12．3 13．0

三、判断说明题

1．解：正确．

因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数． 2．解：（1）图G1是欧拉图． 因为图G1中每个结点的度数都是偶数．

图G2是汉密尔顿图．

因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）： a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a

问题：请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。

（2）图G1的欧拉回路为：（不惟一）：

v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v1 3．解：图G是平面图．

因为只要把结点v2与v6的连线(v2, v6)拽 到结点v1的外面，把把结点v3与v6的连线 (v3, v6)拽到结点v4, v5的外面，就得到一个平 面图，如图九所示．

图九 4．解：错误．

不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”

四、计算题

1．解：（1）图G是有向图：

a3 a2

a4 a5 a1 （2）图G是单侧连通图，也是弱连通图． 2．解：（1）图G如图十 v1

v2

v3

v5

v4

v6

v1 v2

v 3

v5 v4

（3）deg(v1)=2

deg(v2)=3 deg(v3)=4 deg(v4)=3

deg(v5)=2

（4）补图如图十一

v1 v2

v3

v4

v5

图十一 3．解：（1）G的图形如图十二

图十二

（2）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2 （3）补图如图十三：

图十三 4．解：（1）G的图形表示如图十四：

图十四

（2）粗线表示最小的生成树，如图十五

如图十五 最小的生成树的权为1+1+2+3=7： 5．解：（1）最优二叉树如图十六所示： 方法（Huffman）：从2,3,5,7,11,13,17 ,19,23,29,31中选2,3为最低层结点，并 从权数中删去，再添上他们的和数，即 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31；

再从5,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选 5,5为倒数第2层结点，并从上述数列中 删去，再添上他们的和数，即7,10,11,13, 17,19,23,29,31；

然后，从7,10,11,13,17,19,23,29,31中

65 31 34 17 10 5 42 19 5 160 95

53

24

23 29

11 13

17

7

2 3

选7,10和11,13为倒数第3层结点，并从 如图十六 上述数列中删去，再添上他们的和数，即 17,17,24,19,23,29,31； ……

（2）权值为：2

6+3

6+5

5+7

4+11

4+13

4+17

3+19

3+23

3+293+312

=12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=505 6．解：最优二叉树如图十七

7 3

4 2 12

5 3

1 2

如图十七

它的权为：1

3+23+22+32+42=27

五、证明题

1．证明：用反证法．设G中的两个奇数度结点分别为u和v．假设u和v

不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点．这与定理7.1.2的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．

2．证明：设G??V,E?，G??V,E??．则E?是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结点u?V，u在G和G中的度数之和等于u在

Kn中的度数．由于n是大于等于2的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的

（n?1 (?2)度），于是若u?V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

3．证明：由定理7.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理7.4.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．

k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图．

2