第12讲 2013-2014-1期末复习

一、集合运算

1、（本题满分14分）已知全集U?R，函数f?x??1?lg?3?x?的定义域为集合A, x?2集合B=?x|?2＜x＜a?.（1）求集合CUA；（2）若A?B?B，求a的取值范围． 解1）因为集合A表示y?1?lg(3?x)的定义域， x?2?x?2?0?所以?x?2?0，即A?(?2,3) …………………6分

?3?x?0?所以CUA=???,?2???3,??? ………………8分

（2）因为A?B?B , 所以A?B ………12分 ∴a≥3 …………14分 2、(本题满分14分) 已知函数f(x)?lg1?x22的定义域为A，集合B是不等式x?(2a?1)x?a?a?0的解x?2集．(Ⅰ) 求A，B；(Ⅱ) 若AUB?B, 求实数a的取值范围． (Ⅰ)由

2x?1?0，得x??1或x?2，即A=???,?1?U(2,??) ………4分 x?22由x?(2a?1)x?a?a?0，得：[x?(a?1)](x?a)?0 ………………6分 所以x?a或x?a?1,即B?(??,a)U(a?1,??)． ………………8分 (Ⅱ) 由AUB?B得A?B ……………10分

?a??1????1?a?1,

a?1?2?故当AUB?B时, 实数a的取值范围是??1,1?． ……………14分

3、 （本小题满分14分）设集合A?x|x?4a??a?4?x,a?R,B?x|x?4?5x．

22????（1）若A?B?A，求实数a的值； （2）求A?B，A?B．

解：

A??xx?4或x?a?，B??1，4?. 4分

(1) 因为A?B?A，所以A?B，由此得a?1或a?4； 8分

1

(2) 若a?1，则

A?B??1，4?A??4?，所以

A?B??1，4?，

A?B??1，4?； 10分

若a?4，则

，所以A?B?{1，4}, A?B?{4}； 12分

，所以A?B?{1，4，a}, A?B?{4}. 14分

若a?1且a?4，则

A??4，a?二、平面向量运算

?????????1、（本题满分14分）已知向量a?(1,2)，b?(?2,m),x?a?(t?1)b，y??ka?tb，m?R，

????t为正实数.1) 若a//b，求m的值;2) 若a?b，求m的值; ???3) 当m?1时，若x?y,求k的最小值.

??解:1）?a//b，?1?m?(?2)2?0， m??4.

????2) ?a?b,?a?b?0,?1?(?2)?2m?0,?m?1.

???????????3) 当m?1时,a?b?0, ?x?y ?x?y?0. 则 x?y=

?2?????2 (t?1时取等号）. k1)t?ka?ta?b?k(t?1)a?b?(t?1)tb?0, ?t?0 ?k?(t?1??

42、 （本小题满分15分）已知向量a=?1,?2?,b??3,4?．

（1）若?3a?b?//?a?kb?，求实数k的值；（2）若a??ma?b?，求实数m的值．

（１）3a?b?(0,?10)，a?kb?(1?3k,?2?4k)， 4分

因为(3a?b)∥(a＋kb)， 所以?10?30k?0，所以

k??13. 7分

（２）ma?b?(m?3,?2m?4)， 10分

因为a?(ma?b)，所以m?3?2(?2m?4)?0，所以m??1. 15分

3．（本小题满分8分）设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(4，y)，c＝(1，－2)，且a?c，b∥c．（1）求x，y的值； （2）求∣a＋b∣的值．

15．解 （1）由a?c，得a·c＝0．即x?1＋2?(－2)＝0，所以x＝4．………2分

由b∥c，得4?(－2)－y?1＝0，所以y＝－8．…………4分

2

（2）因为a＝(4，2)，b＝(4，－8)，所以a＋b＝(8，－6)， ………6分 所以∣a＋b∣＝82＋(－6)2＝10．………8分

三、 诱导公式应用

1、（本小题满分14分） 已知tan??2,????,??3?2??， ?3???sin??????2?sin???2??； （2）sin??????．

求：（1）??cos?3?????1?4?解：∵tan??2,??(?,?2?13? ２分 ,cos??)，∴sin??25522??sin??2cos?55?4?5?1. 8分

（1）原式＝………5分＝1?cos??1?11?55??)??sin(??)??sincos??cossin? 11分 44442122310???? ＝ 14分 221055（2）sin(?????????f(x)?cos2x?0???，??????的最小正周期， ?2、已知为

?1???2cos2??sin2(???)a??tan?????，?1?，b?(cos?，2)4????cos??sin?，且a·b=m．求的值．

解：因为?为f(x)?cos?2x???π??的最小正周期，故??π． 8???1?1?????2．故cos?·tan??????m?2． 4?4??·b?cos?·tan???因a·b?m，又aπ2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π) 由于0???，所以?4cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)??cos??sin?cos??sin??2cos?1?tan?π???2cos?·tan?????2(2?m)．

1?tan?4??3、（本小题满分14分）已知2sin2?＋5cos(－?)＝4．求下列各式的值：

3

?

（1）sin(＋?)；（2）tan(?－? )．

2解（1）由条件得2(1－cos2?)＋5cos?＝4，

即2cos2?－5cos?＋2＝0．………2分所以(2cos?－1)(cos?－2)＝0． 11?

因为cos?≠2，所以cos?＝． 所以sin(＋?)＝cos?＝．…………7分

222

1

（2）cos?＝＞0，所以?为第一象限或第四象限角．①当?为第一象限角，sin?＝1－cos2?2＝

3sin?，tan(?－?)＝－tan?＝－＝－3；………………10分②当?为第四象限角，sin?2cos?3sin?，tan(?－?)＝－tan?＝－＝3．…14分 2cos?＝－1－cos2?＝－

四、函数性质应用

1、（本题满分14分）已知二次函数f(x)对任意实数x满足f(x?2)?f(?x?2)，又f(0)3?，

m]上的最大值为3，最小值为1，求f(2)?1．⑴ 求函数f(x)的解析式；⑵ 若f(x)在[0，m的取值范围．

【解析】 ⑴ 设f?x??ax2?bx?c∵f?2?x??f?2?x?∴x?2是对称轴

b111a??2f?0??c?3 f?2??4a?2b?c?∴b??2∴f?x??x2?2x?3

222a⑵ ∵对称轴为x?2 f?2??1∴f?0??f?4??3∴2≤m≤4∴m的取值范围为[2,4]．

故??2x?a2、(本题满分15分)设f(x)?x?1（a?0,b?0）．

2?b（1）当a?b?1时，证明：f(x)不是奇函数；（2）设f(x)是奇函数，求a与b的值；

?2x?1 （3）在（2）的条件下,求不等式f(x)?0的解集.（1）举出反例即可．f(x)?x?1，

2?1f(1)??2?11，f(?1)???252?1?1?112?， ………………2分

24所以f(?1)??f(1)，f(x)不是奇函数； ………………4分 （2）f(x)是奇函数时，f(?x)??f(x)，

?2?x?a?2x?a??x?1即?x?1对定义域内任意实数x成立． ………………6分

2?b2?b化简整理得(2a?b)?22x?(2ab?4)?2x?(2a?b)?0，这是关于x的恒等式，所以

4

?2a?b?0,?a??1?a?1所以或? ． …………9分 ???b??2?b?2?2ab?4?0经检验??a?1符合题意． …………10分 b?2??2x?1（3）由(2)可知f(x)?x?1 ……………11分

2?2?2x?1由f(x)?0得:x?1?0??2x?1?0 ………………13分

2?2 ?2?1?x?0 ………………14分 即f(x)?0的解集为(??,0) ………15分

3、 （本小题满分16分）已知函数f?x??ax?x?2a?1（a为实常数），

2x（1）若a?1，求f?x?的单调区间；（2）若a?0，设f?x?在区间?1,2?的最小值为g?a?，求g?a?的表达式；（3）设h?x??的取值范围．

f?x?x，若函数h?x?在区间?1,2?上是增函数，求实数a123?(x?)?,x?0??x?x?1,x?0??242解析：(1)a?1,f(x)?x?|x|?1?? ??213??x?x?1,x?0?(x?)2?,x?0?24?2∴f(x)的单调增区间为(,??)，(-

12111,0) f(x)的单调减区间为(-?,?)，(0,) 2222(2)由于a?0，当x∈[1,2]时，f(x)?ax?x?2a?1?a(x?1 0?0

121)?2a??1 2a4a11?1 即a? f(x)在[1,2]为增函数g(a)?f(1)?3a?2

22a111110

2 1??2 即?a?时, g(a)?f()?2a??1

2a422a4a110

?2 即0?a?时 f(x)在[1,2]上是减函数 g(a)?f(2)?6a?3 3 2a4 5

1?6a?3,0?a??4?综上可得 g(a)??2a?1?1,1?a?1

?4a42?1?3a?2,a??2?(3)h(x)?ax?2a?1?1 在区间[1,2]上任取x1、x2，且x1?x2则x2a?12a?1?1)?(ax??1)1x1x2h(x1)?h(x2)?(ax2??(x2?x1)(a?

2a?1x2?x1)?[ax1x2?(2a?1)] (*) ∵h(x)在[1,2]上是增函数 x1x2x1x2 ∴h(x2)?h(x1)?0∴(*)可转化为ax1x2?(2a?1)?0对任意x1、

x2?[1,2]且x1?x2都成立即 ax1x2?2a?1

1 当a?0时,上式显然成立2 a?0 x1x2?0

2a?1?1 解得0?a?1a[来源:学科网]2a?1 由1?x1x2?4 得 a2a?12a?110

3 a?0 x1x2? ?4 得??a?0

aa20

所以实数a的取值范围是[?,1]

12五、三角函数性质应用

1、（本小题满分15分）函数f?x??sin??x??????0,|?|??????在它的某一个周期内的2?单调减区间是???5?11??fxy?fx.（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移,????6?1212??1倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的2个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的函数记为g?x?，求函数g?x?在?解：（1）由条件，又sin(2???3??上的最大值和最小值. ,?88??T11?5??2????， ∴??, ∴??2 2分 212122?5?????)?1,∴??? 4分∴f(x)的解析式为f(x)?sin(2x?) 6分 12332??（2）将y?f(x)的图象先向右平移个单位，得sin(2x?) 8分

362??3??2?5?∴g(x)?sin(4x? 12分 ) 10分而x?[,],???4x??388636 6

∴函数g(x)在[?3?8,1]上的最大值为1，最小值为? 15分 822、（本小题满分15分）函数f(x)?Asin(?x??3)（其中A?0,??0）的振幅为2，周

期为?．⑴求f(x)的解析式；⑵求f(x)的单调增区间； ⑶求f(x)在[??2,0]的值域．

T??5分 ??T?????2 ?f(x)?2sin(x2?；┄┄┄)443???5?? ⑵令??2k??2x???2k????k??x??k? (k?Z)

23212125?? ?f(x)的单调增区间为[??k?,?k?] (k?Z)； ┄┄┄┄┄10分

1212??2?? ⑶?x?[?,0]?2x??[?,]?f(x)的值域为[?2,3]. ┄┄┄┄15分

2333解：⑴由题可知：A?2且

?13?3、(本题满分14分)已知函数f(x)?x?2xsin??1，x???,?

22??2（1）当???6时，求f(x)的最大值和最小值；

?13?（2）若f(x)在x???, ?上是单调增函数，且??[0,2?)，求?的取值范围．

?22?解：（1）当???6时，f(x)?x?x?1?(x?)?21225………………………3分 4[来源学科网]15……………………5分 ?当x??时，函数f(x)有最小值?24

当x?331? …………………………7分 时，函数f(x)有最大值

224?13?1（2）要使f(x)在x???,上是单调增函数， 则 －sin≤－ ……11分 ??222??即sin?≥

1??5?? 又???[0,2?) 解得：???,………………………14分 ?2?66?六、应用题

1. （本小题满分16分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调

查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数p与听课时间t（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当t??0,14?时，曲线是二次函数图象的一部分，当t??14,40?时，曲线是函数y?loga?x?5??83?a?0,a?1?图象的一部分．根据专家研究，当注意

7

力指数p大于80时学习效果最佳． （1）试求p?f?t?的函数关系式；

（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．

14]时， 【解】（1）当t?[0，2p?f(t)?c(t?12)?82(c?0)，………………2分 设

c??1.4 将(14，81)代入得

1p?f(t)??(t?12)2?8214]时，4所以当t?[0，. 4分 40]时，将(14，81)代入当t?[14，y?loga?x?5??83a?1.3 6分 ，得

??1(t?12)2?82，(0≤t?14)，?p?f(t)??4?log1(t?5)?83，(14≤t≤40).?3于是 8分

?0≤t?14，??12?(t?12)?82?8012?22?t?14.??4（2）解不等式组得 11分 ??14≤t≤40，?log(t?5)?83?801?3?解不等式组得14≤t?32. 14分

故当12?22?t?32时，p(t)?80， 答：老师在

t??12?22，32?时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳． 16分

2、（本小题满分16分）将51名学生分成A,B两组参加城市绿化活动，其中A组布置400盆盆景，每名学生每小时能够布置6盆盆景或者种植3棵B组种植300棵树苗.根据历年统计，树苗.设布置盆景的学生有x人，布置完盆景所需要的时间为g(x)，其余学生种植树苗所需要的时间为h(x)（单位：小时，可不为整数）. ⑴写出g(x)、h(x)的解析式；

⑵比较g(x)、h(x)的大小，并写出这51名学生完成总任务的时间f(x)的解析式； ⑶应怎样分配学生，才能使得完成总任务的时间最少？

解：⑴由题意布置盆景的学生有x人，种植树苗的学生有51?x人，所以g(x)?400200， ?6x3x 8

h(x)?300100*，(0?x?51,x?N)； (答对一个给2分)┄┄┄┄4分?(51?x)?351?x[来源:Zxxk.Com] ⑵g(x)?h(x)?200100100(102?5x)，因为0?x?51所以3x(51?x)?0 ??3x51?x3x(51?x)当0?x?20时，102?5x?0,g(x)?h(x)?0,g(x)?h(x)

当21?x?51时，102?5x?0,g(x)?h(x)?0,g(x)?h(x) ┄┄┄┄8分

?200*,0?x?20,x?N??3x所以f(x)??； ┄┄┄┄┄10分

100?,21?x?51,x?N*?51?x?⑶完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值 当0?x?20时，f(x)递减，则f(x)?f(20)?10. 3故f(x)的最小值为f(20)，此时51?x?31人 ┄┄┄┄┄12分 当21?x?51时，f(x)递增，则f(x)?f(21)?10 3故f(x)的最小值为f(21)，此时51?x?30人 ┄┄┄┄┄14分 所以布置盆景和种植树苗的学生分别有20,31人或21,30人. ┄┄┄┄┄16分 3、（本小题满分14分）

某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元． （1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；

（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

9

解：（Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则

0? S?q?p?40??100?60m132 0． 0 .………2分

???2p?140, ?40?p?58?又由图可知：q??． ………5分

???p?82 ?58?p?81?所以，S??????2p?140??p?40??100?600m?13200 ?40?p?58?．……7分 ????p?82??p?40??100?600m?13200 ?58?p?81?由已知，当p?52时，S?0，

即??2p?140??p?40??100?600m?13200?0， 解得m?50．即此时该店有50名职工． ………9分 （Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润

????2p?140??p?40??100?37200 ?40?p?58?…10分 S??????p?82??p?40??100?37200 ?58?p?81?当40?p?58时，求得p?55时，S取最大值7800元．当58?p?81时，求得p?61时，S取最大值6900元．

综上，当p?55时，S有最大值7800元． ………12分

设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有12n?7800?268000?200000?0． 解得n?5．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元． .………14分

10