例2：如图，已知圆内接四边形ABCD，延长AB、DC交于E，延长AD、BC交于F，EM、FN为圆的切线，分别以E和F为圆心、EM和FN为半径作弧，两弧交于K，求证：EK⊥FK．
证明 连结EF，过B、C、E三点作圆交EF于H，连结CH .因为B、C、H、E共圆，所以∠1=∠2.因为A、B、C、D共圆，
所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D、C、H、F共圆．由切割线定理得EM2=EC·ED =EH·EF，FN2= FC·FB=FH·FE，
所以EM2＋FN2=(EH＋FH)·EF =EF2．
又因为EM=EK，FN=FK，所以EK2＋FK2=EF2．
故△EKF为直角三角形，且∠EKF=90°，即EK⊥FK.
例3：如图，⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点，在公共弦QP延长线上取
一点M，过M作两圆割线分别交两圆于A、B、C、D.
ADBDDM求证：?.
ACCBCM证明 由切割线定理得MA·MB = MP·MQ =MC·MD， 所以A、B、D、C四点共圆，
11可得∠ADB =∠ACB.又S?ADB?ADBDsin?ADB,S?ACB?ACBCsin?ACB，所以
22S?ADBADBD?.过C作CG⊥MB，垂足为G，过D作DH⊥MB，垂足为H.所以CG∥DH，得△MGCS?ACBACBCSDHDMADBDDM?.所以∽△MHD，得?ADB?=.
S?ACBCGCMACBCCM
例4：如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大 圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N，求证：(1) AE2= BN·EN；(2)若AD经过圆心O，且AE = EC，求 ∠AFC的度数。
证明 (1)因为AE、ABC分别是小圆的切线和割线，所以AE2=AB·AC ①
作OH⊥AD于H，则AH = DH，BH = CH，所以AB = CD. 同理得BM=EN.由相交弦定理得AB·BD = MB·BN. 所以AB·AC = EN·BN. ② 由①② 得AE2= EN·BN.
(2)连结OE，因为AF是切线，所以OE⊥AF于E，所以AE = EF.因为AE = EC = EF，所以易证得∠ACF = 90°.因为AD过圆心D，所以FC是小圆的切线。所以FC=FE=EC，所以∠AFC = 60°.
例5：从圆外一点P作⊙O的切线，切点为Q，割线PBC与圆交于B、C两点，∠QPC的平分线
DBEC?分别交QC、QB于E、D，求的值。 QBQCQEPQ?. ① 解 在△QPC中，由PE平分∠QPC，得
ECPCQDPQ?. ② 同理，在△QPB中有
DBPBQEQDPQ2?. ③ 于是①×②得
ECDBPBPC又PQ为圆的切线，PBC为圆的割线，故PQ2= PB·PC.④
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把④代入③得QE·QD = EC·BD，所以(QC－EC)·(QB－DB）=EC·BD，即QB·EC＋QC·BD＝
ECBD??1. QB·QC，从而
QCQB
例6：如图，已知⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，
点C为AO2B上的一动点（不动至A、B），连结AC并延长交⊙O2于点P，连结BP、BC.
（1）先按题意将图156补完整，然后操作、观察。图156供操作观察用，操作时可使用量角器与刻度尺，当点C在AO2B上运动时，图中有哪些角的大小没有变化；
（2）请猜想△BCP的形状，并证明你的猜想（图157供证明用）；
（3）如图158，当PA经过点O2时，AB＝4，BP交⊙O1于D，且PB、DB的长是方程
x2?kx?10?0的两个根，求⊙O1的半径。
解 (1)①按题意将图补完整；②∠ACB、∠APB、∠CBP的大小没有变化；
(2) △BCP是等腰三角形。证明：连结O2A，则∠BO2A=∠ACB， ∠BO2A=2∠P，所以∠ACB = 2∠P.又∠ACB＝∠P＋∠PB C，所以
∠P=∠PBC，即△BCP是等腰三角形； (3)连结O2O1，并延长交AB于E，交⊙O1于F.设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R，所以O2F1⊥AB，EB=AB = 2.因为PDB、PO2A是⊙O1的割线，所以PD·PB =PO2·PA=2R2．因为PB、
2BD是方程x2?kx?10?0的两根，所以PB·PD=10．因为PD·PB = (PB－BD) ·PB=PB2－PB·BD＝PB2－10，所以PB2－10＝2R2.①
因为AP是⊙O2的直径，所以∠PBA=90°，所以PB2 = PA2－AB2，所以 PB2 = 4R2－16．②
由①②得R=13，在Rt△O2EB中，O2E?O2B2?BE2?13?4=3.由相交弦定理得EF·EO2＝AE·BE，所以EF=
A卷
一、填空题
1.如图，已知PT切⊙O于T，PAB为经过圆心O的割线．如果PT=4，PA =2，那么cos∠BPT的值等于 。
12.如图， PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线，且PB=BC，
2则PA：PB的值为 。
4141313，所以r?(3?)?,所以⊙O1的半径为. 32366第 90 / 97 页
3.已知⊙O的半径为4 cm，P是圆外一点，经过圆心的割线PAB的长是12 cm. PT是切线，T为切点，则切线PT的长是 。
4.如图，已知⊙O的半径OA =5，P是OA上一点，且AP =2，弦MN过P点，且MP：PN=1：2，那么弦心距OQ的长为 。
5.如图，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，CD⊥AB于D；若CD=6，AD：DB=3：2，则AC·BC等于 。
6.如图，AB为OD的直径，弦AC、 BD相交于点P．若AB = 3，CD =1，则∠APD的正弦值为 。
7.如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA =4cm，PB=3 cm，PC =6cm，EA切⊙O于点A，AE =25cm，则PE的长为 。
8.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∠APB=60°，点P到圆心的距离PO=4，则点P到⊙O的切线长为 。
9.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PBC是⊙O的割线。
若PA=20，PC = 40，弦BC的弦心距OD=8，则⊙O的半径为 。
10.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，P是AB延长线上的一点， PC切圆于C，CD⊥AB于D.已知AD：DB=4：1，PC =2，则BP的长为 。
二、解答题
11.如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及延长线分别交于点H及K，求证： （1）HC·CK＝AC2；（2） AH·AK＝2 AC2
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12.如图，已知△ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆O，AD为⊙O的切线，AE=AD，过E作AB的垂线交AC的延长线于F.
ABAE求证：（1）；（2）S?ABC?S?AEF. ?AFAC
13.如图，已知AB是圆的直径，AD为圆的切线，FB和DB是圆的割线，分别交圆于E、C，求证：BE·BF = BC·BD.
14.如图，△ABC内接于⊙O ，P为⊙O外的一点，作∠CPD = ∠A，使PD交⊙O于D、E两点，并与AB、AC分别交于点M、N.
求证：DN·NE = MN·NP.
B卷
一、填空题
1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于D，交AC于E.若⊙O的半径为5，BC =6，那么DE的长为 。
2.如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B，与直径CT交于点D.已知CD =2，AD =3，BD=4，那么PB的长是 。
3.如图，过半径为1的圆上一点C作圆的切线与该圆直径AB的延长线交于点P，CD⊥AB交AB于E，交圆于D．如果∠APC = 30°，则AC的长是 。
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