数学分析选讲课程论文
函数一致连续性的判别
一.函数一致连续性的定义
1.函数一致连续性的概念
定义：设函数f(x)在区间I有定义，若???0,???0,?x1,x2?I:x1?x2?? 有f(x1)?f(x2)??,称函数f(x)在I上一致连续。
例1.证明：函数f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致连续。 证 ：取?=???0,由于f(x')?f(x'')?ax'?x''，
?，则对任何x',x''?(??,??)，a只要x'?x''??，就有f(x')?f(x'')??，故函数f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致连续。
例2. 证明：函数f(x)?1在区间?a,1?（其中0?a?1为常数）上一致连续；在x区间?0,1?上非一致连续。
证 ：（1） ???0,由于f(x')?f(x'')?1112'''??a?，，取???x?x'''2''''xxaxx1xx?x'''则对任意x',x''??a,1?,当x'?x''??时，就有f(x')?f(x'')??，故函数f(x)?在区间?a,1?（其中0?a?1为常数）上一致连续； （2）??0??11111?''，取，x?x?,x''???0,1?，虽?0,???0??n????n?1n?1n2???1111???2??, n?1nn(n?1)n然有 x'?x''?但f(x'?x'')?(n?1)?n?1??0?续。
11，故函数f(x)?在区间?0,1?上非一致连2x例3.（1）叙述f(x)于区间I一致连续的定义;(2)设f(x)，g(x)都于区间I一致连续且有界，证明：F(x)?f(x)g(x)也于I一致连续。
解： （1）若???0,???0,?x1,x2?I:x1?x2??有f(x1)?f(x2)??,称函数f(x)在
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I上一致连续。
（2）由题设f(x)，g(x)有界，从而存在M?0，使f(x)?M,g(x)?M,?x?I再由f(x)，g(x)都一致连续，则???0,??1?0,?2?0使?x1,x2,x3,x4?I且
x1?x2??1,x3?x4??2时有f(x1)?f(x2)??2M,g(x3)?g(x4)?时
?2M,令，
??min??1,?2?则
?x5,x6?I,x5?x6??F(x5)?F(x6)?f(x5)g(x5)?f(x6)g(x6)?f(x5)?g(x5)?g(x6)?g(x6)?f(x5)?f(x6).?M??2M?M??2M??.
所以F(x)在I上一致连续。
例4.函数f(x)在?a,b?上连续，又在?b,c?上一致连续，a?b?c，用定义证明：
f(x)在?a,c?上一致连续.
证： 由f(x)在?a,b?上一致连续，故???0，存在?1?0 当 x1，x2??a,b?，且
x1?x2??1时，有 f(x1)?f(x2)??2 ①
同理，f(x)在?b,c?上一致连续，对上述??0，存在?2?0， 当x3,x4,??b,c?，且x3?x4??2时，有
f(x3)?f(x4)??2 ②
令??min??1,?2?，则对??0，当x5,x6??a,c?且x5?x6??时， (1)若x5,x6??a,b?，由①式有
f(x5)?f(x6)??2??.
(2)若x5,x6??b,c?，由②式也有
f(x5)?f(x6)??.
(3)若x5??a,b?，x6??b,c?时，则x5?b??，x6?b??
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所以f(x5)?f(x6)?f(x5)?f(b)?f(b)?f(x6)?从而得证f(x)在?a,b?上一致连续。
例5.证明：f(x)?致连续。 证
:
对
?2??2??.
11在?a,???其中a?0上一致连续，g(x)=sin在?0,1?上不一xx取
???0??a2?区间，当x'?x''??时，
x''?x'x'?x''11?1??????，由一致连续的定义知在给定的区间中一2''''a2xx'x''axx致连续。 （2）g(x)?sin取?0?'121',xn?,在?0,1?内取xn? n?(n?1)?x1对任意的??0，只要n充分大总有 2n?(n?1)?2'?sin?1??0. ??，f(xn)?f(xn)?sin22n(n?1)?xn?xn?所以f(x)在?0,1?上不一致连续。 例6．设函数f(x)定义在区间?a,b?上。
（1） 用???方法叙述f(x)在?a,b?上一致连续的概念；
1（2） 设0?a?1,证明：f(x)?sin在?a,1?上一致连续；
x1（3） 证明：函数f(x)?sin在?0,1?上非一致连续。
x解:（1） 设函数f(x)在区间I有定义，若???0,???0,?x1,x2?I:x1?x2?? 有f(x1)?f(x2)??,称函数f(x)在I上一致连续。
（2）???0，取??a2?，则当x1,x2??a,1?,x1?x2??时，
1111??xx2xx2111?11?11?f(x1)?f(x2)?sin?sin?2cos1?sin1?2sin??????x1x2222?x1x2?x1x2?x2?x1x2?x1?11x?x???? 2122aa 3
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1所以f(x)?sin在?a,1?上一致连续.
x1(3) 由 例5可知函数f(x)?sin在（0,1）上非一致连续.
x例7.用定义证明x在?0,???上一致连续.
证 ：令f(x)=x，先证f(x)在?1,???上一致连续. 设x1,x2??1,???且x1?x2
x1?x2?x1?x2x1?x2?x1?x22。
???0,取??2?，当x1,x2??1,???且x1?x2??时，有 x1?x2?x1?x22??。即证f(x)在?1,???上一致连续。
二.函数连续性的康托定理判别及其推论
(1)康托定理：函数f(x)在?a,b?上一致连续的充分条件是f(x)在?a,b?上连续. (2)有限非闭区间的定理1：函数f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是
f(x)在?a,b?上连续且f(a?)与f(b?) 都存在。
(3)有限非闭区间的推论1：函数在?a,b?上一致连续的充分必要条件是f(x)在
?a,b?上连续且 f(b?)存在。
(4)有限非闭区间的推论2：函数 f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是
f(x)在 ?a,b?上连续且f(a?)存在。
(5)组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数f(x)在I1，I2上一致连续，若I1?I2??，则f(x)在I1?I2上一致连续。
(6)无穷区间的定理1：函数f(x)在?a,???上一致连续的充分条件是f(x)在
?a,???上连续且f(??)存在。
(7)无穷区间判别定理的推论：函数f(x)在?a,???上连续且f(a?)和f(??)都存在。
(8)无穷区间的定理2：函数在?-?，b?上一致连续的充分条件是f(x)在?-?，b?上连续且f(??)存在。
(9)无穷区间定理2推论：函数f(x)在?—?，b?上一致连续的充分条件是f(x)在?—?，b?上连续且f?b??和f(??)都存在。
(10)类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在f(x)上一致连续的充
???上连续且f(??)和f(??)都存在。 分条件是f(x)在?-?，
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