10V，试求积分器的输入电压大小和极性。题中假设在采样期和比较期内，积分器的时间常数RC相等。

UO/V Ur Ur/27 O 100 50 图5.73 题5.11图

100 t/ms

解：由输出波形可知，积分器输入电压为负的，

Vi?Vr1101?(T2?n?T3)??(50?7?100)?5.078 T1100225.14两台DVM ，最大计数容量分别为①19999；②9999。若前者的最小量程为200mV，试问：

(1) 各是几位的 DVM ；

(2) 第①台DVM的分辨力是多少？

(3) 若第①台DVM的工作误差为0.02%Ux±1字，分别用2V档和20V 档测量Ux=1.56V电压时，问误差各是多少？

解：（1）计数容量为19999的DVM为4位半，计数容量为9999的DVM为4位；

（2）第①台DVM的最小量程为200mV，所以DVM显示数据应为199.99mV，即最小分辨力为0.01mV； （3）当用2V档测量时：为1.9999V，所以一个字误差为：0.0001V，测量误差为：0.02%×1.56＋0.0001V＝0.000412V＝0.41mV

当用20V档测量时：为19.999V，所以一个字误差为：0.001V，测量误差为：0.02%×1.56＋0.001V＝0.001312 V＝1.3mV

5.16在双斜式DVM中，假设采样期T1＝100ms，工频干扰的频率为49Hz、幅度Un＝2V、初相角??0。试求：

(1)由此干扰引起的测量误差Un； (2)该DVM的串模抑制比NMRR为多少？ 解：（1）由公式Un?o1T1?T10Unsin(?nt??)dt?1T1?T1Un0?nsin(?nt)d(?nt)

?1Un1[?cos(?nt)]TV 0?0.009T1?n1Tn49?20lg（2）DVM的串模抑制比NMRR?20lg ?T1?100mssinsin1Tn49

?T1?100ms

?20lg15.394?35.3dB

0.2655.17 论述HP3455DVM中校零方案的可行性。如图5.74所示，

Uos 开关K→1时，测得U1 K Ux

3 K→2时，测得U2 － ＋ －A 2 1 K→3时，测得U3 UR ＋ 经微机进行下面的运算

Uo

U?U1 3

U2?U1的运算，则达到自动校零的目的。

解：K→1时，由放大器可知－A×UOS＝U1

K→2时，由放大器可知－A（US＋E）＝U2 K→3时，由放大器可知－A（UX＋UOS）＝U3

图5.74 题5.17图 U3?U1?AUxUx，由此可知计算结果与US无关。 ??U2?U1?AEE5.18 图5.72为双积分A/D转换器，已知T1＝100ms，T0＝100μs，试求： （1）刻度系数； （2）画出工作流程图。

VR=6.2V

62K K4 K3 100K K1 10μF Ux － U0 A － ＋ C K2 ＋

62K

－VR=－6.2V

解：方法一：利用双积分原理，（1）在准备期，K4合进行清零，采样期K1合进行定时积分，

Uo1T11t2??Udt??Ux； x?t1R1CR1C图5.74 题5.18图

比较期K1关K2合进行定值积分， 0?Uo1??t3t2?Urdt??T1TUx?2Ur，所以 R1CR2CUx?R1UrRUR1UrT2?1rN2?N2 ，所以刻度系数为： R2T1R2N1R2T1T0R1Ur100?103?6.2e???0.01V/字 3?3?6R2T1T062?10?100?10100?10方法二：利用电荷平衡原理，Q1＝Q2，采样期Q1?UxUT1，比较期Q2?rT2， R1R2

所以

UxUUUURNUrR1T1?rT2，xN1T0?rN2T0，Ux?r12?N2 R1R2R1R2R2N1R2T1T0UrR1100?103?6.2所以e???0.01V/字

R2T1T062?103?100?10?3100?10?6工作过程，按准备期，采样期和比较期进行，流程图如下：

开始延时K1合K4关计数延时100ms停止计数Ux>0?YK2合K1关计数NK3合K1关过零?Y停止计数N 5.19 一台DVM，技术说明书给出的准确度为ΔV＝±0.01%Vx±0.01%×Vm，试计算用1V量程分别测量1V和0.1V电压时的绝对误差和相对误差，有何启示？

-4

解：（1）Δ＝0.01％×1＋0.01％×1＝2×10V，

结束?2?10?4????0.02%，

Vx1 （2）Δ＝0.01％×0.1＋0.01％×1＝1.1×10V，

-4

?1.1?10?4????0.11%，由此可见相对误差明显增大，可知在相同量程下，被测值越接近量程，那么相

Vx0.1对误差相对较小。

第六章 时域测量（示波器）

6．5 现用示波器观测一正弦信号。假设扫描周期（Tx）为信号周期的两倍、扫描电压的幅度Vx＝Vm时为屏幕X方向满偏转值。当扫描电压的波形如图6.42的a、b、c、d所示时，试画出屏幕上相应的显示图形。 Vx

d

c Vm

b

a Vm/2

O Tx Tx/4 t

解：

ab cd

VytVmVxTx/2 Txt

6．7 一示波器的荧光屏的水平长度为10cm，现要求在上面最多显示10MHz正弦信号两个周期（幅度适当），问该示波器的扫描速度应该为多少？ 解：正弦信号频率为10MHz，T＝T?11?7??1?10s，要在屏幕上显示两个周期，则显示的时间为6f10?10t?2T?2?10?7s，扫描速度为

106?50?10cm/s ?72?10

6．8 示波器观测周期为 8ms，宽度为 1ms，上升时间为 0.5ms的矩形正脉冲。试问用示波器分别测量该脉冲的周期、脉宽和上升时间，时基开关（ t/cm）应在什么位置（示波器时间因数为 0.05μs～0.5s，按 1－2－5 顺序控

制）。 解：

在示波器屏幕上尽量显示一个完整周期，而水平方向为10cm，所以 测量周期时，8ms/10cm＝0.8ms/cm，时基开关应在1ms位置， 测量脉宽时，1ms/10cm＝0.1ms/sm，时基开关应在100μs位置， 测量上升时间时，0.5ms/10cm＝50μs/cm时基开关应在50μs位置

6．9 什么是非实时取样？取样示波器由哪些部分组成？各组成部分有何作用？说明取样示波器观察重复周期信号的过程。

解：由BW?0.35/tr，可知BW?0.35/(50?10?9)?7MHz，选择示波器时，信号上升时间应大于3~5 tR（示波器上升时间），或者带宽大于3～5fM，这样只有（2）和（4）满足，而（4）的上升时间最小，观察效果最好，但价格贵。

6．12数字存储示波器，设水平分辨力N＝100点/Div，当扫描速度为5μs/Div；5ms/Div；5s/Div；时，其对应的采样频率为多少？有何启示？

解：因为水平分辨力N＝fs×t/div，

N100??20MHz ?6t5?10N100??20KHz 扫描速度为5ms/Div时：采样频率fs?t5?10?3N100??20Hz 扫描速度为5s/Div时：采样频率fs?t5?所以扫描速度为5μs/Div时：采样频率fs?6．13 有A，B两台数字示波器，最高采样率均为200Ms/s，但存储深度A为1K，B为1M，问当扫速从10ns/div

变到1000ms/div时，试计算其采样率相应变化的情况，并仿照教材图6.XX形式用曲线表示出来。这给选用DSO有何启示？

解：根据DSO扫速、采样速率和记录长度的关系：

L(pts)?fs(MS/s)?S(S/div)?10(div)

fs(MS/s)?S(S/div)?A：

L(pts)(保持不变） 10S(S/div)?L(pts)1000??0.5?s/div 对应P1点 6fs(MS/s)?10(div)200?10/s?10div当扫速为1ms/div时，相应的采样速率

fs(MS/s)?L(pts)1000??100KS/s 对应P2点

S(S/div)?10(div)1?10?3/s?10divL(pts)106B：S(S/div)???0.5ms/div 对应P3点

fs(MS/s)?10(div)200?106/s?10div当扫速为1000ms/div时，相应的采样速率

L(pts)106fs(MS/s)???100KS/s 对应P4点 ?3S(S/div)?10(div)1000?10/s?10div

采样率(/s)P1P3200MS100MS10MS1MS100KS10KS1KS100S1KB记录长度1MB记录长度P2P410ns100ns1μs10μs100μs1ms10ms100ms1s扫速(t/div)

结论：在选用DSO时，对相同最高采样率的DSO，应该选用记录长度较大的，这样扫速在较大范围变化时，采样速度不必跟着变化。

第七章 阻抗测量 7.3 判断图7.30交流电桥中哪些接法是正确的？哪些错误的？并说明理由。 图7.30 交流电桥的解：根据电桥平衡原理， （a）R3RR11 3?4，所以该电桥是正确的。 ?R4j?C1j?C2C1C21?R4j?L2 可知该式不成立，所以该电桥是错误的。 j?C111?(R4?)R2 j?C3j?C4（b）R3（c）(R1?j?L2)R1LR2 ?2?R4R2?j?C3C3j?C4

所以只要满足

L2RRL?R4R2，1?2即R2C3?R1C4?2，所以该电桥是正确的。 C3C3C4R4（d）R1R3?j?L4j?L2???2L4L2可知该式不成立，所以该电桥是错误的。 7.4 试推导图7.31交流电桥平衡时计算Rx和Lx的公式。 何选择标准元件？ 解：(R4?若要求分别读数，如

11 )R2?(Rx?j?Lx)j?C4j?C3R2R4?LRxR2 ?x?j?C4C3j?C3图7.31 交流电桥平衡所以Lx?R2R4C3，Rx?R2C3，选择C3,C4作为标准元件。 C47.8 利用谐振法测量某电感的Q值。当可变电容为100pF时，电路发生串联谐振。保持频率不变，改变可变电容，半功率点处的电容分别为102pF和98pF，求该电感的Q值。 解：根据Q表串联谐振工作原理，

Z1?R?j(?L?1) ?C11) ?C2Z2?R?j(?L?由于C1，C2分别在半功率点时

?L?11??(?L?) ?C1?C2111?L?(?) 2?C2?C1因为处于半功率点，所以有

R2?(?L?12)?2R ?C1即?L?1111111?3R，(?)????3R ?C12?C2?C1?C12?C22?C1所以R?311(?) 6?C2?C1

1111(?)?0.02?LQ???2??98??102?2?86.57

R3113113(?)(?)?4?10?46?C2?C16??98??1026

111(?)2?C2?C1