例6：已知整数a、b是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程x2?(k?2)x?4k?0,求k的值及此直角三角形的三边长。

习题

A卷

1. 8x2?2x?1?0 （填：“有”或“没有”）有理根。

2. 关于x的方程x2?mx?12?0至少有一个整数根，则整数m可取值的个数是 个。 3. 已知n为正整数，方程x2?(3?1)x?3n?6?0有一个整数根，则n? 。 4. 满足ab?a?b?1的整数对(a,b)共有 对。

5. 关于x的方程x2?(a?2)x?a2?1?0有两个整数根，则整数a的值是 。

6. 关于x的方程x2?(a?11)x?a?5?0有两个整数根，则实数a的值是 。

7. 若关于x的一元二次方程x2?5x?a?3?0有两个正整数根，则a的值是 ，方程的解是 。

8. 设p为质数，且方程x2?px?580p?0两个根都是整数，则p的值为 。

9. 方程2x2?3xy?2y2?98的正整数解的组数是 。

10. 求使关于x的二次方程a2x2?ax?1?7a2?0的两根都是整数的所有正数a的和是 。

二、解答题

11. 已知方程x2?3x?m?4?0有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m是负的偶数。

第 25 / 97 页

12. 若关于x的二次方程ax2?bx?c?0有实根，且a、b、c都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。

B卷

一、填空题

1. 关于x的方程ax2?2(2a?1)x?4a?3?0至少有一个整数根，则整数a的值为 。 2. 要使方程kx2?(k?1)x?(k?1)?0的根都是整数，k的值应等于 。

3. 关于x的方程(k2?k?2)x2?(2k2?k?6)x?k2?4?0有两个不相等的整数根，则整数k的值为 。

4. 关于x的方程x2?(2m?3)x?m2?3m?10?0至少有一个正整数根，正整数m的值为 。

115. 若p、q都是正整数，方程px2?qx?1993?0的两根都为质数，则2p?q? 。

226. 设m为正整数，且4?m?40，若方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0的两根均为整数，则m? 。 7. 关于x的方程

3x2?mx?m?1?0, ①

4与 2x2?(m?6)x?m2?4?0, ②

若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则m? 。

1118. x、y是正整数，且满足??，则y的最大值是 。

xy100a?b9. 如设27?102?a?b，其中a为正整数，b在0、1之间，则的值是 。

a?b

10. 关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与方程x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数，则m的值为 。

二、解答题

11. 已知a、b为整数，求证：关于x的方程x2?2ax?8b?6?0无整数根。

12. 已知关于x的方程x2?ax?b?1?0的两个根都是正整数，求证：a2?b2是合数。

第 26 / 97 页

13. 一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，x2?(m?2)x?4m?0，试求m的值及此直角三角形的三边长。

14. 是否存在这样的二位质数，它的十位数码为p，个位数码为q，而p、q使方程x2?px?q?0有整数根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的质数。

C卷

一、填空题

1. 关于x的方程x2?(2m?1)x?2m2?3m?0的两根都是整数，则实数m可以等于 。 2. 关于x的方程x2?(2m?1)x?3m2?m?2k?0对于任意有理数m，均有有理根，则实数k的值为 。

3. 关于x的方程k2x2?(k?1)2?k2?1?0至少有一个整数根，则整数k可以是 。 4. 若k为整数，且关于x的二次方程(k?1)x2?px?2k?1?0有两个整数根，则k、p的值为 。

5. 设a、b为整数，且方程ax2?bx?1?0的两个不同的正整数根都小于1，则a的最小值为 。

6. 当有理数x为 时，代数式9x2?23x?2的值恰为两个连续正偶数的乘积。

7. 已知一元二次方程(k?1)x2?px?k?0有两个正整数根，且k为整数，则kkp?(pp?k)k?(p?5的值为k) 。

8. 已知n为正整数，关于x的一元二次方程2x2?8nx?10x?n2?35n?76?0的两根为质数，则此方程的根为 。

9. 若m、n都是整数，则方程x2?10mx?5n?3?0 （填“有”或“没有”）整数根。 10. 如图，正方形EFGH内接于?ABC，设BC?ab（ab是一个两位数）EF?c，三角形高AD?d.已知a、b、c、d是从小到大的四个连续正整数，则此?ABC的面积为 。

第 27 / 97 页

二、解答题

11. 是否存在这样的质数p、q，使 方程x2?p2x?q3?0有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的p、q的值。

12. 关于x的二次方程(15?k2?8k)x2?2(13?3k)x?8?0的两根都是整数，求实数k的值。

13. 求所有的正整数a、b、c，使得关于x的方程x2?2a?x、0?b22?x、b?0x2?c2?x?0c?xa的所有根均为正整数。

14.已知关于x的方程(m2?1)x2?3(3m?1)x?18?0有两个正整数根（m是整数），?ABC的三边a、b、c满足c?23,m2?a2m?8a?0,m2?b2??8b?0. 求：（1） m的值；（2） ?ABC的面积。

第 28 / 97 页