22??x?y?42.当k? 时，方程组?有两个相同的实数解。
??y?kx?22
xy?2(x?y) x? ，
3. 方程组 yz?3(y?z) 的解是 y? ， zx?4(x?z) z? 。
x?y?2 x? ，
4. 方程组 的解是 y? ， xy?z2?1 z? 。
4x2?5xy?6y2xy6x?15y? 。 ??5. 若，则22x?2xy?3y3y2x?5yx
6. 已知x、y是正整数，xy?x?y?23,x2y?xy2?120，则x2?y2? 。 7. 若x2?xy?y?14,y2?xy?x?28，则x?y? 。
xy?xz?8?x2 x? ，
8. 方程组 yx?yz?12?y2 的解是 y? ，
zy?zx??4?z2 z? 。
9. 某工程可由若干台机器在规定的时间内完成，如果增加2台机器，则用规定时间的以完成；如果减少2台机器，那么就要推迟
7就可82小时完成．如果用一台机器完成这件工程需 3小时。
x?6?3y, ①
10. 实数x、y、z满足 x?3y?2xy?2z2?0, ②
则x2y?z 的值是 。
二、解答题
?x?y?z?x?y?z?1?5?11. 解方程组?xyz
????234
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x?y?z?3 ①
12. 解方程组 x2?y2?z2?3 ② x5?y5?z5?3 ③ 13. 某校参加初一“迎春杯”竞赛的甲、乙两班学生共a人，其中甲班平均分为70分，乙班平均分为60分该校总分为740分，问甲、乙两班参赛各多少人？
x1?x2?x3?a1 ①
x2?x3?x4?a2 ②
14. 实数x1、x2、x3、x4、x5满足 x3?x4?x5?a3 ③
x4?x5?x1?a4 ④
x5?x1?x2?a5 ⑤
其中a1、a2、a3、a4、a5是常数，且a1?a2?a3?a4?a5，则 x1、x2、x3、x4、x5的大小顺序是如何排列的？
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第九讲 二次函数
知识点、重点、难点
函数y?ax2?bx?c (a、b、c为常数并且a≠0)称为二次函数，其图像称为抛物线，抛物线是轴对称图形。 1.二次函数的形式
（1）一般式：y?ax2?bx?c（a≠0）； （2）顶点式：y?a(x?m)?k（a≠0）；
（3）交点式：y?a(x?x1)(x?x2)，（a≠0，x1、x2是方程ax2?bx?c?0 的两根）。
2.二次函数的性质
y?ax2?bx?c（a≠0）的对称轴为x??当a?0时，在x??b，顶点坐标为b4ac?b2
(?,).2a4a2abb范围内，y?ax2?bx?c单调递减，在x?? 2a2a2范围内y?ax2?bx?c单调递增。当x??b，y有最小值，y最小值?4ac?b.
2a4a 当a?0时，在x??单调递减，当x??b2abb范围内，y?ax2?bx?c单调递减，在x??范围内y?ax2?bx?c2a2a2，y有最大值，y最大值?4ac?b.
4a3.二次函数与二次方程关系
y?ax2?bx?c（a≠0） ax2?bx?c?0（a≠0） △＝b2?4ac 图像与x轴有二个交点； 方程有两个不同根； △＞0； 图像与x轴有一个交点； 方程有两个相同根； △＝0； 图像与x轴没有交点． 方程没有实数根． △＜0.
例题精讲
例1：已知抛物线y?x2?(4m?1)x?2m?1与x轴交于两点，如果一个交点的横坐标大于2，
1另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴交点在(0,?)，的下方，那么m的取值范围
2是什么？
解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，那么(x1?2)(x2?2)?0，那么x1x2?2(x1?x2)?4?把0.x1?x2?4m?1、x1x2?2m?1代入不等
1式得2m－1－2(4m＋1)＋4＜0，解得m?.
6111因抛物线与y轴交点在(0,?)的下方，故2m?1??，解得m?.
224因为△＝[?(4m?1)]2?41(2m?1)?16m2?5?0，所以m为一切实数。所以m的取值范围11是?m?. 64
例2：二次函数y?ax2?bx?c的大致图像如图所示。 （1）确定a、b、c和b2?4ac的符号。 （2）如果OA?OC，求证：ac?b?1?0 .第 43 / 97 页
b?0，故b＜0；抛物线与y轴交2a点在x轴下方，则c＜讯抛物线与x轴有两个交点，则△=b2?4ac＞0.
因抛物线与y轴交于C点，即C(0，c)．又因为OA=OC，故A(c，0).将A点坐标代入解析式得0?ac2?bc?c，根据图像得c≠0，则ac＋b＋1=0.
例3：关于x的方程x2?(a2?1)x?a?2?0有两个不相等的实根，一个大于1，另一个小于1，求实数a的取值范围。
解：设f(x)?x2?(a2?1)x?a?2.如图，显然此二次函数与x轴的
x2交点分别在直线x=1的两侧，即x1＜1＜．仅需
解：抛物线开口向上，则a>0；对称轴在y轴右边，则?f(1)?a2?a?2?(a?2)
(a－1)＜0，得a的取值范围是?2?a?1.
例4：讨论方x2?6x?10?m (m为实数)的解的个数与m的关系。
解：讨论方程x2?6x?10?m的解的个数与m的关系，实质上就是讨论y?x2?6x?9与y=m－1的图像交点个数问题。
2??(x?3),x?0;y?? 如图所示，画出其图像。 2(x?3),x?0.?? 当m－1＜0时，即m＜1，原方程无解； 当m－1=0或m－1＞9时，即m=1或m＞10时，原方程有两个解；
当m－1=9时，即m=10时，原方程有三个解；当0＜m－1＜9，即1＜m＜10时，原方程有四个解。
例5：已知f(m?1)?2m2?3m?2，求f(x)．
解：设y?m?1，则m?y?1，代入原式得f(y)?2(y?1)2?3(y?1) ?2?2y2?y?3.所以f(x)?2x2?x?3.
另一种解法：f(m?1)?2m2?3m?2?[2(m?1)?3][(m?1)?1]．
设x=m＋1，所以f(x)?(2x?3)(x?1)?2x2?x?3.
例6：已知对一切实数k二次函数y?2x2?kx?4k?1都过一定点，求此定点坐标。 解：整理得(x?4)k?(y?2x2?1)?0，因为对一切实数k该式均成立，
?x?4?0?x?4仅需?解得所以二次函数图像过定点（4，33）． ?2?y?33.?y?2x?1?0,
习题
A卷
一、填空题
1.如果点M(a，－7)在函数y?3?2x2的图像上，则a= ．
2.直线y=kx与抛物线y?3?(x?2)2有公共点，则k的取值范围是 ．
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