CD⊥O2E，且O1E平分∠AEB，O2E平分∠CED，所以O1E⊥O2E，得AB⊥CD.于是K为分别以AC和BD为直径的两圆S1和S2的交点，故K在圆S1和圆S2的等幂线（根轴）上。又O1A⊥AC，则O1A是圆S1的切线，所以O1关于圆S1的幂是O1A2.同理O1关于圆S2的幂是O1B2.由于O1A2 = O1B2，故O1是关于圆S1和圆S2的等幂点。同理可知O2也是关于圆S1和圆S2的等幂点。所以O1O2是圆S1和圆S2的根轴，从而知K在连心线O1O2上。
例4：如图，⊙O1与⊙O2相交，公共弦为MN，公切线为AB与CD，直线MN交AB于P，交CD于Q，求证：PQ2?AB2?MN2.
证明 因为AB为⊙O1、⊙O2的公切线，所以由切割线定理得PA2?PMPN?PB2，从而有PA=PB，于是AB2?4PMPN．同理可得CQ=DQ.
于是AC∥PQ∥BD，所以PQ⊥O1O2，且直线O1O2平分线段PQ. 又MN⊥O1O2，且直线O1O2平分公共弦MN，因而有PM=QN．
所以AB2＋MN2= 4PM·PN＋MN2＝4PM2＋4PM·MN＋MN2 ＝(2PM＋MN)2＝(PM＋MN＋NQ) 2＝PQ2．
例5：任意剪六个圆形纸片放在桌面上，使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住，然后用一枚针去扎这一堆纸片，证明：不论针尖落在哪一点，总不能把六个纸片全部扎中。
证明：即证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆的内部。
用反证法。如图，设平面上有一点M同时在这六个圆的内部，连结六个圆心：MO1、MO2、MO3、…、MO6，于是?O1M2O??2OM3?O??5360O°，因此至少有一个角不大于M?O60
°，不妨设?O1MO2? 60°，即r?60°.又因为??????180°，故?、?中必有一个不小于60°，不妨设??60°，于是???所以O1O2?O1M?r1(r1为⊙O1的半径)，故O2在⊙O1的内部，这与题设矛盾。这就证明了M点不可能同时在六个圆的内部。
例6：如图，∠CAB＝∠ABD = 90°，AB＝AC＋BD，AD交于BC于P，作⊙P使其与AB相切，试问以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明。
解 如图，设⊙P切AB于E，连结PE，得PE⊥AB．令AC =a，BD=b(a≤b)，那么AB = a＋b.又设⊙O半径为R，⊙P半径为r，由AB=AC＋BD得2RrrEBAEabAEAB＝a＋b，由得r?得???1?.又由?abABABa?brbABaba?b11E?a,于是OE?R?a?(a?b)?a?(b?a).AE?r?，即Aba?bab22ab2(b?a)2(a2?b2)222222)??在Rt△OPE中，OP?PE?OE?r?OE?(，a?b44(a?b)2a2?b2(a?b)2?2aba?bab????R?r.由此推知⊙O与⊙P相内切。 于是OP?2(a?b)2(a?b)2a?b
例7：如图⊙A、⊙B、⊙O三圆彼此外切，且均与同一直线相切于A1、
111B1、C1点，求证：??（其中a、b、c分别为⊙A、⊙B、
cab⊙O的半径）。
、BB 证明 如图，AA1、OC11均垂直于直线A1B1，过O作
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OC2?AA1
于C2，由勾股定理知
2A1C12?C2O2?AO2?AC2?(a?c)2?(a?c)2?4ac.
同理可得B1C12?4bc,AB12?4ab.由于AC11?C1B1?A1B1，因此
111ac?bc?ab，于是有??.
cab
A卷
一、填空题
1.两圆的圆心距为6，半径分别是方程x2?5x?4?0的两根，则这两圆的位置关系为 。
2.两圆的半径比为7：5，当它们外切时圆心距为36，则相交时两圆圆心距d的取值范围是 。 3. ⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB：BC：CA=3：4：5，则⊙A、⊙B、⊙C的半径之比为 。
4.两圆的半径分别为5 cm和4 cm，公共弧长为6 cm，则两圆的圆心距等于 。
5.三个同心圆的半径分别为r1、r2、r3，且r1＜r2＜r3.若大圆的面积被两个小圆三等分，那么r1：r2：r3等于 。
6.一个半径为r的⊙O1内切于一个等腰直角三角形ABC，一个半径为R的⊙O2外接于这个三角形，那么R：r等于 。
7.如图，在同一直线的同侧作三个圆，其中⊙O3的半径为4，⊙O1、⊙O2的半径相等，并且每一个圆都和直线以及其他两圆相切，则两
个等圆的半径为 。
8.以O为圆心的两个同心圆的半径分别是9 cm和5 cm，⊙O'与这两个圆都相切，则⊙O'的半径是 。
9.如图，两圆内切于点A，PA为两圆的外公切线，PB、PC分别切两圆于B、C.若∠APC = 40°，∠PAB=75°，则∠PCB等于 。
10. ⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径一定是 。
二、解答题
11.如图，已知⊙O1和⊙O2是两个相交的等圆，交点为A、B、CD是过点A的直线，交⊙O1于C，交⊙O2于D，BE⊥CD于E，求证：CE=DE.
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12.如图，半径为R的⊙O1和半径为r的⊙O2外切于点P，AB为两圆的外公切线，切点为A、B，连心线O2O1交⊙O1于C，交⊙O2于D，CA与DB的延长线相交于Q.
（1）求证：CQ⊥DQ；（2）若R＝3r，求∠ABQ的度数。
13.如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，AP交⊙O2于C，
BP交⊙O1于 D，求证：AB 2 =AP·PC ＋BP·PD．
14.如图，⊙O1是△ABC的外接圆，⊙O2与⊙O1内切于点A，⊙O2交AB于F，交AC于G，EF⊥BC于E，GH⊥BC于H，AD是△ABC的高，交FG于M，且AD=6，BC =8. （1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）设EF=x，矩形FEHG面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）当矩形EFGH的面积是△ABC面积的一半时，两圆半径有什么关系？并证明你的结论。
B卷
一、填空题
1.已知两圆的圆心距是d，两圆的半径分别为R和r(R＞r)，且d2?R2? r2?2Rd，那么两圆的位置关系是 。
2.已知两圆的半径分别为3与5，圆心距为x，且(x?3)2?x?3,x?4＝4－x，则两圆的公切线共有 条。
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3.如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，它们的半径之比为3：2，AB是它们的外公切线，A、B是切点，AB=46，那么⊙O1和⊙O2的圆心距
是 。
4. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，公共弦AB与连心线O1O2交于G.若AB = 48，⊙O1和⊙O2的半径分别为30和40，则?AO1O2的面积是 。
5.如图⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O1的圆心O1，交⊙O1于C、D.若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O1与⊙O2的半径之比为 。
6.如图，⊙O过M点，OM交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB=8，BC=1，则AM= 。
7.如图，⊙O1和⊙O2相外切于D点，经过D点的直线与⊙O1和⊙O2 分别相交于A、B.若?AO2D?110°，C为优弧BD上一点，
则?BCD＝ 。
8.两圆半径分别为4、2，若它们有两条公切线互相垂直，则这两个圆的圆心距等于 。
9.已知圆O1和圆O2外切，半径分别为1 cm和3 cm,那么半径为5 cm，且与圆O1、圆O2都相切的圆一共可以作出 个。
10.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N.若AE =3，NE=2，则BN= 。
二、解答题
11.如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B、C是⊙O1上的点且在⊙O2内，AC的延长线交⊙O2于D，BC的延长线交⊙O2于E，DB的延长线交⊙O1于F，过D作⊙O2的切线DG，交CB的延长线于
G，求证：CB·EG=FC·GD．
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