12.如图，⊙O2经过⊙O1的圆心且与⊙O1相交于A和B，AC为⊙O1的直径，直线CB交⊙O2于D，AD交⊙O1于E，BE交⊙O2于F，连结AF，求证：(1) DA = DC；(2) ⊙O1与⊙O2周长比等于AE：AF.

13.如图，⊙A与⊙B相交于C、D，且它们都与⊙O内切，切点为M、N，射线CD交⊙O于P，PM交OA于E，PN交OB于F，求证：EF是⊙A、⊙B的公切线。

14.如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，⊙之弦AC是⊙O2之切线，而⊙O2之弦DA是⊙O1之切线。若⊙O1与⊙O2的半径分别为R1、R2，求△ABC与△ABD的面积比。

C卷

一、填空题

1.若两个圆不管怎么放置，其公切线都不少于2条，则这两个圆的半径 。

2.如图，与⊙O1、⊙O2、⊙O3同时相切的圆共有 个。

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3.如图，⊙O1与⊙O2的半径分别为5 cm、2 cm，圆心距为6 cm，AB、CD为外公切线，A、B、C、D为切点，则两圆中以切点为端点的弦长分别等于 。

4.如图，两个同心圆，点A在大圆上，ABC是小圆的割线。若AB和AC是方程x2?kx?8?0的两个根，则圆环的面积是 。

5.已知R、r分别为两圆的半径，且R≠r， d为两圆的圆心距。若方程x2?2Rx?r2?d(r?R)有两个相等的实数根，那么这两个圆的位置关系是 。

6.如图，AB为⊙O的直径，⊙O1是以⊙O的半径OA为直径的圆，且与⊙O的弦AC相交于D.若BC=16，则OD= 。

7.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，内公切线PC与外公切线AB (A、B分别是⊙O1和⊙O2上的切点）相交于点C.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4，则PC的长等于 。

8.如图，AB为半圆O的直径⊙O1与半圆内切于C1，与AB相切于D1；⊙O2与半圆内切于C2，与AB相切于D2，则?AC1D1与?AC2D2的大小关系是 。

9.如图，两圆同心，半径为26与43，矩形ABCD的边AB、CD为两圆的弦。当矩形面积取最大值时，它的周长等于 。

10.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和5，O1O2 = 10，则两圆的两条内公切

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线与一条外公切线所围成的三角形面积为 。

二、解答题

11.如图，已知C为线段AB上一点，在AB同侧分别取以AB、BC、AC为直径作半圆⊙O、 ⊙O1、⊙O2，过C点作CD⊥AB交⊙O于D，EF分别切⊙O1和⊙O2于E、F点，求证：EF = CD.

12.如图，两圆相交于P、Q两点，过P任作两直线交一圆于A、B，交另一圆于A'、B'，AB与A'B'交于点C，求证：∠C为定值。

13.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上。 (1)如图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C， 求证：CO2⊥AD．

(2)如图，若AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在的直线是否与AD垂直？并证明你的结论。

14.如图147、图148，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，PA、PB分别是⊙O1、⊙O2的切线，PA交⊙O2于点C，PB的延长线交⊙O1于点D.

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PA3PD?(1)求证：； PB3PCPDO1A?(2)求证：； PAO2A(3)在本题中，如果BO1?O1A,?APB是锐角，且O1A?23， O2A=3(如图148)，求PB的长（结果取准确值）。

第十四讲 与圆有关的比例线段

知识点、重点、难点

在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。 3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲

例1：如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.当AD与⊙O2相切，且

PA = 6，PC=2，PD =12时，求AD的长。

解 连结AB.因为CA切⊙O1；于点A，所以∠1 =∠D． 又∠1=∠E，所以∠D=∠E.又∠2=∠3，

PAPD?， PCPE即PA·PE = PC·PD．因为PA=6，PC=2，PD =12，得6×PE=2×12，

得PE =4.由相交弦定理得PE·PB=PA·PC，所以4PB=6×2，得PB=3.所以BD = PD－PB=9，DE =DP＋PE =12＋4=16.因为DA切⊙O2于点A，所以DA2= DB·DE，即AD2=9×16，得AD＝

所以△APD∽△CPE，所以

12.

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