例4：如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠。如果渠深为h，截面积为S，试求当倾角?为多少时造价最小？ 分析 要使造价最小，只需考虑AD＋DC＋CB最小，故首先设法用h、S、?表示AD＋DC＋CB．

11S解：S?(AB?CD)h?(2CD?2hcot?)h?(CD?hcot?)h，有CD??cho?t，则

22h2hSAD?DC?CB?2AD?CD??(?

sin?hSh(2?cos?)hcot?)??.

hsin?2?cos?2?cos?因S、h为常数，则要求AD＋DC＋CB的最小值，只需求的最小值。设?m,两

sin?sin?222边平方整理得(m?1)cos??4cos??(m

2?4?(m2?1)(m2?4)2?m2(m2?3)?4)?0，cos???. 22m?1m?12?cos?由上式知m2(m2?3)?0，解得m?3，故当m?3时，有最小值。当m?3时，sin?21cos??2?，从而??60，此时排污渠造价最小。

m?12

例5：如图，在△ABC中，已知最大内角A是最小内角C的2倍，且三边的长a、b、c是三个连续自然数，求三角形各边的长。

解：设三角形三边分别是a=n＋1，b=n、c=n－1(n为自然数，且n≥2). 如图作∠A的平分线AD交BC于D，再作DE⊥AC于E.

ABBDAB?ACBC因为∠1=∠2，所以，所以，所以??ACDCACDCn(n?1)DC?.

2n?11n 又因为∠2=∠C，所以AD?CD，所以EC?AC?.

22

EC2n?1?.又在?ABC中，由余弦定理有在Rt△EDC中，cosC?DC2(n?1)22BC?C2A?A(B?1)n2?2?(n?1n)2?4ncoCs??? .2BCCA2(?n1)n?2(n1)2n?1n?4? 所以，所以n?5，所以此三角形的三边长为4、5、6.

2(n?1)2(n?1)

A卷

一、填空题

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1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是1，另两边之和是3?1， 则这个三角形的另两边之长分别是 和 。

2.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC=6，CA的平分线AD=43，则AB= 。

3.在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC=35，AC=315，则∠A= ，外接圆的半径是 。

4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是 厘米。

35.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC=2，cosB=，则S?ABC? 。

5

6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。

7.若0°

18.计算(tan60)2001(3tan30)2000? 。

3

4cos??5sin?9.已知tan?＝2，?为锐角，? 。

2cos??3sin?

100310.如果等腰三角形ABC中，底角是30°，面积为，那么?ABC的周长是 。

3

二、解答题

11.已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D在直线BC上，且BD= AB，求∠ADB的余切值。

12.如图，已知△ABC中，∠C = 90°，E、F在AB边上，AF=EF=EB，且CF= sin?，CE＝cos?，求斜边AB的长。

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B卷

一、填空题

1.在△ABC中，有一个角为60°，S??103，它的周长是20，则它的三边之长分别为 、 和 。

2.如图，在Rt△ABC中，E、D分别是边AC、BC的中点，BE=222，AB=10，∠C=90°，则AD= 。

3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝ 。

4.已知在直角三角形ABC中，∠C = 90°，tan2A＋cot2A = 5，则tanA＋cot A＝ 。

5.在直角三角形中，斜边长为C，面积为S，那么这个三角形的两直角边长 分别是 和 。

6.在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=135°，BC=10，则AB= 。

7.计算tan 15°= 。

8.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有两点M、N，且∠MCN = 45°．记AM= m，MN=x，BN= n，则以x、m、n为三边长的三角形是 三角形。

9.如图，在△ABC中AB = AC，∠ABN =∠MBC，BM= NM， BN= 2a，则点N到边BC的距离是 （用含a的代数式表示）。

10.在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝15°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，那么a：b：c=

二、解答题

11.如图，城市规划期间欲拆除一电线杆AB.已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（地面上以点B为圆心、以AB长为半径的圆形区域为危险区域）（3?1.732 ，2?1.414）。

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12.如图，在△ABC中，∠A=45°，CB=5，BD=3，CD＝7，D在边AB的延长线上，求∠CBD和AC的大小。

13.在Rt△ABC中，已知两直角边的差为22，两直角边在斜边上的射影的差为23，求△ABC的三边的长。

14.如图，ABCD是正方形，E为BC上一点。将正方形折叠，使A点、E点重合，折痕为MN.

1若tan∠AEN=DC＋CE=10，求（1）△ANE的面积；（2）sin∠ENB的

3值。

C卷

一、填空题

CD1. ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，则? 。

AB?AC

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